§2.4鏡象法Methodofimages

根據前面的討論知道：在所考慮的區域內沒有自由電荷分布時，可用Laplace'sequation求解場分布；在所考慮的區域內有自由電荷分布時，用Poisson'sequation

求解場分布。如果在所考慮的區域內只有一個或者幾個點電荷，區域邊界是導體或介質界面，這類問題又如何求解？這就是本節主要研究的：解決這類問題的一種特殊方法—稱為鏡象法。1、鏡象法的基本問題

在點電荷附近有導體或介質存在時，空間的靜電場是由點電荷和導體的感應電荷或介質的束縛電荷共同產生的。

在所求的場空間中，導體的感應電荷或介質的極化電荷對場點而言能否用場空間以外的區域（導體或介質內部）某個或幾個假想的電荷來代替呢？光學成像理論給我們的啟發：當我們把點電荷作為物，把導體或介質界面作為面鏡，那么導體的感應電荷或介質的極化電荷就可作為我們所說的象，然后把物和象在場點處的貢獻迭加起來，就是我們討論的結果。2、鏡象法的理論基礎

鏡象法的理論基礎是唯一性定理。其實質是在所研究的場域外的適當地方，用實際上不存在的“象電荷”來代替真實的導體感應電荷或介質的極化電荷對場點的作用。在代替的時候，必須保證原有的場方程、邊界條件不變，而象電荷的大小以及所外的位置由Poisson'sequationorLaplace'sequation

和邊界條件決定。這里要注意幾點：

a)

唯一性定理要求所求電勢必須滿足原有電荷分布所滿足的Poisson‘sequationorLaplace’sequation，即所研究空間的泊松方程不能被改變（即自由點電荷位置、大小不能變）。因此，做替代時，假想電荷必須放在所求區域之外。在唯一性定理保證下，采用試探解，只要保證解滿足泊松方程及邊界條件即是正確解。

b)由于象電荷代替了真實的感應電荷或極化電荷的作用，因此放置象電荷后，就認為原來的真實的導體或介質界面不存在。也就是把整個空間看成是無界的均勻空間。并且其介電常數應是所研究場域的介電常數。（實際是通過邊界條件來確定假想電荷的大小和位置）。

c)一旦用了假想（等效）電荷，不再考慮原來的電荷分布。

d)象電荷是虛構的，它只在產生電場方面與真實的感應電荷或極化電荷有等效作用。而其電量并不一定與真實的感應電荷或真實的極化電荷相等，不過在某些問題中，它們卻恰好相等。

e)鏡象法所適應的范圍是：①所求區域有少許幾個點電荷，它產生的感應電荷一般可以用假想點電荷代替；②導體或介質的邊界面必是簡單的規則的幾何面（球面、柱面、平面）。3、鏡象法的具體應用

用鏡象法解題大致可按以下步驟進行：a)正確寫出電勢應滿足的微分方程及給定的邊界條件；（坐標系選擇仍然根據邊界形狀來定）b)根據給定的邊界條件計算象電荷的電量和所在位置；c)由已知電荷及象電荷寫出勢的解析形式；d)根據需要要求出場強、電荷分布以及電場作用力、電容等。鏡像法往往比分離變量法簡單，但它只能用于一些特殊的邊界情況。點電荷與平面導體(a)Q(b)Q(c)Q點電荷與球形導體Qo(d)(e)oQ點電荷的鏡像各種簡單邊界的組合作為邊界(c)Q(a)Q(b)Q線電荷與平面導體(a)λ(b)λ(c)λ線電荷與圓柱形導體λo(a)(b)oλ線電荷的鏡像導體上的感應電荷密度為：（1）鏡像電荷與導體上的感應電荷不一定相等。（2）由鏡像法求出電勢分布以后，由上式可求感應平面與圓柱形邊界的組合作為邊界電荷(a)λ(b)λ(c)λ電偶極子的鏡像(b)(a)p(c)pp(d)po(e)p(f)op注意：鏡像電荷的位置由邊界形狀決定，與電量及界面性質無關。應用舉例接地無限大平面導體板附近有一點電荷，求空間電勢。解：根據唯一性定理左半空間右半空間，Q在（0，0，a）點，電勢滿足泊松方程。邊界上設電量為，位置為（0，0，）

從物理問題的對稱性和邊界條件考慮，設想在導體板左與電荷Q對稱的位置上放一個假想電荷Q’，然后把板抽去。這樣，沒有改變所考慮空間的電荷分布（即沒有改變電勢服從的泊松方程）QQ/zPrr′a由邊界條件確定和、唯一解是

因為象電荷在左半空間，所以舍去正號解討論：（a）導體面上感應電荷分布（b）電荷Q產生的電場的電力線全部終止在導體面上它與無導體時，兩個等量異號電荷產生的電場在右半空間完全相同。

（c）

與位置對于導體板鏡象對稱，故這種方法稱為鏡象法（又稱電象法）（d）導體對電荷Q的作用力相當兩點電荷間的作用力導體板上部空間的電場可以看作原電荷與鏡象電荷共同激發的電場。場點P的電勢導體板上的感應電荷確實可以用板下方一個假想電荷Q’代替。可以看出，引入象電荷取代感應電荷，的確是一種求解泊松方程的簡潔方法。鏡像法所解決的問題中最常見的是導體表面作為邊界的情況，但也可用于絕緣介質分界面的場問題。例2設電容率分別為ε1和ε2的兩種均勻介質，以無限大平面為界。在介質1中有一點電荷Q，求空間電勢分布。解：先考慮介質1

中的電勢，設想將下半空間換成與上半空間一樣，并在z=-a處有Q的像電荷Q’來代替分界面上極化電荷對上半空間場的影響。則在Z>0的區域，空間一點的電勢為Q介質1介質2a-aQ’zx(1)再考慮介質ε2中的電勢φ2，這時我們不能用上面的像電荷Q'來計算ε2區域內的電勢。這是因為，按照電像法，像電荷必須在所考慮的區域之外。所以，我們現在把在ε2區域外的電荷Q及其引起的極化電荷合起來，用ε2區域外的一個像電荷Q''來統一考慮。設z>0上半空間的介質ε1全部換為介質ε2

，并在z=b處有一電荷Q''，則z<0下半空間里任一點的電勢為(2)下面由邊界條件定Q’,Q”和b，邊界條件為：(3)(4)(5)(6)即將(1)(2)兩式帶入(3)并取x=y=0,可得到將(1)(2)兩式帶入(4)并取x=y=0,可得到(7)將(1)(2)兩式帶入(5)，消去分子中的x后，再取x=y=0,(8)由以上三式解得a=b所以交界面上極化電荷面密度Q所受的庫侖力等于它的像電荷Q’對它的作用力，即解：（1）分析：因導體球接地故球的電勢為零。根據鏡象法原則假想電荷應在球內。因空間只有兩個點電荷，場應具有軸對稱，故假想電荷應在線上，即極軸上。3.真空中有一半徑R0的接地導體球，距球心a>R0

處有一點電荷Q，求空間各點電勢。球坐標系PROZθQQ/r′r（2）由邊界條件確定和設

PR0OZ因任意的解得①

②①

，Q發出的電力線一部分會聚到導體球面上，剩余傳到無窮遠。（3）討論：②球面感應電荷分布導體球接地后，感應電荷總量不為零，可認為電荷移到地中去了。總感應電荷為即感應電荷的大小等于象電荷Q'的大小。也可以這樣證明：根據Gauss定理，對球作Gauss面，即aQRoQ感bQ'式中的是象電荷Q'和真實電荷Q共同產生的，即故Q感=Q'即感應電荷的電量Q感等于象電荷的電量Q'。根據上述例子，作如下幾點討論：

a)導體球既不接地又不帶電這種情況與本例的差別僅在于邊界條件，這里導體球不帶電，即要求滿足電中性條件顯然，例3的解不滿足電中性的條件，如果在球內再添置一個象電荷

，則滿足電中性條件，為了不破壞導體是等位體的條件，由對稱性知道，Q"必須放在球心處，于是再由得到

b)導體球不帶電其電勢為U0

這種情況與例3的差別仍然在邊界條件，這里U0

是已知常數，導體球的電勢為U0，相當于在球心處放置了電量為的點電荷，顯然，其解為由得到c)若點電荷Q在導體球殼內距球心a處這時與例3的情況相比，僅是源電荷的位置由球外搬進到球內。此時，接地球殼外無場強，場的區域在球內。故可根據光路可逆性原理來解釋：球內的電勢等于源電荷Q和球面上的感應電荷（球殼內表面）—象電荷Q'（在球外處）產生的電勢：這里要注意：象電荷的電量Q‘大于源電荷的電量Q，球殼內的電勢與導體球殼是否接地、是否帶電無關。

d)若導體球帶電q但不接地這種情況的物理模型為：則球心有電荷（q-Q')，則P點的電勢為RobQ'aQxrr'Pq-Q'由得到順便計算導體對點電荷Q的作用力：此時，源電荷Q所受到的作用力來自球面上的電荷，即從而得到當a>>R0

，，即近似為兩點電荷作用，作用力為排斥力；當Q靠近球面時，，此時不論q與Q是否同號，作用力永遠為引力，這可由在Q附近的感應電荷與其反號來解釋。就是Q與Q'及位于球心處的等效電荷q+Q''的作用力之和。4.均勻場中的導體球所產生的電勢由于靜電屏蔽，場區域只能在球外。Solution:

本題的物理圖象是在原有的均勻電場中放置一中性導體球。此時導體球上的感應電荷也要在空間激發場，故使原來的場空間電場發生了變化，如圖所示。由此可見，球外空間任一點的場將是一個均勻場和一個球體感應電荷等效的偶極子的場的迭加。R0------++++++

第一步：用兩個點電荷±Q激發一均勻場點電荷±Q放在對稱軸z=±a處，a很大，Q也很大，在坐標原點附近的區域內。

第二步：將一中性導體球放在均勻場中+Q-Qzaao這樣一來，±Q相當于兩個場源電荷，球面上將出現感應電荷，由象電荷來代替它，即

此時+Q在球面上感應的電量為，-Q在球面上感應電量為，這仍然保持導體球為電中性（不管導體球接地與否）。根據唯一性定理，導體球外的

+Q-QzaaR0bbo電勢就是這四個點電荷分別在某點產生的電勢的迭加，即因為a>>R，

則選略去和即又因為

皆為小量，應用展開式則有

第一項恰好等于原均勻場以o點為參考點電勢。第二項恰好等于位于o點的電偶極矩為的電偶極子的電勢。原點附近像電荷代替感應電荷所產生的電偶極矩5.半徑為R0,電容率為ε的介質球置于均勻外電場E0中，求電勢分布。解：設均勻電場E0方向為Z軸正方向，則E0可看成是由Z軸上兩個等量異號電荷激發，一是位于z=-∞處的正電荷Q，一是位于z=+∞處的負電荷-Q。這一對正負電荷的鏡像電荷正好組成一個電偶極子位于坐標原點，所以，求球外空間的電勢φ1時，可用原點處的電偶極子p代替極化電荷的作用。(1)求球內空間的電勢φ2時，可以認為介質ε充滿整個空間，極化電荷的作用用z=±∞處的點電荷±Q’代