7.11簡單的平面勢流對于復雜的勢流，我們還可以采用一種較簡單的方法：選擇幾個簡單的無旋流動進行疊加復合求解。因此本節先介紹勢流疊加原理，然后介紹幾種基本的平面勢流。一、勢流疊加原理平面不可壓縮勢流速度勢和流函數均滿足拉普拉斯方程，而拉普拉斯方程是線性齊次方程，所以它的解具有可疊加性，即兩個（多個）解的和或差仍是該方程的解。考慮勢函數分別為和的兩個有勢流動，則每一流動均滿足拉普拉斯方程，即兩方程相加得或者正是由于解的這種可疊加性，才啟發我們對于比較復雜的流動，如果能選擇幾個簡單的勢流的解進行疊加，并使疊加后滿足的邊界條件與給定邊界條件吻合，那么這個疊加后的解就是所要求的比較復雜流動解。類似可以證明流函數也滿足疊加原理。對勢函數φ關于x取偏導數，即對勢函數φ關于y取偏導數，即于是有結論：幾個無旋流動的速度勢及流函數的代數和等于新的無旋流動的速度勢函數和流函數，新的無旋流動的速度是這些無旋流動速度的矢量和。二、幾種簡單的勢流流動定義:流速的大小和方向沿流線不變的流動為均勻流；若流線平行且流速相等，則稱均勻等速流。1均勻等速流動（平行流）

如，其中就是這樣的流動由于積分得由于積分得積分常數對流動計算無影響，故取0uxyoφ1ψ1φ2φ3ψ2ψ3顯然，等勢線等流線是相互垂直的兩簇直線由于流場中各點速度相同，流動無旋，故處處有流場中總勢能保持不變，若是水平面上的均勻等速流，重力可忽略不計，則p=常數，即壓強在流場中處處相等。2點源和點匯點源：流體從某點向四周呈直線均勻徑向流出的流動，這個點稱為源點。點匯：流體從四周往某點呈直線均勻徑向流入的流動，這個點稱為匯點。點源點匯顯然，不管是點源還是點匯，都只有徑向流速vr根據流體連續性條件，流體通過任一單位長度圓柱面流出或流入的流量均相等，即得到對于源流，流速與半徑同向，取正號；對于匯流，流速與半徑反向，取負號。求點源或點匯的速度勢函數和流函數對上面兩式積分，并令積分常數等于零，得到：等勢線是半徑不同的圓，流線是通過原點極角不同的射線。注：當r=0時，速度勢函數和速度無窮大，源點和匯點是流動的奇點，因此，速度勢函數和速度只有在源點或匯點以外才有意義。若Oxy平面是水平面，對半徑r處和無窮遠處列伯努利方程將速度值代入后由知壓強隨半徑的減小而降低。零壓強處上述各式的實際適用范圍為：r>r0，這是因為絕對壓強只能接近0還不能達到0。3點渦若二維渦流的渦束半徑rb→0，則渦束變成一條渦線，平面上的渦核區縮為一點，稱渦點，這樣的流動稱為自由渦流或點渦，如圖所示渦點以外的速度分布仍為：求點渦的速度勢函數和流函數對上面兩式積分，并令積分常數等于零，得到：等勢線是的線，流線是以坐標原點為圓心的同心圓。渦點以外的勢流區壓強分布仍為零壓強處上述各式的實際適用范圍為r>r0.介紹以上幾種簡單的平面勢流，重要的不是它們能代表怎樣的實際流動，而是它們是勢流的基本單元；把幾種基本單元組合在一起，可以形成許多有重要意義的復雜流動。7.12平面勢流的疊加流動1點匯和點渦——螺旋流位于坐標原點的匯流和勢渦疊加，根據點匯和點渦的速度勢函數和流函數的表達式，可得組合流動的速度勢和流函數為點匯點渦螺旋流令以上兩式等于常數，可得到等勢線和流線分別為等勢線和流線為相互正交的對數螺旋線簇，稱為螺旋流。點匯+點渦→陰螺旋流點源+點渦→陽螺旋流螺旋流示意圖其速度分布為壓強分布為旋風燃燒室、離心式除塵器、離心式噴油嘴等裝置，由于流體沿圓周切向流入，從中心流出，類似上述螺旋流；離心式泵、風機外殼中的流體，由葉輪旋轉流入，沿外殼切向流出，則類似于源流與點渦的疊加生成的螺旋流。2源流和匯流疊加——偶極流將源點設于A點（-a,0），匯點于B點（a,0），強度都為qV，點匯點源組合流動速度勢函數和流函數為P(x,y)θBθAθPrArB上式推導利用了動點P至源點A匯點B兩條連線的夾角，在流線上時，即流線是經過源點和匯點的圓線簇若在2a逐漸縮小時，強度q逐漸增強，當2a減小到零時，q應增加到無窮大，以使保持一個有限值即，在這一極限狀態下的流動稱為偶極子流，M是偶極矩，方向從點源到點匯。當ε為微量時，由前面導出的源、匯疊加形式的速度勢和流函數的形式可獲得偶極子流的速度勢和流函數即令即等勢線是圓心為半徑為且與y軸圓點相切的圓簇。即流線是圓心為半徑為且與x軸圓點相切的圓簇。偶極子流示意圖偶極流的速度場為極坐標形式直角坐標形式當r趨于無窮大速度V趨于0，而在偶極子中心處速度趨于無窮大。偶極子流的壓強為圓柱體繞流設有一速度為的均勻流，從與圓柱體垂直的方向繞過一半徑為r0的無限長圓柱體，這樣的流動看成是平面流動。均勻流繞過圓柱體時，由于受到圓柱的阻擋，繞過柱體附近的流體質點受到擾動，偏離原來的直線路徑，而離柱體越遠，擾動越小，在無窮遠的地方，完全不受擾動，作均勻流動。圓柱體繞流可以分為兩種情況。

一圓柱體無環量繞流二圓柱體有環量繞流繞無窮長圓柱的流動7.13圓柱體無環量繞流由均勻流和偶極子流疊加而成的平面流動。1.勢函數和流函數均勻流和偶極子流速的勢函數和流函數分別為根據勢流疊加原理，均勻流和偶極子流疊加形成的新流動的速度勢和流函數，在極坐標下為直角坐標下的速度勢函數和流函數令即得到零流線方程為零流線是一個以坐標原點為圓心，半徑的圓周和x軸，零流線到A處分成兩股，沿上下兩個半圓周流到B點，又重新匯合。將代入勢函數和流函數方程中，那么均勻流繞過圓柱體無環量繞流的勢函數和流函數可以寫成均勻流繞過圓柱體無環量的流動2．速度分布流場中任意一點P（x，y）的速度分量為這說明在無窮遠處流動變成均勻流。在極坐標系中，速度分量為沿包圍圓柱體的圓形周線的速度環量為均勻流繞過圓柱體的平面流動的速度環量等于零，故稱為圓柱體無環量繞流。在圓柱面上，速度分布為說明，流體沿圓柱表面只有切向速度，沒有徑向速度，符合流體既不穿入又不脫離圓柱面的實際情況。在圓柱面上速度是按照正弦曲線分布的，在（B點）和

（A點）處

A、B二點是分流點，也稱為駐點。在處，達到最大值，即等于無窮遠處來流速度的2倍。3.壓力分布圓柱面上任意點的壓力，可以由Bernoulli方程計算將圓柱表面的速度分布代入上式得到如采用壓力系數來表示，根據Bernoulli方程定義將ｐ代入上式，得到用Ｃｐ表示流體作用于物體表面上的壓力是無量綱量，與圓柱體半徑、均勻流速度無關，只與表面位置有關。壓強系數沿圓柱面的分布4.合力從壓力分布看出，在圓柱面上壓力對稱于ｘ軸、ｙ軸，那么柱面上合力等于０。流體作用在圓柱體上的總壓力分解成ｘ、ｙ方向上的分力Ｆｘ、Ｆｙ，分別為與來流平行和垂直的作用力，稱為流體作用在柱體上的阻力Ｄ和升力Ｌ。有理想流體的均勻流繞過圓柱體的無環量繞流中，圓柱體不受阻力和升力作用。事實上，實際流體由于粘性作用，繞過圓柱產生摩擦力，而且在圓柱繞流后面部分形成脫流和尾跡，流動圖形和理想流體繞流截然不同。就是說，在實際流體繞流圓柱體中，會產生阻力。7.14圓柱體有環流在前面無環量繞流基礎上，讓圓柱體以等角速度繞其軸心旋轉，形成有環量繞流。1.勢函數和流函數有環量繞流是由均勻流、偶極子流、點渦疊加而成，疊加后的速度勢和流函數分別為2.速度分布流場中任一點P(r,θ)處的速度為當時即的圓周是一條流線，圓柱面上速度分布為這說明流體與圓柱體沒有分離現象，只有沿著圓周切線方向的速度。當時說明在遠離圓柱體處流體為均勻流。當點渦的強度時，在圓柱體的上部環流的速度方向與均勻流的速度方向相同，而在下部則相反。疊加的結果在上部速度增高，而在下部速度降低，這樣就破壞了流線關于x軸的對稱性，使駐點A和B離開了x軸，向下移動。為了確定駐點的位置，令柱面速度，得到駐點的位置角為若則，圓柱面上的兩個駐點左右對稱，并位于第三和第四象限內，且A、B兩駐點隨值的增加而向下移動，并互相靠攏。若兩個駐點重合成一點，并位于圓柱面最下端。若，則，圓柱面上不存在駐點，駐點脫離圓柱面沿y軸向下移到某一位置。流場中任一點P(r,θ)處的速度，得到兩個位于y軸上的駐點，一個在圓柱體內，另一個在圓柱體外。事實上，只有一個在圓柱體外的自由駐點A，全流場由經過駐點A的閉合流線劃分為內、外兩個區域，外部區域是均勻流繞過圓柱體有環量的流動，在閉合流線和圓柱面之間的內部區域自成閉合環流，但流線不是圓形的。如果疊加的點渦強度，駐點的位置與上面討論的情況正好相差180°。由此可見，駐點的位置不簡單取決于:而取決于顯然，有環量的繞圓流動其左右仍是對稱的，但上下已不對稱了，因此在垂直于來流的y方向合力就不會為零。垂直于來流方向的空氣動力分力稱為升力，可以通過沿圓柱表面壓強積分（利用伯努利方程將壓強表為速度分布后積分求得），或者利用動量方程求出合力。3.壓力分布將圓柱面上的速度分布代入Bernoulli方程，得到4.合力圓柱體上取一微元線段，單位長度上圓柱體所受到的力，力沿x和y軸方向上的分量為沿整個圓柱面進行積分得到將圓柱面壓強公式代入上式，得到說明圓柱有環量繞流的阻力為零。