第八章動量定理(Momentumtheorem)返回總目錄TheoreticalMechanics第二篇動力學制作與設計山東大學工程力學系

TheoreticalMechanics§8.1質點和質點系的動量(Momentumofparticleandaparticlesystem)返回首頁第八章動量定理TheoreticalMechanics

8.1質點和質點系的動量8.1.1質點的動量質點的動量是用來度量質點機械運動的一個物理量。質點的動量等于其質量與速度的乘積，即

動量是矢量，動量的方向與速度方向相同。在國際單位制中，動量的單位為kg·m/s。動量的量綱是返回首頁TheoreticalMechanics

8.1.2質點系的動量返回首頁質點系的動量：質點系中各質點動量的矢量和。簡稱質點系的動量

由運動學關系將質心坐標公式

代入上式得

質系的動量等于質系的質量與質心速度的乘積，方向與質心速度方向相同。8.1質點和質點系的動量TheoreticalMechanics

圖示三種情形剛體的動量的計算：c)繞中心轉動的均質輪，其動量為零。8.1.2質點系的動量返回首頁b)a)c)a)方向與質心速度方向相同均質滾輪b)8.1質點和質點系的動量TheoreticalMechanics

如果質點系是由多個剛體組成，則質點系動量為

mi、vCi分別為第

i個剛體的質量和它的質心的速度。8.1.2質點系的動量返回首頁8.1質點和質點系的動量TheoreticalMechanics

返回首頁8.1質點和質點系的動量解：設桿OA、BC、滾子B及滑塊C的質心速度分別為vD、vA

、vB、vC

，方向如圖所示，大小分別為vBvAvCvD例如圖所示，桿OA以勻角速繞O軸轉動，通過桿BC帶動滾子B沿水平面作純滾動，同時帶動滑塊C在鉛直軌道內運動。桿OA、BC、滾子B及滑塊C質量分別為m、2m、2m、2m，OA=AB=AC=r。試求此系統在如圖所示瞬時的動量

p。TheoreticalMechanics

返回首頁8.1質點和質點系的動量建立如圖所示坐標系，可得故p與x、y軸正向之間的夾角分別為vBvAvCvD

TheoreticalMechanics§8.2質點和質點系的動量定理(Momentumtheoremofaparticleandaparticlesystem)返回首頁第八章動量定理TheoreticalMechanics

山東大學8.2質點和質點系的動量定理8.2.1質點的動量定理(Aparticle)8.2.2質點系的動量定理(Aparticlesystem)

8.2.3流體在管道中流動時的動壓力(Dynamicpressure)

8.2.4動量守恒(Momentumconservation)

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8.2.1質點的動量定理返回首頁設質量為m的質點在力F的作用下運動，速度為v：由牛頓第二定律：質量是常量時，有：質點動量定理的微分形式：質點的動量對時間的一階導數等于作用在質點上的力。

質點動量定理的積分形式：質點在t1至t2時間內動量的改變量等于作用于質點的合力在同一時間內的沖量。乘以dt積分8.2質點和質點系的動量定理TheoreticalMechanics

8.2.2質點系的動量定理返回首頁作用于該質點上的力有外力和內力。將n個方程相加，得P=質點系的動量質點系動量定理的微分形式：質點系動量對時間的一階導數，等于作用于該質點系上所有外力的矢量和。根據動量定理的微分形式，有取質點系任一質量為mi的質點，速度為vi：8.2質點和質點系的動量定理TheoreticalMechanics

投影x、y、z

在瞬時t1至t2這段時間內積分，得質點系動量定理的積分形式：質點系在t1至t2時間內的動量的改變量等于作用于該質點系的所有外力在同一時間內的沖量的矢量和，即投影x、y、z

8.2.2質點系的動量定理返回首頁8.2質點和質點系的動量定理TheoreticalMechanics

8.2.4動量守恒如果外力系的主矢量為零，即如果外力系的主矢量在某一坐標軸上的投影為零，即質點系動量守恒p=常矢量

=常量

質點系動量守恒返回首頁8.2質點和質點系的動量定理TheoreticalMechanics

8.2.3流體在管道中流動時的動壓力以定常流動流體動約束力的確定為例，說明質點系動量定理在流體動力學中的應用。一般流體流動的性質是十分復雜的，在此只討論不可壓縮的理想流體，而且流動是定常的，即流體各質點流經空間同一固定點的速度不隨時間改變。返回首頁8.2質點和質點系的動量定理TheoreticalMechanics

圖示管道中充滿不可壓縮定常流動的流體。管道壁和進出口截面形成一邊界面，稱為控制面，取控制面ABCD內的流體為研究對象。設進出口截面面積分別為A1和A2，流體速度分別為v1和v2，流體密度為是常量，體積流量qv也為常量。根據連續流條件在瞬時t，所研究流體的動量為pABCD。經過△

t

時間，流體運動到了abcd位置，其動量為pabcd。在△

t時間間隔內質點系動量的增量為dp

8.2.3流體在管道中流動時的動壓力返回首頁8.2質點和質點系的動量定理TheoreticalMechanics

等號兩邊同時除以dt

研究流體所受到的外力有：流體的重力W，管壁的反力FN，以及進口截面AB、出口截面CD上的流體壓力F1、F2（這些力都是分布力的合力）。8.2.3流體在管道中流動時的動壓力返回首頁8.2質點和質點系的動量定理TheoreticalMechanics

由動量定理得它表明：在穩定流動中，管內液體在單位時間流出的動量與流入的動量之差，等于作用在管內液體上的體積力與表面力的矢量和（主矢），這就是關于液體流動的歐拉公式。

8.2.3流體在管道中流動時的動壓力返回首頁8.2質點和質點系的動量定理TheoreticalMechanics

得到附加動約束力FN的表達式若將管壁對于液體的約束力FN分為兩部分。為液體動量不改變時，管壁對液體的靜約束力；

為對應于動量變化而產生的附加動約束力。則有流量、進出口截面處的速度矢量差越大，附加動約束力越大。因此，設計大流量或高速流動管道時，應考慮附加動約束力的影響。8.2.3流體在管道中流動時的動壓力返回首頁8.2質點和質點系的動量定理TheoreticalMechanics

例題例一水柱以速度v沿水平方向射入一光滑葉片。設水柱的射入速度與葉片相切，水柱的截面積為A，密度為，水柱離開葉片時的傾角為，不計水柱的重量。若葉片固定不動，求葉片對水柱的附加動約束力主矢的分量Fx和Fy。

解：選擇葉片上的水柱為研究對象。因AB、CD兩處截面積A和密度均相等，所以v1＝v2＝v，葉片僅改變水流速的方向。

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例題向x軸投影向y軸投影返回首頁8.2質點和質點系的動量定理TheoreticalMechanics

幾點討論：質系動量的變化只決定于外力的主矢量。內力不能改變系統的總動量，只能使系統中各質點間彼此進行動量交換。只有作用于質點系上的外力才能改變質點系的動量。動量守恒方程中所用的速度必須是絕對速度。要確定一個正方向，必須按動量投影的正負去計算。在動力學問題中，動量守恒定律常用來求速度。8.2.4動量守恒返回首頁8.2質點和質點系的動量定理TheoreticalMechanics

8.2.4動量守恒返回首頁8.2質點和質點系的動量定理例8.3如圖所示，物塊A可沿光滑水平面自由滑動，其質量為，小球B的質量為，以細桿與物塊鉸接。設桿長為l，質量不計，初始時系統靜止，并有初始擺角；釋放后，細桿近似以規律擺動（k為已知常數）。求物塊A的最大速度。解：取物塊與小球為研究對象。重力及水平面的約束反力均為鉛直方向。此系統水平方向不受外力作用，則沿水平方向動量守恒TheoreticalMechanics

8.2.4動量守恒返回首頁8.2質點和質點系的動量定理細桿的角速度為，當時，其絕對值最大，此時應有coskt

=

0，即。由此，當細桿鉛直時小球相對于物塊有最大的水平速度，其值為當此速度向左時，物塊應有向右的絕對速度，設為v，而小球向左的絕對速度值為。根據動量守恒定律，有 TheoreticalMechanics

8.2.4動量守恒返回首頁8.2質點和質點系的動量定理物塊的速度為當時，也有時小球相對于物塊有向右的最大速度，可求得物塊有向左的最大速度TheoreticalMechanics

例真空中斜向拋出一物體，在最高點時，物體炸裂成兩塊，一塊恰好沿原軌道返回拋射點O，另一塊落地點的水平距離OB則是未炸裂時應有水平距離OB0的兩倍，求物體炸裂后兩塊質量之比。例題返回首頁8.2質點和質點系的動量定理解：設炸裂后兩物塊的質量分別為m1與m2，炸裂前共同速度為v，炸裂后的速度分別為v1與v2。TheoreticalMechanics

由于，所以系統在x方向動量守恒。例題設下落的水平距離返回首頁8.2質點和質點系的動量定理TheoreticalMechanics

由于炸裂前后，水平方向的運動為勻速運動，水平方向運動的距離正比于水平速度，即同理所以解得例題返回首頁8.2質點和質點系的動量定理

TheoreticalMechanics§8.3質心運動定理返回首頁第八章動量定理TheoreticalMechanics

8.3質心運動定理返回首頁將質點系的動量p=MvC代入動量定理的表達式質心運動定理：質點系的質量與其質心加速度的乘積等于作用于質點系的外力的矢量和。質心運動定理描述的是質點系隨同質心的平行移動。TheoreticalMechanics

（1）質系質心的運動，可以視為一質點的運動，如將質系的質量集中在質心上，同時將作用在質系上所有外力都平移到質心上，則質心運動的加速度與所受外力的關系符合牛頓第二定律。幾點討論如在定向爆破中，爆破時質系中各質點的運動軌跡不同，但質心的運動軌跡近似一拋物線，由此可初步估計出大部分物塊堆落的地方。返回首頁8.3質心運動定理TheoreticalMechanics

返回首頁定向爆破8.3質心運動定理TheoreticalMechanics

福州火車站舊站房定向爆破成功(1)返回首頁8.3質心運動定理TheoreticalMechanics

福州火車站舊站房定向爆破成功(2)返回首頁8.3質心運動定理TheoreticalMechanics

福州火車站舊站房定向爆破成功(3)返回首頁8.3質心運動定理TheoreticalMechanics

福州火車站舊站房定向爆破成功(4)返回首頁8.3質心運動定理TheoreticalMechanics

杭州鐵資大廈爆破成功返回首頁8.3質心運動定理TheoreticalMechanics

西安浐河定向爆破遇尷尬大樓嚴重傾斜但未倒(1)返回首頁8.3質心運動定理TheoreticalMechanics

西安浐河定向爆破遇尷尬大樓嚴重傾斜但未倒(2)返回首頁8.3質心運動定理TheoreticalMechanics

西安浐河定向爆破遇尷尬大樓嚴重傾斜但未倒(3)返回首頁8.3質心運動定理TheoreticalMechanics

宜賓一樓定向爆破不成炸樓炸成“比薩斜塔”返回首頁8.3質心運動定理TheoreticalMechanics

你知道爆破飛石散落的地點是根據什么計算出來的嗎？安放炸藥的位置如何確定？

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（2）質系的內力不影響質心的運動，只有外力才能改變質心的運動。返回首頁8.3質心運動定理TheoreticalMechanics

汽車行駛是靠車輪與路面的摩擦力。發動機內氣體的爆炸力，對汽車來說是內力。返回首頁8.3質心運動定理TheoreticalMechanics

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（3）應用時取其投影式返回首頁8.3質心運動定理TheoreticalMechanics

（4）剛體系統質心運動定理矢量形式在直角坐標上投影形式是作用于整個剛體系上外力的主矢量返回首頁8.3質心運動定理TheoreticalMechanics

質心運動守恒定理返回首頁8.3質心運動定理TheoreticalMechanics

返回首頁8.3質心運動定理例如圖所示，電動機的外殼固定在水平基礎上，定子重，轉子重。轉子的軸通過定子的質心O1，但由于制造誤差，轉子的質心O2到O1的距離為e。已知轉子勻速轉動，角速度為。求基礎的支座反力。解：取電動機外殼與轉子組成質點系。這樣可不考慮轉子轉動的內力；外有定子