8.6分布列（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見(jiàn)考法常見(jiàn)考法考點(diǎn)一超幾何分布【例1】（2021·重慶高三開(kāi)學(xué)考試）北京冬季奧運(yùn)會(huì)將于2022年2月4日至2022年2月20日在中華人民共和國(guó)北京市和河北省張家口市聯(lián)合舉行.這是中國(guó)歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)，北京、張家口同為主辦城市，也是中國(guó)繼北京奧運(yùn)會(huì)、南京青奧會(huì)之后第三次舉辦奧運(yùn)賽事.北京冬奧組委對(duì)報(bào)名參加北京冬奧會(huì)志愿者的人員開(kāi)展冬奧會(huì)志愿者的培訓(xùn)活動(dòng)，并在培訓(xùn)結(jié)束后進(jìn)行了一次考核.為了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果，從中隨機(jī)抽取80名志愿者的考核成績(jī)，根據(jù)這80名志愿者的考核成績(jī)，得到的統(tǒng)計(jì)圖表如下所示.若參加這次考核的志愿者考核成績(jī)?cè)趦?nèi)，則考核等級(jí)為優(yōu)秀.（1）分別求這次培訓(xùn)考核等級(jí)為優(yōu)秀的男、女志愿者人數(shù)；（2）若從樣本中考核等級(jí)為優(yōu)秀的志愿者中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行學(xué)習(xí)心得分享，記抽到女志愿者的人數(shù)為X，求X的分布列及期望.【一隅三反】1．（2021·貴州省思南中學(xué)高三月考）某班利用課外活動(dòng)時(shí)間舉行了一次“函數(shù)求導(dǎo)比賽”活動(dòng)，為了解本次比賽中學(xué)生的總體情況，從中抽取了甲、乙兩個(gè)小組的樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示.（1）分別求出甲、乙兩個(gè)小組成績(jī)的平均數(shù)與方差，并判斷哪個(gè)小組的成績(jī)更穩(wěn)定？（2）從甲組同學(xué)成績(jī)不低于70分的人中任意抽取3人，設(shè)表示所抽取的3名同學(xué)的得分在的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.2．（2021·廣西柳州）為慶祝2021年中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，某校高二年級(jí)舉行“黨史知識(shí)你我答”活動(dòng)，共有10個(gè)班，每班選5名選手參加了預(yù)賽，預(yù)賽滿(mǎn)分為150分，現(xiàn)預(yù)賽成績(jī)?nèi)拷橛?0分到140分之間.將成績(jī)結(jié)果按如下方式分成五組：第一組，第二組，…，第五組.按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）若成績(jī)大于或等于100分且小于120分認(rèn)為是良好的，求參賽學(xué)生在這次活動(dòng)中成績(jī)良好的人數(shù)；（2）若從第一?五組中共隨機(jī)取出兩個(gè)成績(jī)，記X為取得第一組成績(jī)的個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.考點(diǎn)二二項(xiàng)分布【例2】（2021·渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)高三月考）隨著我國(guó)國(guó)民消費(fèi)水平的不斷提升，進(jìn)口水果也受到了人們的喜愛(ài)，世界各地鮮果紛紛從空中、海上匯聚中國(guó)：泰國(guó)的榴蓮、山竹、椰青，厄瓜多爾的香蕉，智利的車(chē)?yán)遄樱挛魈m的金果獼猴桃等水果走進(jìn)了千家萬(wàn)戶(hù)，某種水果按照果徑大小可分為五個(gè)等級(jí)：特等、一等、二等、三等和等外，某水果進(jìn)口商從采購(gòu)的一批水果中隨機(jī)抽取500個(gè)，利用水果的等級(jí)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下：等級(jí)特等一等二等三等等外個(gè)數(shù)501002506040（1）若將樣本頻率視為概率，從這批水果中隨機(jī)抽取6個(gè)，求恰好有3個(gè)水果是二等級(jí)別的概率．（2）若水果進(jìn)口商進(jìn)口時(shí)將特等級(jí)別與一等級(jí)別的水果標(biāo)注為優(yōu)級(jí)水果，則用分層抽樣的方法從這500個(gè)水果中抽取10個(gè)，再?gòu)某槿〉?0個(gè)水果中隨機(jī)抽取3個(gè)，表示抽取的優(yōu)級(jí)水果的數(shù)量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【一隅三反】1．（2021·天水市第一中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類(lèi)體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖；將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱(chēng)為“體育迷”.（1）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否有的把握認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？非體育迷體育迷合計(jì)男女1055合計(jì)（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列，期望和方差.附：，0.050.013.8416.6352．（2021·北京新農(nóng)村中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知表1和表2是某年部分日期天安門(mén)升旗時(shí)刻表表1：某年部分日期的天安門(mén)廣場(chǎng)升旗時(shí)刻表日期升旗時(shí)刻日期升旗時(shí)刻日期升旗時(shí)刻日期升旗時(shí)刻1月1日7:364月9日5:467月9日4:5310月8日6:171月21日7:314月28日5:197月27日5:0710月26日6:362月10日7:145月16日4:598月14日5:2411月13日6:563月2日6:476月3日4:479月2日5:4212月1日7:163月22日6:166月22日4:469月20日5:5912月20日7:31表2：某年2月部分日期的天安門(mén)廣場(chǎng)升旗時(shí)刻表日期升旗時(shí)刻日期升旗時(shí)刻日期升旗時(shí)刻2月1日7:232月11日7:132月21日6:592月3日7:222月13日7:112月23日6:572月5日7:202月15日7:082月25日6:552月7日7:172月17日7:052月27日6:522月9日7:152月19日7:022月28日6:49（1）從表1的日期中隨機(jī)選出一天，試估計(jì)這一天的升旗時(shí)刻早于7:00的概率；（2）甲，乙兩人各自從表2的日期中隨機(jī)選擇一天觀看升旗，且兩人的選擇相互獨(dú)立.記為這兩個(gè)人中觀看升旗的時(shí)刻早于7:00的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）將表1和表2中的升旗時(shí)刻華為分?jǐn)?shù)后作為樣本數(shù)據(jù)（如7:31化為）.記表2中所有升旗時(shí)刻對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的方差為，表1和表2中所有升旗時(shí)刻對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的方差為，判斷與的大小.（只需寫(xiě)出結(jié)論）3．（2021·廣東高三月考）某地為了解高三學(xué)生運(yùn)動(dòng)量是否達(dá)標(biāo)，隨機(jī)抽取了200名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如下：在120名男生中，運(yùn)動(dòng)量達(dá)標(biāo)的有60人；在80名女生中，運(yùn)動(dòng)量未達(dá)標(biāo)的有50人.（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為運(yùn)動(dòng)量達(dá)標(biāo)與性別有關(guān).運(yùn)動(dòng)量達(dá)標(biāo)運(yùn)動(dòng)量未達(dá)標(biāo)合計(jì)男生人數(shù)女生人數(shù)合計(jì)（2）以上述數(shù)據(jù)樣本來(lái)估計(jì)總體，現(xiàn)從該地的所有高三學(xué)生（人數(shù)眾多）中逐一隨機(jī)抽取3人，記這3人中運(yùn)動(dòng)量達(dá)標(biāo)的男生人數(shù)為隨機(jī)變量X，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式與數(shù)據(jù)：，其中.0.1000.0500.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.8794．（2021·青銅峽市高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（理））設(shè)甲?乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲?乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.（1）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的每周五天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）記“上學(xué)期間的某周的五天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多3天”為事件，求事件發(fā)生的概率.5．（2021·湖北武漢·高三月考）在一次國(guó)際大型體育運(yùn)動(dòng)會(huì)上，某運(yùn)動(dòng)員報(bào)名參加了其中3個(gè)項(xiàng)目的比賽．已知該運(yùn)動(dòng)員在這3個(gè)項(xiàng)目中，每個(gè)項(xiàng)目能打破世界紀(jì)錄的概率都是，那么在本次運(yùn)動(dòng)會(huì)上：（1）求該運(yùn)動(dòng)員至少能打破2項(xiàng)世界紀(jì)錄的概率；（2）若該運(yùn)動(dòng)員能打破世界紀(jì)錄的項(xiàng)目數(shù)為X，求X的分布列及期望．考點(diǎn)三獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)【例3】（2021·常州市西夏墅中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）某校團(tuán)委組織“航天知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，每位參賽者第一關(guān)需回答三個(gè)問(wèn)題，第一個(gè)問(wèn)題回答正確得10分，回答錯(cuò)誤得0分；第二個(gè)問(wèn)題回答正確得10分，回答錯(cuò)誤得-10分；第三個(gè)問(wèn)題回答正確得10分，回答錯(cuò)誤得-10分.規(guī)定，每位參賽者回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分不低于20分就算闖關(guān)成功.若每位參賽者回答前兩個(gè)問(wèn)題正確的概率都是，回答第三個(gè)問(wèn)題正確的概率都是，且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響．（1）求參賽者甲僅回答正確兩個(gè)問(wèn)題的概率；（2）求參賽者甲回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分的分布列?期望和闖關(guān)成功的概率.【一隅三反】1．（2021·河北高三月考）某企業(yè)計(jì)劃招聘新員工，現(xiàn)對(duì)應(yīng)聘者關(guān)于工作的首要考慮因素進(jìn)行調(diào)查﹐所得統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：男性女性以月薪作為主要考慮因素以發(fā)展前景作為主要考慮因素（1）是否有的把握認(rèn)為應(yīng)聘者關(guān)于工作的首要考慮因素與性別有關(guān)；（2）若招聘考核共設(shè)置個(gè)環(huán)節(jié)，應(yīng)聘者需要參加全部環(huán)節(jié)的考核，每個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)置兩個(gè)項(xiàng)目，若應(yīng)聘者每通過(guò)一個(gè)項(xiàng)目積分，未通過(guò)積分.已知甲第環(huán)節(jié)每個(gè)項(xiàng)目通過(guò)的概率均為，第環(huán)節(jié)每個(gè)項(xiàng)目通過(guò)的概率均為，各環(huán)節(jié)?各項(xiàng)目間相互獨(dú)立.求甲經(jīng)過(guò)兩個(gè)環(huán)節(jié)的考核后所得積分之和的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：2．（2021·全國(guó)）羽毛球是一項(xiàng)隔著球網(wǎng)，使用長(zhǎng)柄網(wǎng)狀球拍擊打用羽毛和軟木刷制作而成的一種小型球類(lèi)的室內(nèi)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目．羽毛球比賽的計(jì)分規(guī)則：采用21分制，即雙方分?jǐn)?shù)先達(dá)21分者勝，3局2勝．每回合中，取勝的一方加1分．每局中一方先得21分且領(lǐng)先至少2分即算該局獲勝，否則繼續(xù)比賽；若雙方打成29平后，一方領(lǐng)先1分，即算該局取勝．某次羽毛球比賽中，甲選手在每回合中得分的概率為，乙選手在每回合中得分的概率為．（1）在一局比賽中，若甲、乙兩名選手的得分均為18，求在經(jīng)過(guò)4回合比賽甲獲勝的概率；（2）在一局比賽中，記前4回合比賽甲選手得分為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．3．（2021·廣東深圳·高三月考）甲乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球比賽，約定賽制如下：誰(shuí)先贏四場(chǎng)則最終獲勝，已知每場(chǎng)比賽甲蠃的概率為，輸?shù)母怕蕿?（1）求甲最終獲勝的概率；（2）記最終比賽場(chǎng)次為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.考點(diǎn)四正態(tài)分布【例4-1】（2021·揚(yáng)州市邗江區(qū)蔣王中學(xué)高三月考）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（）A．0.12 B．0.22 C．0.32 D．0.42【例4-2】（2021·海南高三）某高中招聘教師，首先要對(duì)應(yīng)聘者的工作經(jīng)歷進(jìn)行評(píng)分，評(píng)分達(dá)標(biāo)者進(jìn)入面試，面試環(huán)節(jié)應(yīng)聘者要回答道題，第一題為教育心理學(xué)知識(shí)，答對(duì)得分，答錯(cuò)得分，后兩題為學(xué)科專(zhuān)業(yè)知識(shí)，每道題答對(duì)得分，答錯(cuò)得分．（Ⅰ）若一共有人應(yīng)聘，他們的工作經(jīng)歷評(píng)分服從正態(tài)分布，分及以上達(dá)標(biāo)，求進(jìn)面試環(huán)節(jié)的人數(shù)（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；（Ⅱ）某進(jìn)入面試的應(yīng)聘者第一題答對(duì)的概率為，后兩題答對(duì)的概率均為，每道題正確與否互不影響，求該應(yīng)聘者的面試成績(jī)的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：若隨機(jī)變量，則，，．【一隅三反】1．（2021·貴州貴陽(yáng)一中（理））已知隨機(jī)變量，則（）A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.62．（2021·廣東高三月考）綠水青山就是金山銀山，生態(tài)環(huán)境日益受大家重視．2021年廣州市某公司為了動(dòng)員職工積極參加植樹(shù)造林，在3月12日植樹(shù)節(jié)期間開(kāi)展植樹(shù)有獎(jiǎng)活動(dòng)，設(shè)有甲、乙兩個(gè)摸獎(jiǎng)箱，每位植樹(shù)者植樹(shù)每滿(mǎn)15棵獲得一次甲箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，植樹(shù)每滿(mǎn)25棵獲得一次乙箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．每箱內(nèi)各有10個(gè)球（這些球除顏色外全相同），甲箱內(nèi)有紅、黃、黑三種顏色的球，其中個(gè)紅球、個(gè)黃球、5個(gè)黑球（），乙箱內(nèi)有4個(gè)紅球和6個(gè)黃球．每次摸出一個(gè)球后放回原箱，摸得紅球獎(jiǎng)100元，黃球獎(jiǎng)50元，摸得黑球則沒(méi)有獎(jiǎng)金．（1）經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每人的植樹(shù)棵數(shù)服從正態(tài)分布，現(xiàn)有100位植樹(shù)者，請(qǐng)估計(jì)植樹(shù)的棵數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）；（2）某人植樹(shù)50棵，有兩種摸獎(jiǎng)方法：方法一：三次甲箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；方法二：兩次乙箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；請(qǐng)問(wèn)：這位植樹(shù)者選哪一種方法所得獎(jiǎng)金的期望值較大？附參考數(shù)據(jù)：若，則，．3．（2021·湖南高三）數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個(gè)組成部分?jǐn)?shù)學(xué)建模能力是應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的重要表現(xiàn)．為全面推動(dòng)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的開(kāi)展，某學(xué)校舉行了一次數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽活動(dòng)已知該競(jìng)賽共有60名學(xué)生參加，他們成績(jī)的頻率分布直方圖如下．（1）為了對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，將60分以下的成績(jī)定為不合格，60分以上（含60分）的成績(jī)定為合格．為科學(xué)評(píng)估該校學(xué)生數(shù)學(xué)建模水平?jīng)Q定利用分層抽樣的方法從這60名學(xué)生中選取10人，然后從這10人中抽取4人參加座談會(huì)．記為抽取的4人中，成績(jī)不合格的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）已知這60名學(xué)生的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽成績(jī)服從正態(tài)分布，其中可用樣本平均數(shù)近似代替，可用樣本方差近似代替（用一組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值作代表），若成績(jī)?cè)?6分以上的學(xué)生均能得到獎(jiǎng)勵(lì)，本次數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽滿(mǎn)分為100分，試估計(jì)此次競(jìng)賽受到獎(jiǎng)勵(lì)的人數(shù)．（結(jié)果根據(jù)四舍五入保留到整數(shù)位）解題中可參考使用下列數(shù)據(jù)：，，．4．（2021·全國(guó)高三）中國(guó)人民解放軍裝甲兵學(xué)院（前身蚌埠坦克學(xué)院），建校至今為我國(guó)培養(yǎng)了一大批優(yōu)秀的軍事人才.在今年