數字圖像處理

第七章數學形態學及應用

本章主要內容形態學的發展形態學的基礎知識腐蝕與膨脹開操作與閉操作形態學的主要應用7.1數學形態學的發展

形態學是生物學的一個分支,常用它來處理動物和植物的形狀和結構。“數學形態學（MathematicalMorphology）是一種應用于圖像處理和模式識別領域的新的方法。

數學形態學是一門綜合了多學科知識的交叉科學，其理論基礎頗為艱深，但其基本觀念卻比較簡單。它體現了邏輯推理與數學演繹的嚴謹性，又要求具備與實踐密切相關的實驗技術與計算技術。它涉及微分幾何、積分幾何、測度論、泛函分析和隨機過程等許多數學理論，其中積分幾何和隨機集合論是其賴以生存的基石。總之，數學形態學是建立在嚴格的數學理論基礎上而又密切聯系實際的科學。7.2

數學形態學的基本概念

數學形態學的數學基礎和所用語言是集合論。集合代表圖像中物體的形狀。數學形態學的應用可以簡化圖像數據，保持它們基本的形狀特性，并除去不相干的結構。數學形態學的基礎運算有4個：膨脹、腐蝕、開啟和閉合。基本思想：利用結構元素作為“探針”在圖像中不斷移動，在此過程中收集圖像的信息、分析圖像各部分間的相互關系，從而了解圖像的結構特征。

用具有一定形態的結構元素去度量和提取圖像中的對應形狀以達到對圖像分析和識別的目的。圖7.1數學形態學的方法一些基本的定義

（1）集合：具有某種性質的確定的有區別的事物的全體。如果某種事物不存在，稱為空集。集合常用大寫字母A,B,C,…

表示，空集用Φ

表示。

（2）元素：構成集合的每一個事物稱之為元素，元素常用小寫字母表示，應注意的是任何事物都不是空集的元素。（3）平移轉換：設A和B是兩個二維集合，A和B中的元素分別是定義，對集合A的平移轉換為:(7-1)（4）子集：當且僅當A集合的所有元素都屬于B時，稱A為B的子集。（5）補集：定義集合A的補集為:(7-2)

（6）差集：定義集合A和B的差集為(7-3)

(7-4)

（8）并集：由A和B的所有元素組成的集合稱為A和B的并集。（9）交集：由A和B的公共元素組成的集合稱為A和B的交集。（7）映像：定義集合B的映像為(7-5)

圖7-2

(a)集合A；(b)用x平移集合A后的結果；(c)集合B；(d)B的反轉；(e)集合A和它的補集；(f)兩個集合的差集(如陰影所示)。前四幅圖的黑點表示了每個集合的起點。二值圖像的邏輯運算7.3二值形態學的膨脹和腐蝕結構元素＊形態學圖像處理表現為一種鄰域運算形式；＊一種特殊定義的鄰域稱之為“結構元素”（StructureElement），在每個像素位置上它與二值圖像對應的區域進行特定的邏輯運算，邏輯運算的結果為輸出圖像的相應像素。＊形態學運算的效果取決于結構元素的大小、內容以及邏輯運算的性質。

膨脹Dilation＊膨脹：使圖像擴大＊A用B來膨脹寫作，定義為：＊上式表示：B的反射進行平移與A的交集不能為空＊B的反射：B相對于自身的映像＊B的反射進行移位，以便它能滑過集合（圖像）A用B來膨脹A得到的集合是的位移與A至少有1個非零元素相交時B的原點位置的集合。例題：《圖像處理與分析》P256AB圖7-3

膨脹操作的例子圖7-3(a)表示一個簡單的集合，圖7-3(b)表示一個結構元素及其“映射”。在此圖情況下，因為結構元素B關于原點對稱，所以，結構元素B及其映射相同。圖7-3(c)中的虛線表示作為參考的原始集合，實線示出若的原點平移至x點超過此界限，則與A的交集為空。

這樣實線內的所有點構成了A被B的膨脹。圖7-3(d)表示預先設計的一個結構元素，其目的是為了得到一個垂直膨脹比水平膨脹大的結果。圖7-3(e)顯示為用此構成元素膨脹后得到的結果。

被腐蝕，記為，其定義為：(7-8)

也就是說被的腐蝕的結果為所有使被x平移后包含于的點x的集合。

腐蝕Erosion腐蝕運算的示例圖(a)中的陰影部分為集合A，圖(b)中的中的陰影部分為結構元素B，而圖(c)中黑色部分給出了結果。用B來腐蝕A得到的集合是B完全包括在A中時B的原點位置的集合。由圖可見，腐蝕將圖像（區域）收縮小了。圖7-4表示了類似于圖7-3的一個過程。象以前一樣，集合A在圖7-4(c)用虛線表示作為參考。實線表示若B的原點平移至x點超過此界限，則A不能完全包含B。這樣，在這個實線邊界內的點構成了A被B的腐蝕。

圖7-4(d)畫出了伸長的結構元素，圖7-4(e)顯示了A被此元素腐蝕的結果。注意原來的集合被腐蝕成一條線了。

圖7-4

腐蝕操作的例子不同結構單元對腐蝕和膨脹的影響不同結構單元對腐蝕和膨脹的影響E1=3*3方形結構單元原圖E1膨脹后圖像E1腐蝕后圖像不同結構單元對腐蝕和膨脹的影響不同結構單元對腐蝕和膨脹的影響原圖E1膨脹后圖像E1腐蝕后圖像E2=5*5方形結構單元（a）含長度為1，3，5，7，9，15的正方形（b）結構元素為13×13，對（a）腐蝕的結果（c）結構元素為13×13，對（b）進行膨脹篩選

7.4開運算和閉運算如前邊所見，膨脹擴大圖像，腐蝕收縮圖像。另外兩個重要的形態運算是開運算和閉運算。開運算一般能平滑圖像的輪廓，削弱狹窄的部分，去掉細的突出。閉運算也是平滑圖像的輪廓，與開運算相反，它一般熔合窄的缺口和細長的彎口，去掉小洞，填補輪廓上的縫隙。

設A

是原始圖像，B

是結構元素圖像，則集合A

被結構元素B

作開運算，記為AοB

，其定義為：換句話說，A

被B開運算就是A

被B

腐蝕后的結果再被B

膨脹。作用：使用對象輪廓平滑，斷開狹窄的間斷、消除細的凸出物，去除小亮點（相對于結構元素）----“減”開運算（Opening）(7-9)

設A是原始圖像，B

是結構元素圖像，則集合A被結構元素B作閉運算，記為，其定義為：

換句話說，A被B

開運算就是A

被B

膨脹后的結果再被B

腐蝕。作用：使輪廓平滑，融聯狹窄間斷和長細的深溝，消除小孔洞，填補輪廓線的斷裂----“加”總之:開操作體現“分開”，閉操作體現“聯接”

閉運算(Closing)(7-10)

圖7-5圖釋了集合A被一個圓盤形結構元素作開運算和閉運算的情況。圖7-5(a)是集合

A

，7-5(b)示出了在腐蝕過程中圓盤結構元素的各個位置，當完成這一過程時，形成分開的兩個圖形示于圖7-5(c)。注意，A

的兩個主要部分之間的橋梁被去掉了。“橋”的寬度小于結構元素的直徑；由于同樣的原因A

的最右邊的部分也被切除掉了。圖7-5(d)畫出了對腐蝕的結果進行膨脹的過程，而圖7-5(e)示出了開運算的最后結果。同樣地，圖7-5(f)─7-5(i)示出了用同樣的結構元素對A

作閉運算的結果。結果是去掉了A

的左邊對于B

來說較小的彎。注意，用一個圓形的結構元素對集合A

作開運算和閉運算均使A

的一些部分平滑了。圖7-5

開運算和閉運算的圖示

圖7-6為開、閉具體實例：圖7-7細胞組織圖像的灰值形態運算7.5數學形態學的應用

在前面討論的背景知識基礎之上，我們可以探討形態學的一些實際應用。當處理二值圖像時，形態學的主要應用是提取表示和描述圖像形狀的有用成分。特別是用形態學方法提取某一區域的邊界線、連接成分、骨骼、凸殼的算法是十分有效的。

此外，區域填充、細化、加粗、裁剪等處理方法也經常與上述算法相結合在圖像預處理和圖像后處理中使用。這些算法的討論大部分采用的是二值的圖像，即只有黑和白兩級灰度，1表示黑，0表示白。

集合A的邊界記為(A)，可以通過下述算法提取邊緣：設B是一個合適的結構元素，首先令A被B腐蝕，然后求集合A和它的腐蝕的差。如下式所示：

7.5.1邊緣提取算法(7-11)

圖7-8解釋了邊緣提取的過程。它表示了一個簡單的二值圖像，圖7-8(b)中的結構元素是最常用的一種，但它決不是唯一的。如果采用一個5×5全“1”的結構元素，可得到一個二到三個像素寬的邊緣。應注意的是，當集合B的原點處在集合的邊界時，結構元素的一部分位于集合之外。這種條件下的通常的處理是約定集合邊界外的值為0。

圖7-8

邊緣提取算法示意圖

7.5.2區域填充算法

下面討論的是一種基于集合膨脹，取補和取交的區域填充的簡單的算法。在圖7-9中，A表示一個包含一個子集的集合，子集的元素為8字形的連接邊界的區域。從邊界內的一點P開始，目標是用1去填充整個區域。

假定所有的非邊界元素均標為0，我們把一個值1賦給P開始這個過程。下述過程將把這個區域用1來填充：

其中，，B為對稱結構元素，如圖7-9(c)所示。當k

迭代到時，算法終止。集合和A的并集包括填充的集合和邊界。

(7-12)

如果公式(7-11)的膨脹過程一直進行，它將填滿整個區域。然而，每一步與AC的交把結果限制在我們感興趣的區域內（這種限制過程有時稱為條件膨脹）。圖7-9剩下的部分解釋了公式(7-11)的進一步技巧。盡管這個例子只有一個子集，只要每個邊界內給一個點，這個概念可清楚地用在任何有限個這樣的子集中。圖7-9區域填充算法

7.5.3細化

集合A被結構元素的細化用表示，根據擊中（hit）(或擊不中miss)變換定義：

對稱細化A的一個更有用的表達是基于結構元素序列：

其中是的旋轉。(7-13)

(7-14)

①集合B包含于X（表示為）②集合B擊中X（表示為），即：③集合B相離于X即：

圖7-1擊中X，相離于X，包含于X

根據這個概念，我們現定義被一個結構元素序列的細化為

)

換句話說，這個過程是用細化A，然后用細化前一步細化的結果等等，直到A被細化。整個過程重復進行到沒有進一步的變化發生為止。

(7-15)

圖7-10(a)是一組用于細化的結構元素，圖7-10(b)為用上述方法細化的集合A。圖7-10(c)示出用細化A得到的結果，圖7-10(d)-(k)為用其它結構元素細化的結果。當第二次通過時收斂。圖7-10(k)示出細化的結果。圖

7-10細化處理

圖

7-10

細化處理

7.5.4粗化運算

粗化是細化的形態學上對偶，記為A⊙B,定義為

A⊙B＝A

其中B是適合粗化的結構元素。象細化一樣，粗化可以定義為一個序列運算：

A⊙{B}=⊙）⊙）…）⊙）

(7-16)

(7-17)

用來粗化的結構元素同細化的結構元素具有相同的形式。只是所有的0和1交換位置。然而，在實際中，粗化的算法很少使用。相反的，通常的過程是細化集合的背景，然后求細化結果的補而達到粗化的結果。換句話說，為了粗化集合A，我們先令，細化C，然后得到即為粗化結果。圖7-11解釋了這個過程。

如圖7-11(d)所示，這個過程可能產生一些不連貫的點，這取決于A的性質。因此，用這種方法粗化通常要進行一個簡單的后處理步驟來清除不連貫的點。從圖7-11(c)可以看出，細化的背景為粗化過程形成一個邊界。這個有用的性質在直接使用公式(7-17)實現粗化過程中不會出現，這是用背景細化來實現粗化的一個主要原因。圖

7-11粗化處理

7.5.5裁剪

由于圖形細化和骨骼化運算法有可能殘留需要在后續處理中去除的寄生成分，因而剪貼方法成為對圖形細化、骨骼化運算的必要補充。下面將討論裁剪問題，我們將運用已成熟的理論來闡明如何通過融合現今已有的技術來解決這樣的一個問題。

分析每個待識別字符的骨骼形狀是自動識別手寫字符的一種常見處理方法。由于對組成字符的筆畫的不均勻腐蝕，字符的骨架常常帶有“毛刺”（一種寄生成分）。這里將提出一種解決這種問題的形態學方法。首先我們假設寄生成分“毛刺”的長度不超過3個象素。

圖7-13(a)顯示了手寫字符“a”的骨骼。在字符最左邊部分的寄生成分是一種我們感興趣的典型的待去除成分。去除的方法是基于不斷減少該字符的終點，對寄生成分加以抑制。當然不可否認這樣也不可避免的會消去（或減少）被處理字符其余必要的骨架，

但是缺少的結構信息是在我們最多不超過3個象素的假設前提下，即最多減少3個象素的字符結構信息的前提下。對于一個輸入集合A，通過一系列用于檢測字符端點的結構元素的細化處理，達到我們所希望的結果。即：(7-23)

圖7-15裁剪的例子

(a)是原像，(b)和(c)是結構元素，（d）細化三次的結果，（e）端點，(f)在（a）的條件下端點的膨脹，（g）裁剪后的圖像。圖7-15裁剪的例子

數學形態學是研究空間結構的形狀、框架的學科以積分幾何、集合代數及拓撲論為理論基礎，此外還涉及隨機集論、近世代數和圖論等一系列數學分支。數學形態學的理論雖然很復雜，被稱為“驚人的數學”，但它的基本思想卻是簡單而完美的。數學形態學的基于集合的觀點是極其重要的。數學形態學的基于集合的觀點（1）運算由集合運算（如并、交、補等）來定義；（2）所有的圖像都必須以合理的方式轉換為集合。形態學算子的性能主要以幾何方式進行刻畫，更適合視覺信息的處理和分析。數學形態學進行圖像處理有其獨有的特性：（1）反映的是一幅圖像中像素點間的邏輯關系，而不是簡單的數值關系。（2）是一種非線性的圖像處理方法，并且具有不可逆性。（3）可以并行實現。（4）可以