應用題的本質是數學建模第一頁，共八十頁，2022年，8月28日引言與現狀二三四五六一第二頁，共八十頁，2022年，8月28日“船長的年齡問題”：“在一條船上，有75頭牛，32只羊，請問船長幾歲？”有多少學生把兩個數直接相加減？20年前，90％；20年后，？62％背景說明……第三頁，共八十頁，2022年，8月28日10道應用題的測試結果……問題通過率1水果店運來蘋果和梨共650千克，蘋果10箱，每箱20千克，梨15箱，梨每箱多少千克？94％2一張凳子售價25元，桌子的售價比一條凳子售價的4倍少1元，一張桌子售價多少元?94％3一個工程隊用同樣的速度修兩條水泥路，第一條長256米，第二條長448米，修完第一條路用了4天。照這樣的速度，修第2條路用的時間比修第一條路用的時間多多少天？81％4有一個煤礦，原來計劃上半年660萬噸，實際每個月比計劃多產22萬噸，實際多少月完成？67％5工廠食堂有4噸大米，7天用了1120千克，照這樣計算，這些大米還可以用多少天？66％第四頁，共八十頁，2022年，8月28日10道應用題的測試結果……問題通過率6電視機廠原計劃20天生產一批電視機，實際每天生產25臺，提前4天完成了任務。原計劃平均每天生產多少臺？66％7600元錢去買玩具，買了24個玩具后還剩120元，照這樣計算，一共可以買多少個玩具？65％8某煤廠原計劃每天運煤498噸，15天可運完。實際運了18天才運完，求每天比原計劃少運多少噸煤？58％9甲乙兩人同時從相距168千米的公路兩端相向而行，甲騎車每小時行20千米，乙行4小時后兩人相遇，求乙每小時比甲多行多少千米？50％10一條公路長2400米，AB兩支施工隊同時從公路的兩端往中間鋪柏油路，A隊的施工速度是B隊的2倍，4天后這條公路全部鋪完。A,B兩隊每天鋪路多少米？41％第五頁，共八十頁，2022年，8月28日應用題的教學現狀“中國數學教育在實踐上肯定比美國好”數學大家陳省身。張奠宙，王善平著第六頁，共八十頁，2022年，8月28日報告提綱1233引言與現狀什么是數學應用題數學應用題的本質是什么“問題解決”與應用題教學什么關系應用題要不要講類型應用題教學與學生生活什么關系小學數學中的模型有哪些435637第七頁，共八十頁，2022年，8月28日三四五六七二什么是小學數學應用題第八頁，共八十頁，2022年，8月28日文字題問題解決數學應用綜合應用解決問題習題應用題第九頁，共八十頁，2022年，8月28日應用題的淵源應用題的出現淵遠流長。古埃及的紙草書、中國的《算數書》等古代數學典籍，都是應用題的匯編。數學的發展有兩個原動力，一是要解決大自然和社會現實提出的數學問題，二是要解決數學內部生成的數學問題。前者的研究成果是應用數學，后者的研究成果成為純粹數學。第十頁，共八十頁，2022年，8月28日數學分為

純粹數學和應用數學

哥德巴赫猜想漢字排版技術

陳景潤作出“1+2”的領先成果王選將數學和計算機結合引發印刷革命第十一頁，共八十頁，2022年，8月28日小學數學中的純數學問題和應用數學問題小學的純粹數學問題：數與運算規則。交換律、分配律，通分……

質數與合數；無限循環小數；平行線；……小學應用性數學問題:

現實的應用：買賣中的貨幣計算科學的應用：路程、速度、時間的關系模擬的應用：雞兔同籠第十二頁，共八十頁，2022年，8月28日純數學問題與應用問題之間的聯系小學數學中，數的擴展以及相應的運算規則，屬于純粹數學范圍，將這些規則和現實相聯系，并應用于現實，則是小學應用數學的范圍。數學是由問題驅動的。小學數學應用題教學，體現小學數學的應用，培養學生與此相關的數學思維模式。第十三頁，共八十頁，2022年，8月28日應用數學是永存的如果說，應用數學是永存的，那么數學應用題教學也是永存的。只不過要“與時俱進”，不斷改革而已。“誰用的好，誰就贏了”（姜伯駒語）。20世紀下半葉以來，數學最大的進步是應用，計算機技術出現之后，應用數學的一個進展，是對一個個的具體問題建立一個個的數學模型。因此，用建立數學模型的觀點加以詮釋，是改革小學應用題教學的參照基點第十四頁，共八十頁，2022年，8月28日什么是小學數學應用題？1.算術方法求解（包括一些簡易代數的思考）；解小學數學應用題主要是用算術方法，目前也使用一些簡易的代數思想。2.用自然語言表達，即用文字敘述的問題。西方有時把小學應用題稱作“文字題（wordproblem）”，即用自然語言表達的數學問題。文字題需要將自然語言文字翻譯為“數學符號構成的算式”，然后再用數學方法求解。

第十五頁，共八十頁，2022年，8月28日什么是小學數學應用題？3.具有比較復雜的情景。應用題必須表達一種具體“情景”，無論是體現生活實際的，或者合理地虛擬編制的，都必須反映一種生動的具體情境，不能是純粹的數學問題。情境往往有一些特定的常識性規律，在解題時需要加以剖析和運用。作為一種具有較高思維價值的問題，“應用題”所呈現的情境，應當具有挑戰性，不同于課本引進新內容時所呈現的簡單情景。第十六頁，共八十頁，2022年，8月28日四五六七三數學應用題的本質是什么第十七頁，共八十頁，2022年，8月28日什么是數學模型？數學建模是20世紀下半葉，隨著計算機技術的發展而形成的數學思想方法。目前已經成為數學應用的基本模式。數學模型，一般地說，乃是針對或參照某種事物系統的實際特征或數量相依關系，采用形式化的數學符號和語言，概括地或近似地表述出來的一種數學結構。第十八頁，共八十頁，2022年，8月28日數學內容本身就是一種數學模型自然數是表述有限集合“數數”過程的數學模型。加法是“合并”、“添加”等活動的數學模型分數是平均分派物品的數學模型；元角分的計算模型是小數的運算。雞兔同籠問題的數學模型是二元一次整數方程；第十九頁，共八十頁，2022年，8月28日模式應用：問：你們學校每個年級幾個班？答：2個班；問：每個班大約多少學生？答：40人問：你們學校一共有多少人？答：400多人；問：你們學校有沒有兩個人是同一天生日的？答：我們班里好像沒有的，我要到其他班問一問。數學老師：有，一定有。第二十頁，共八十頁，2022年，8月28日應用數學的數學建模，是在狹義的意義下進行的。數學建模，專指對一個個比較復雜的具體情境，建立一個特定的專用數學模型，并用模型來解決非常具體問題。應用題對應的數學建模第二十一頁，共八十頁，2022年，8月28日應用題求解與數學模型比較

應用題求解：對于一種相對比較復雜的情境，采用形式化的符號語言，概括地或近似地表述出來的一種數學結構。建立數學模型的步驟：

了解情境分析數量關系形式化符號化的結構用數學方法求解結構中的未知數驗證。第二十二頁，共八十頁，2022年，8月28日實際情景

實際問題

數學問題（模型）

數學結果

檢驗數學結果

實際結果

⑴觀察、加工、整理⑵分析抽象，作數學化處理

⑶求解數學問題⑷結合實際（5）數學結果合乎實際數學結果不合乎實際，修正、改進、重建數學模型。審題列式解答檢驗第二十三頁，共八十頁，2022年，8月28日應用題與數學建模的步驟對照

數學建模步驟解應用題步驟以行程問題為例背景考察：搜集必需的各種信息，盡量弄清對象的特征審題。對問題設置的情景仔細揣摩體察。弄清問題的目標。知道速度，路程，時間的關系；適度簡化：如假定為勻速行駛在直線型的道路上，等。構作模型根據所作的假設分析對象的因果關系，利用對象的內在規律和適當的數學工具，構造各個量間的等式關系或其它數學結構。列式將問題中用自然語言表述的情景，翻譯成數學語言，借助數學符號、圖象、邏輯等手段，構成可以反映問題本質的算式。根據情景，尋找數量規律。例如找出一些不變量，借以構成數學等式。根據行程問題的不同情景進行思考。例如，相互距離為c的甲乙二者同時啟動，分別以速度a、b相對而行，由于二者相遇時所用的時間x相同，據此列出等式ax+bx=c，或者算術地說明各量間的相等關系。第二十四頁，共八十頁，2022年，8月28日應用題與數學建模的步驟對照模型求解：采用各種數學方法，求得滿足模型的解答。求解：對算式進行變換和計算，求得結果。x=c/（a+b），或算術地求解。答案分析檢驗模型是否正確，解答是否符合實際。驗證：驗證解答是否正確，能否符合題意。將x代入原式進行驗算。模型改進對模型解答進行數學上的分析，反思考察解題過程中使用的數學思想方法總結本題的思考方法，對行程問題的關節點進行反思，尤其是弄清在行駛變化過程中，哪些是變化的，那些是不變的。

數學建模步驟解應用題步驟以行程問題為例第二十五頁，共八十頁，2022年，8月28日應用題學習是數學建模的基礎每一道小學數學應用題的教育價值，在于能將情境“數學化”；將文字的表述，轉換為數學符號或圖像的表示；將蘊藏在情景內的數量關系列為算式；用數學演算求得算式的答案，最終通過檢驗肯定“解答”的適切性。這些數學活動，為日后學習更復雜的“數學建模”，做好必要的準備第二十六頁，共八十頁，2022年，8月28日五六七四“問題解決”與應用題教學第二十七頁，共八十頁，2022年，8月28日成功需要基礎問題解決回到基礎新數運動2008198019701960美國式的折騰：第二十八頁，共八十頁，2022年，8月28日美國數學教育界提出的所謂“問題解決”，專指解決“非常規問題”。目的是為了培養學生的探究意識和創新精神。在學生的認知水平上，要解決非常規問題，沒有現成數學問題求解模式可以模仿，需要獨立思考，通過自己的探索獲得解決問題的途徑。這是具有一定創新意義的數學思維過程。是一個時期數學教育的導向性口號，并非針對應用題改革而提出。

“問題解決”的提出第二十九頁，共八十頁，2022年，8月28日我國在常規應用題的教學上，成績很好。例如用分數求解一些現實生活中“平均分配物品”的問題，加減乘除四則運算的一步或兩步應用題，掌握得也很不錯。但是，在提出問題，分析發展問題，靈活地處理應用性問題上面，比起歐美諸國的教學，有一些弱點。在非常規的應用問題教學上，我國積累了一些按照問題情景分類的教學。例如行程問題、工程問題等等，有專門的訓練，基本面也是好的。但是，總體上較窄、較難，較偏。“問題解決”的借鑒與啟示第三十頁，共八十頁，2022年，8月28日

問題解決教學是應用題教學的上位概念。彼此是包含關系。“用問題”的共性，取代了“應用題”的特性

問題解決是數學教學全局性理念；應用題教學是數學教學的部分課題。問題解決應用題教學問題解決不能代替應用題教學第三十一頁，共八十頁，2022年，8月28日問題解決是針對“回到基礎”提出來的口號。意思是強調“探究”、“發現”、“創新”。美國又提出“成功需要基礎”，又強調其基礎了。所以，應用題教學，不能只強調“探究創新”，還要注意“打好基礎”。沒有基礎怎么創新？問題解決不能代替應用題教學第三十二頁，共八十頁，2022年，8月28日五六七四應用題要不要講類型？第三十三頁，共八十頁，2022年，8月28日小學數學應用題可以有三種分類。1.按數學模型分類；隨機模型，統計模型；四則運算模型；分數、小數模型，一元一次方程模型；二元一次整數方程等等。2.按情景熟悉程度分類。如日常生活情景模型，模擬現實情景模型，科學技術模型等等3.按特定情境的數量關系分類。如行程問題，工程問題，流水問題，折扣問題等等，

應用題的分類是否少了圖形與幾何的內容？第三十四頁，共八十頁，2022年，8月28日微積分課程里要討論瞬時速度問題，切線問題，曲邊梯形問題；微分方程課程里有熱傳導方程，電磁波方程；中學數學也要研究拋物問題、單擺問題、等周問題，投影問題，擲骰子問題等；小學數學應用按照情境內容分類，也是情理之中。按情境內容分類第三十五頁，共八十頁，2022年，8月28日不是我們要不要分類的主觀決定。數學應用題分類是客觀世界不同數量關系的反應。行程問題路程=速度×時間工程問題工作量=工作時間×工作效率價格問題總價格=單價×數量利息問題利息=本金×利率利潤問題利潤=成本×利潤率折扣問題金額=價格×折扣率百分數問題數量=總量×百分比這些內容不屬于數學范圍，但是數學課要教！

應用題的分類與數量關系第三十六頁，共八十頁，2022年，8月28日科技書有20本，故事書比科技書的2倍還多2本，故事書有多少本？看到“倍”想到“乘”，看到“多”想到“加”。科技書有20本，比故事書的2倍還多2本，故事書有多少本？以情境中的字詞為特征來分類是表面的。要類型，但不要類型化。第三十七頁，共八十頁，2022年，8月28日按步數分：一步，兩步和多步應用題；按內容和難易來分，可分為一般應用題、復合應用題和典型應用題。典型應用題中就有和差問題、和倍、差倍問題；追及問題、盈虧問題、相遇問題傳統應用題的分類第三十八頁，共八十頁，2022年，8月28日這些分類，都是從教學需要出發的。由易到難，循序前進，總要按部就班地排除一個次序來。因此是教學需要的，有必要的。不過，這種分類不涉及數學應用題的數學本質，學生并不需要知道。對于數學的困難生，為了辨別各種不同的算式，可能起一定的作用。如果試圖通過題型的類別訓練達到“機械自動化”的程度，并不能反映數學的思想與方法，也并能真正解決數學問題。傳統應用題的分類第三十九頁，共八十頁，2022年，8月28日只有被廣泛承認和使用的分類才有“知識性”價值。否則只是在小范圍使用，不過是一種臨時使用“標簽”而已，不需要長期記住。打個比方，作為地理學知識，中國，分為省（山東），省分為市（煙臺），就為止了。至于煙臺下面分為各個區，就不是大眾需要的知識，是地方的標簽，大眾不需要長期記憶。傳統應用題的分類第四十頁，共八十頁，2022年，8月28日七六應用題與現實生活的關系第四十一頁，共八十頁，2022年，8月28日緊密聯系學生的日常生活

小學生的日常生活內容十分有限。主要圍繞“買東西”活動展開。單價、總數，折扣，差額，比例……“賣”的意識也很少。所以成本、利潤、效率，都不是日常生活實際能夠接近的。國際上有一種“現實數學”，實驗失敗告終。不能除了超市，就是商場，需要拓展情境內容。應用題教學中，大量使用的是科學模型，例如，行程問題中速度、時路程之間的關系，乃是物體運動的在物理模型。另一種是模擬現實模型。比如雞兔同籠問題，完全是一種假想的模擬情景。第四十二頁，共八十頁，2022年，8月28日關于虛擬的“真實”

兒童的思維情境，包括客觀現實反映和虛擬想象兩大部分。虛擬想象中有一部分成為“虛擬真實”。孫悟空，黑貓警長，圣誕老人，白雪公主，魔法石，變形金剛。利用虛擬的真實：外星巨人的手印。第四十三頁，共八十頁，2022年，8月28日過于真實，不利于教學。

路程問題：想象在一條直線上，自始至終一一種速度在奔跑。有這樣筆直的道路嗎？怎樣能夠使得起跑時速度和到終點的速度一樣？雞兔同籠好？還是三條腿凳子和四條腿椅子好？退位減法，被減數個位不夠減，向十位借一，有學生就很貼近生活地說“十位不肯借怎么辦？”數學是需要抽象概括的。第四十四頁，共八十頁，2022年，8月28日有一個水池，打開進水管注滿水池要3小時，打開出水管放出整池水要2小時，現在同時打開進水管和出水管，要多少時間才能把一池水放完？被曲解的經典題第四十五頁，共八十頁，2022年，8月28日飛機的能源消耗與補充、排隊進場與出場、草場里草的生長與割去、人體的新陳代謝、社會人口的增減、湖泊的污染與治理，家庭的收入與支出；動態平衡的問題。數學模型客觀存在第四十六頁，共八十頁，2022年，8月28日爭論：相遇問題在現實生活中并不多見；楊樂院士：導彈防御系統里面蘊含著相遇問題；道路建設，工程問題。現實與數學模型第四十七頁，共八十頁，2022年，8月28日30年代，小學數學教材里都有和尚饅頭問題：“一共有100個和尚和100個饅頭。大和尚一人吃三個饅頭，小和尚三個人吃一個饅頭，問各有大小和尚幾人”。現在不見了，如果是因為不能聯系學生的實際，那太遺憾了。充滿童趣的素材第四十八頁，共八十頁，2022年，8月28日七小學數學中的模型有哪些第四十九頁，共八十頁，2022年，8月28日算術和代數算術中的基本對象是數，包括數的表示、數的意義、數之間的關系、數的運算等。算術模型是一串“數字”的運算流程。代數中的基本對象除了數，還出現了更具廣泛意義的基本對象：符號。代數模型是方程或函數，包含未知數符號的等式關系或其他結構。第五十頁，共八十頁，2022年，8月28日從算術向代數過渡，是學生數學學習過程中極為重要的轉變階段．學生從“數的運算”過渡到“式的運算”，好象人發明了汽車那樣，運行速度大幅提高。代數運算的通性通法，取得了極高的思維效率，就像人不能每時每刻都在坐車，走路仍然是必須的、基本的。算術和代數第五十一頁，共八十頁，2022年，8月28日有一個煤礦，原來計劃上半年660萬噸，實際每個月比計劃多產22萬噸，實際多少月完成？典型問題為例第五十二頁，共八十頁，2022年，8月28日算術建模，是給出一種算法：(“計算表征”)實際每月完成數是(660÷6)+22，于是有答案：完成時間=660÷[(660÷6)+22]=5這是通過一串已知數字的運算組合，最后得到結果。解法一第五十三頁，共八十頁，2022年，8月28日代數建模。是給出一個算式。(“數量關系表征”)設實際完成月數是□，那么（660÷□）是每月實際完成數。

110=每月計劃完成數=（660÷□）-22于是得到有符號的算式——代數模型：（660÷□）-22=110（1）無法直接計算出□，但可以進行“式”的運算：（660÷□）=110+22=132（2）（660÷132）=□=5（3）解法二第五十四頁，共八十頁，2022年，8月28日用符號的算術模型。設實際完成月數是□，那么□=660÷（實際完成數）

=660÷（計劃完成數+22）

=660÷（110+22）

=5這里也有符號代表數，卻完全是算術思維，與代數無關。解法三第五十五頁，共八十頁，2022年，8月28日用代數方法啟發算術思維。由（3）式：（660÷132）=□=5可知：□=（660÷實際每月完成數）=（660÷[(660÷6)+22）]=5最后二者是統一的。解法四第五十六頁，共八十頁，2022年，8月28日算術模型和代數模型的區別算術思維和代數思維思考的方向不一樣。打個比方，如果未知數在對岸，那么算術方法，好象摸著石頭過河找到未知數，代數方法好象用繩索將對岸的未知數捆好拉過河來，二者的思考方向剛好相反。第五十七頁，共八十頁，2022年，8月28日算術模型和代數模型的區別很多數學家回憶自己的學習生涯，感覺到小學里用算術方法解決問題培養了自己的能力，盡管這些問題后來用代數變得簡單。第五十八頁，共八十頁，2022年，8月28日“今有雞兔同籠，上有35頭，下有94腳，問雞兔各幾何?”（波利亞）金雞獨立解法的思路是，如果籠中的雞全部獨立單腳著地，做“金雞獨立”狀，而這時籠中所有兔也學雞立起前兩腳而只有后兩腳著地……（張景中）假設雞的兩只翅膀也變成了兩只“腳”……

還有更多經典問題：雞兔同籠第五十九頁，共八十頁，2022年，8月28日列方程時的數學思維，主要還得用算術方法過渡。沒有算術的第一步，就難有代數的第二步。如果使得算術與代數完全脫離，使得學生沒有對比，看不出算術的缺點和代數的優點，體會不到代數方法的優越性，那么代數也是很難學好的。算術方法與代數方法第六十頁，共八十頁，2022年，8月28日數學應用題是否要集中教學？數學建模是一種特殊思維活動，有特定內容，需要單獨、集中學習領會。一些基本的數學模型反映基本的數量關系，是學生發展的必要基礎。需要集中演練，形成技能。解數學應用題，需要將各種數量關系進行比較。集中教學，避免分散割裂。處處都有，有時也容易變成處處都沒有。第六十一頁，共八十頁，2022年，8月28日有一桶油，第一次取出這桶油的20％，第二次取出12千克，兩次共取出這桶油的1/2，這桶油共多少千克？可能的困難：不會轉化百分數與分數？不會計算？不會列方程？不會分析數量關系？還是……就是不會做從不會到會，需要什么

第六十二頁，共八十頁，2022年，8月28日有一桶油，第一次取出這桶油的20％，第二次取出12千克，兩次共取出這桶油的1/2，這桶油共多少千克？畫線段圖：畫草圖：怎樣讓學生學會？這桶油的20％，12千克這桶油的1/2第六十三頁，共八十頁，2022年，8月28日有一桶油，第一次取出這桶油的20％，第二次取出12千克，兩次共取出這桶油的1/2，這桶油共多少千克？第一次＝這桶油×20％第二次＝12千克兩次一共＝這桶油×1/2這桶油×20％＋12＝這桶油×1/2怎樣讓學生學會？第六十四頁，共八十頁，2022年，8月28日有一桶油，第一次取出這桶油的20％，第二次取出12千克，兩次共取出這桶油的1/2，這桶油共多少千克？對應關系：1－－這桶油20％－－第一次取出1/2－－兩次取出？－－第二次取出12千克怎樣讓學生學會？第六十五頁，共八十頁，2022年，8月28日有一桶油，第一次取出這桶油的20％，第二次取出12千克，兩次共取出這桶油的1/2，這桶油共多少千克？列方程設這桶油為x千克；20％x＋12＝1/2x1/2x－20％x＝12怎樣讓學生學會？第六十六頁，共八十頁，2022年，8月28日有一桶油，第一次取出這桶油的20％，第二次取出12千克，兩次共取出這桶油的1/2，這桶油共多少千克？畫線段圖：畫草圖：對應關系：方程；還有什么方法？怎樣讓學生學會？第六十七頁，共八十頁，2022年，8月28日基本策略嘗試猜想；畫圖制表；實際操作；應用規律；等量替換從簡入手；整理數據；可逆思考；用方程解；邏輯推理理解題意做解題計劃；按計劃解答；回答和檢驗。一般策略特殊策略第六十八頁，共八十頁，2022年，8月28日雞兔共8只，有22只腳，雞兔各有多少只？

策略1：嘗試與猜想：1只雞，7只兔，腿的總條數是30，腿多了，減少兔子的數量，再嘗試；策略2：列表嘗試：雞兔各4只，那么腿24只，腿少了，增加雞的數量，再嘗試；策略3：用畫圖的方法，先按照都是雞畫好，再在此基礎上添上腿，添上2只腿就表明多了1只兔。第六十九頁，共八十頁，2022年，8月28日策略4：假設全是雞，也可以假設全是兔，也可以假設一半是雞一半是兔；策略5：方程思路：用