正交多項式

設Pn(x)，n=0,1,2,…,為正交多項式序列，Pn(x)具有如下性質：1）對每一個n,Pn(x)是n次多項式。n=0,1,…2）(正交性)3）對任意一個次數≤n-1的多項式P(x)，有4）Pn(x)在(a,b)內有n個互異零點。數值分析第4章數值微積分4.4Gauss型求積公式與正交多項式4.4.2Gauss型求積公式第4章數值微積分4.4Gauss型求積公式與正交多項式4.4.2Gauss型求積公式第4章數值微積分4.4Gauss型求積公式與正交多項式4.4.2Gauss型求積公式第4章數值微積分4.4Gauss型求積公式與正交多項式4.4.2Gauss型求積公式第4章數值微積分4.4Gauss型求積公式與正交多項式4.4.2Gauss型求積公式第4章數值微積分4.4Gauss型求積公式與正交多項式4.4.2Gauss型求積公式數值分析數值分析第4章數值微積分4.4Gauss型求積公式與正交多項式4.4.2Gauss型求積公式第4章數值微積分4.4Gauss型求積公式與正交多項式4.4.2Gauss型求積公式數值分析數值分析一般區間的Gauss-Legendre求積公式

如果積分區間是[a,b]，用線性變換

這樣就可以用Gauss-Legendre求積公式計算一般區間的積分.將積分區間從[a,b]變成[-1,1],由定積分的換元積分法有數值分析數值分析數值分析數值分析數值分析例:分別用不同方法計算如下積分,并做比較各種做法比較如下：1、用Newton-Cotes公式當n=1時，即用梯形公式，I≈0.9270354當n=2時,即用Simpson公式,I≈0.9461359當n=3時,I≈0.9461090當n=4時,I≈0.9460830當n=5時,I≈0.9460830I準=0.9460831數值分析2:用復化梯形公式

令h=1/8=0.1253：用復化辛卜生公式令h=1/8=0.125I準=0.9460831數值分析4、用Romberg公式KTn

SnCnRn00.920735510.93979330.946145920.94451350.94608690.940083030.94569060.94608330.94608310.9460831

I準=0.9460831數值分析5、用Gauss公式解：令x=(t+1)/2,

I準=0.9460831（2）用3個節點的Gauss公式（1）用2個節點的Gauss公式數值分析算法比較此例題的精確值為0.9460831...由例題的各種算法可知：對Newton-cotes公式，當n=1時只有1位有效數字，當n=2時有3位有效數字，當n=5時有7位有效數字。對復化梯形公式有2位有效數字，對復化辛卜生公式有6位有效數字。用復合梯形公式，對積分區間[0，1]二分了11次用2049個函數值，才可得到7位準確數字。用Romberg公式對區間二分3次，用了9個函數值，得到同樣的結果。用Gauss公式僅用了3個函數值，就得到結果。數值分析第4章數值微積分4.4Gauss型求積公式與正交多項式4.4.2Gauss型求積公式第4章數值微積分4.4Gauss型求積公式與正交多項式4.4.2Gauss型求積公式第4章數值微積分4.4Gauss型求積公式與正交多項式4.4.2Gauss型求積公式第4章數值微積分4.4Gauss型求積公式與正交多項式4.4.2Gauss型求積公式第4章數值微積分4.4Gauss型求積公式與正交多項式4.4.2Gauss型求積公式第4章數值微積分4.5數值微分第4章數值微積分4.5數值微分第4章數值微積分4.5數值微分第4章數值微積分4.5數值微分第4章數值微積分4.5數值微分第4章數值微積分4.5數值微分第4章數值微積分4.5數值微分第4章數值微積分4.5數值微分第4章數值微積分4.5數值微分第4章數值微積分4.5數值微分第4章數值微積分4.5數值微分第4章數值微積分4.5數值微分第4章數值微積分4.5數值微分第4章數值微積分4.5數值微分第4章數值微積分4.5數值微分第4章數值微積分4.5數值微分第4章數值微積分4.5數值微分第4章數值微積分4.5數值微分第4章數值微積分4.5數值微分第4章數值微積分4.5數值微分第4章數值微積分4.5數值微分第4章數值微積分4.5數值微分第4章數值微積分4.5數值微分第4章數值微積分4.5數