《抽象代數基礎》于延棟編鹽城師范學院數學科學學院二零零九年五月第一章群論§1代數運算1.設,上的乘法的乘法表如下:·證明:適合結合律.證明設為中任意三個元素.為了證明適合結合律,只需證明.下面分兩種情形來闡明上式成立.I.中至少有一個等于.時,當當當II.;;.時,時,都不等于.(I)(II)(III)當.這時,.兩兩不等.這時,中有且僅有兩個相等..時,和是中的兩個不同元素,令表示,從而,中其余的那個元素.于是,.同理可知,當或時,都有,.2.設是集合上一個適合結合律的代數運算.對于中元素,歸納定義為:,.證明:.進而證明:在不改變元素順序的前提下,中元素的乘積與所加括號無關.證明當假設當時,根據定義,對于任意的正整數,等式成立.)時,對于任意的正整數,等式成立.當(時,由于適合結合律,我們有.所以,對于任意的正整數和,等式成立.考察中任意()個元素:當時,要使記號變成有意義的記號,必需在其中添加一些括號規定運算次序.現在我們來闡明:在不改變元素順序的前提下,無論怎樣在其中添加括號,運算結果總是等于.事實上,當或時,無需加括號,我們的結論自然成立.當)時我們的結論成立.考察的情形:不妨設最后一次運算是)個元素的運算結果,為時,由于適合結合律,我們的結,其中為論成立.假設當(中前(于是,根據歸納假設,中后個元素的運算結果.,.所以最終的運算結果為.3.設是有理數集.對于任意的結合律也不適合交換律.,令,證明:是上的一個代數運算,它既不適合證明眾所周知,對于任意的.由于,.所以是上的一個代數運算.令,,,,從而,,所以不適合結合律.由于,,.從而,.所以不適合交換律.§2群的概念1.證明:關于矩陣的加法構成一個群.證明首先,眾所周知,,,.由于矩陣的加法適合結合律,上的加法適合結合律.其次,令,則,并且,.最后,對于任意的,令,則且.所以關于矩陣的加法構成一個群.2.令,證明:關于矩陣的乘法構成一個群.證明將記作,并將中其余三個矩陣分別記作.于是,上的乘法表如下:·EEABCAAEBBCECCBAEEABCCBA由于矩陣的乘法適合結合律,上的乘法適合結合律.從乘法表可知,,,.所以關于矩陣的乘法構成一個群.3.在整數集中,令,.證明:關于這樣的乘法構成一個群.證明對于任意的,我們有,,從而.這就是說,該乘法適合結合律.其次,,并且對于任意的,我們有,.所以關于該乘法構成一個群.4.寫出的乘法表.解,的乘法表如下:·5.設是一個群,證明:.若適合消去律.,則證明設.同理,若,則.這就表明,適合消去律.6.在中,令,.求和.解我們有,,.7.設,求.解我們有.8.設是任意一個置換,證明:.證明事實上,易見,是中的個不同的數字.由直接計算可知,;.其次,對于任意的,在之下的像是本身.所以.9.設是一個非空集合,是上的一個代數運算,若適合結合律,則稱是一個半群(或者稱關于構成一個半群).證明:整數集關于乘法構成一個半群,但不構成一個群.證明眾所周知,是非空集合,對于任意的,總有,總有,并且整數乘法適合結合律,所以關于乘法構成一個半群.其次,令.于是,對于任意的.但是,,并且不存在,使得.所以關于乘法不構成一個群.10.設是一個非空集合,是由的所有子集構成的集合.則集合的并是一個半群.是上的一個代數運算.證明:證明眾所周知,對于任意的這就是說,上的代數運算,總有.適合結合律,所以是一個半群.注請同學們考慮如下問題:設是一個非空集合,是由的所有子集構成的集合.定義上的代數運算(稱為對稱差)如下:,.求證:11.令是一個交換群..證明關于矩陣的乘法構成一個半群.證明眾所周知,對于任意的,總有,.這就是說,矩陣的乘法是上的一個代數運算,并且適合結合律,所以關于矩陣的乘法構成一個半群.12.設是一個半群,,如果存在使稱為的一個左(右)單位元,如果對于任意的都有().對于(),則稱左(右)可逆的,是的一個左(右)逆元.假設有左(右)單位元且中每個元素都有關于的左(右)逆元.證明:是一個群.,使得證明設是中任意一個元素.任取,使得.再任取.于是,我們有且.因此.所以.由以上兩式可知,是單位元,中每個元素都有逆元.所以是一個群.對于有左單位元且中每個元素都有關于的左逆元的情形,請同學們自己證明.13．設是一個群,證明:,.證明對于任意的,我們有,.所以,.16.設是一個群,證明:是交換群的充要條件是,.證明必要性是顯然的.現在假設滿足該條件.于是,對于任意的.運用消去律(第5題)立即可得.所以是交換群.,我們有,即17．設是一個群.假設對于任意的都有,證明:是交換群.證明我們有,.由上題知,是交換群.18.設是非空集合,是上的一個代數運算且適合結合律.,方程(1)證明:是一個群當且僅當對于任意的和在中都有解.的解,(2)假設是有限集,證明:是一個群當且僅當適合消去律.證明(1)當是一個群時,顯然,對于任意的,是方程是方程的解.現在假設對于任意的,方程,在中都有解.任取,考察方程.根據假設,方程有解.設是中任意一個元素,考察方程.根據假設,方程有解.于是,我們有.由于的任意性,上式表明是半群的一個右單位元.再考察方程.根據假設,方程是一個群.有解.由于的任意性,這表明中每個元素關于右單位元都有右逆元.所以(2)當是一個群時,根據第5題,適合消去律.現在假設,并且.由于適合左消去律,因此必出現于乘法表的第行中.,從而方程在中有解.同理,由于適合右在中有解.這樣一來,根據(1),適合消去律.任取,考察方程這就意味著存在,使得消去律,方程是一個群.19.證明命題2.8中的表示法在不計循環置換的順序的意義下是唯一的.注注宜將這道題表述成“證明:在不計循環置換的順序的意義下,在用命題2.8中的證明中所說的方法將一個表示成兩兩不相交的循環置換的乘積時,表達式是唯一的”.置換證明顯然,當是單位置換時,表達式就是.不妨設不是單位置換,和都是在用命題2.8中的證明中所說的方法將置換表示成兩兩不相交的循環置換的乘積的表達式.于是,兩兩不相交,兩兩不相交,而且它們的階都大于或等于.考察任意的():設.由和可知,存在(),使得,.不妨設.由和可知,并且,,從而,.由于兩兩不相交,兩兩不相交,并且不計循環置換的順序,不妨設,.假設,則,由此可見,當§3子群時,必與中某一個相交.這與我們的假設矛盾.所以是同一個表達式..這就表明,和1.設是數域上的級一般線性群,是的由全體階可逆的對角矩陣組成的子集,證明:是的子群.證明眾所周知,非空,并且有,,其中表示矩陣與矩陣的乘積,表示矩陣的逆矩陣.所以是的子群.2.設是一個群,是的非空子集,證明:是的子群的充分必要條件是,.證明由定理3.3可知,當是的子群時,滿足條件.假設滿足條件.對于任意的,我們有.因為滿足條件,由可知,,.因為滿足條件,由可知.總而言之對于任意的,我們有.根據定理3.3,是的子群.3.設是群的子群,,證明:也是的子群(稱為的一個共軛子群).證明顯然,是的非空子集.設.因此.于是,存在,使得,.所以是的子群.4.設是交換群,為整數,令,則,證明:是的子群.,從而,證明顯然.若.由此可見,是的子群.5.設是交換群,證明:的所有階為有限的元素構成的集合是的子群.證明令表示的所有階為有限的元素構成的集合.顯然.設,其中,.于是,,從而,.由此可見,是的子群.,證明:與具有相同的階.6.設是群,證明顯然,對于任意的正整數,,從而,.由此可見,與7.設具有相同的階.是循環置換,求的階.解當當時,顯然,,.時,我們有,,,從而,.8.設群的除單位元外的每個元素的階都為,證明:是交換群.證明參看§2習題第17題.9.設是群,,證明:與具有相同的階.證明注意到10.設是群,證明令,根據第6題的結論,,.假設的階與的階互素,證明:.由于與具有相同的階..,,,根據命題3.12可以斷言.其次,我們有,從而,根據命題3.12,.因為與互素,由可知.同理可知,.由于與互素,因此.所以,即.11.設是整數集關于加法構成的群,是的子群,證明:存在使.證明眾所周知,.當時,顯然.這時.現在假設.于是,存在使,并且,在和中,一個是正數,另一個是負數.令表示中的最小正數.顯然,我們有,.現在考察任意的:眾所周知,存在整數和,使得,.于是,.由于令是中的最小正數,必有,從而,.上述表明.所以.12.設是一個群,群.,都是的子群.假設不包含于且不包含于,證明:不是的子證明由于不包含于.假設且不包含于,是的子群,因此存在,矛盾.因此且存在.于是,.這樣一來,,則不是的子群..同理,.所以13.設是一個群,是的一個子群鏈,證明:是的子群.證明設.于是,存在正整數和使得,從而,.所以,.令是的子群...由于是的子群,因此14.證明:()是的一個生成集.或,則證明考察任意的對換:若.若且,則.這就是說,對于每一個對換,要么它本身屬于,要么它可以表示成中的一些對換的乘積.這樣一來,根據推論2.10可以斷言,每一個中的一些對換的乘積.由此可見,可以表示成,從而,.§4循環群1.證明:循環群是交換群.證明設是一個循環群.于是,(參看課本第12頁倒數第4行).眾所周知,,.所以是交換群.2.設是一個群,.假設的階為,證明:對任意整數,有.證明令.由于,根據命題3.10,是有限循環群.根據命題4.2,.3.設是一個階循環群,是任意整數,證明:與具有相同的階且.證明根據命題4.2,我們有.根據命題3.10,見,和都是的階子群.顯然,,從而,.由此可.4.設是一個階循環群,證明:當且僅當.證明根據命題4.2,我們有.5.設是循環群,和是的兩個子群,證明:.為了證明.證明顯然,從而,,現在只需證明.于是,由.考察任意的使得:當為的單位元時,顯然.不妨假定,所以.眾所周知,知,存在,;由知,存在,使得.因為,從而,存在,使得.于是,我們有,其中,當時,當時.綜上所述,對于任意的,總有.所以.是的兩個子群,證明:6.設是階循環群,和的充要條件是.證明假設.根據命題4.2,我們有,從而,.假設.于是,,從而,.這樣根據第3題的結論可以斷言,,即.7.設是無限循環群,證明:有且僅有兩個生成元.證明由于是無限循環群,不妨設是的一個生成元.于是,也是的一個生成元,并且.這就是說,有兩個不同的生成元.其次,假設是的任意一個生成元.由于,因此存在,使得.由于且,因此存在,使得.由此可見,,即或.所以有且僅有兩個生成元.8.設是無限循環群,時,顯然和是的兩個子群,證明:的充要條件是.證明當.假設.顯然,當;由時,,從而,,使得.不妨假定.于是,由.由可知,存在可知,從而,,使得可知,存在.因此.由于.所以§5正規子群與商群1.證明:循環群的商群也是循環群..證明設是循環群,是的子群.于是,我們有.這就表明,是循環群.2.設是群,,,是的一族正規子群,證明:是的正規子群.顯然,我們有也是的正規子群.證明眾所周知,,.所以3.設也是的正規子群.,是群的正規子群且,證明:對于任意的,,都有.證明對于任意的,,由于是群的正規子群,根據命題5.11我們有,從而,,從而,;由于是群的正規子群,根據命題5.11我們有.因此,從而,.由此可見.4.設是群的子群且,證明:是的正規子群.證明我們已經知道,,.任意給定.當時,.由此可見.當時,,并且,由可知,.所以是的正規子群.5.設是群的有限子群,.假設只有一個階為的子群,證明:是的正規子群.證明任取,考察:由§3習題第3題知,是的子群.定義到的映射如下:,.顯然是雙射.因此.由于只有一個階為的子群,因此.這樣一來,由于的任意性,根據命題5.11可以斷言,是的正規子群.6.設是群,和是的子群,(1)證明:是的子群.(2)假設是的正規子群,證明:是的子群.(3)假設和都是的正規子群,證明:是的正規子群.證明(1)假設是的子群.于是,對于任意的,我們有存在和和,使得存在,.所以.假設.為了證明.因此是的子群,任意給定.于是,存在和,使得,.由于,因此存在和,使得,從而,.這樣一來,由于的任意性,我們斷言:是的子群.(2)由于是的正規子群,我們有.這樣,根據(1),(3)根據(2),是的子群.是的子群.此外,還有,.所以是的正規子群.7.設是群,和是的子群且,證明:.注證明這道題時還要用到如下約定:,.此外,這道題與§7中的Lagrange定理類似,而且其證明難度不亞于Lagrange定理的證明難度,因此安排在這里不太合適.證明首先,由于是的子群,因此.由此可見,當時,,從而,.其次,由于,因此當時,,從而.現在假設且.令,.由知,存在知,存在,使得,使得,其中諸,其中諸兩兩不相交.由兩兩不相交.這樣一來,我們有.現在我們來闡明上式中的諸兩兩不相交.為此,設,,我們來比較與.當時,由于,從而,,,因此,即與不相交.當且時,,從而,,即與不相交.所以式中的諸兩兩不相交.這樣一來,根據式可以斷言,,即.8.設是群的子群,假設的任意兩個左陪集的乘積仍是一個左陪集,證明:是的正規子群.證明任取.由于是的左陪集,因此存在的左陪集,使得,由此可見,,,從而.所以.由于的任意性,根據上式我們又可以斷言,.將上式兩邊左乘,右乘,得§6群的同構與同態.所以.由于的任意性,這就意味著是的正規子群.1.設是群的同構.到群的同構,是群到群的同構,證明:是群到群的同構;是群總有到群證明眾所周知,是到的雙射.其次,又因保持乘法運算,故對于任意的,從而,.所以是群到群到的同構.的雙射.又因和都保持乘法運算,故對于任意的眾所周知,是總有.所以是群到群的同構.是的共軛子群,證明:的映射如下:2.設是群的子群,與同構.證明定義到,.直接從的定義可以明白,是滿射.利用消去律容易推知,是單射.因此是雙射.其次,對于任意的總有.所以是群到群的同構,從而,.3.設是群到群的同構,證明:對于任意的則的階與的階不一定相同.,.舉例說明,若是群到群的同態,證明將群和群的單位元分別記做和.注意到根據命題6.5,我們可以斷言:對于任意的正整數,我們有.由此可見,.假設,,其中為的單位元,為到的映射.則是到的同態.任取,使得,則,,從而,.4.分別建立到和到的同態來證明定理6.11.注定理6.11的內容如下:設是一個群,是的正規子群.(1)若是的子群,則;(2)若是的正規子群且證明(1)設是的子群.顯然,,則.是的正規子群;是的正規子群.考察任意的:假設,其中,,.則,從而,.因此.這樣一來,我們可以定義,若到的映射如下:對于任意的,,其中,.由可知,是滿射.任意給定.不妨設,.由于是的子群,因此,從而,存在和,使得.因此.另一方面,我們有.注意到是的正規子群和命題5.11,易知,從而,,即.所以是到的滿同態.最后,對于任意(,),我們有.因此.這樣一來,根據群的同態基本定理,.(2)設是的正規子群且下:.顯然,是的正規子群.定義到的映射如,.顯而易見,是滿射.由于是的正規子群,因此對于任意的,總有.因此是到的滿同態.其次,對于任意的,我們有.因此.這樣一來,根據群的同態基本定理,.5.設是群,,是的有限子群,證明:.注與§5習題中第8題類似,這道題也宜安排在§7習題中.證明令.于是,既是的子群,又是的子群.設.則有,(*)其中,.顯然,諸兩兩不相交;有且僅有一個,使得;并且.由于,因此.這樣,由(*)式可以推得.(**)對于任意的,考察與:若,則,從而,.由此可得,,從而,.這就表明,諸兩兩不相交.這樣一來,由(**)式可以知,.6.設是群,證明:是群到群的同構的充分必要條件是為交換群.如果是交換群,證明:對于任意的,是一個同態.證明將到自身的映射記做.顯然是雙射.于是,是群到群的同構,,即,,,.假設是交換群,.將到自身的映射記做.于是,我們有所以是一個同態.,.7.設是群到群的滿同態,是的正規子群,證明:.證明由于是的正規子群,根據定理6.7,是的正規子群.現在定義到的映射如下:.由是群到群的滿同態可知是到的滿射.,有其次,注意到是的正規子群,對于任意的.所以是到的滿同態.,我們有最后,對于任意的.因此.這樣一來,根據群的同態基本定理,是的正規子群.假設.8.設是群,,且(此時稱是和的內直積),證明:.證明定義到的映射如下:,.由可知,是滿射.現在設,并且.于是,,從而,,從而,.這意味著且,即.由此可見,是單射,從而,是雙射.對于任意的,我們有,.由于,是的正規子群且,由§5習題第3題可知,.因此,從而,是群到群的同構.所以.9.設,是群,證明:.證明定義到的映射如下:,.顯然,是雙射.其次,對于任意的,我們有,.所以是群到群的同構,從而,.10.設是不同的素數,證明:.證明對于任意的和任意的,將以為代表元的模同余類記做.于是,對于任意的,注意到是不同的素數,我們有.這樣一來,我們可以定義到的映射如下:,.考察映射:設且且.則.因此是單射.其次,顯然,我們有,即.因此是,從而,雙射.最后,對于任意的,.所以是群到群的同構,從而,.§7有限群1.設是群,是的正規子群,,證明:對于任意的都有.證明由于因此,因此,從而,.根據推論7.2,對于任意的,商群中元素的階整除..2.設和分別是階為和的有限循環群,證明:存在到的滿同態的充要條件是.證明假設是到的滿同態.根據群的同態基本定理,.根據Lagrange定理,我們有,從而,.假設.令,.于是,是的正規子群,,是元循環群.顯然,.設是到的同構,是到的自然同態.則是到的滿同態.3.設是有限群,為素數,.如果,證明:一定有階為的子群.注我們介紹過Sylow定理的如下形式:設是階有限群,其中,,是素數,是非負整數,是正整階子群.顯而易見,這道題已經包含在數,并且.那么,對于任意的,有Sylow定理中.這是因為:由知,存在正整數和,使得,其中.于是,.根據Sylow定理,有階子群.下面我們采用證明Sylow定理的方法給出這道題的直接證明.證明假設.則存在正整數和,使得,其中.顯然,.根據Sylow定理,存在的子群使.現在只需證明一定有階為的子群.為此,對施行第二數學歸納法.時,顯然結論成立.當假設是整數,并且當時,對于任意的正整數,有階子群.下面我們來闡明:當時,對于任意的正整數,有階子群.事實上,由可知,對于的每個真子群,都有(其中為群的中心).由群的類方程立即可知.由于是交換群,根據引理7.4,存在.則,使得.由可知,是的正規子群.令.根據歸納假設,對于任意的正整數,,從而,有階子群.根據命題5.13,存在的子群,使得且.4.設是有限群,為素數,如果的每個元素的階都是的方冪,則稱是-群.證明:是-群的一個冪.是證明顯然,當是的一個冪時,是-群.現在假設不是的一個冪.于是,存在素數,使的,其中,.根據Sylow定理,有階子群.所以不是-群.5.證明:階小于或等于5的群都是交換群.證明顯然1階群是交換群.由推論7.2立即可知,2階群、3階群和5階群都是循環群,因而都是交換群.設是4階群.根據推論7.2,中元素的階只能是,2或.當中有4階元素時,是循環群,因而是交換群.當中有4階元素時,中的元素,除單位元外,都是2階元素.不妨設四元群,因而是交換群..容易驗證,就是Klein6.設是群,,是的有限子群,假設,證明:.證明由于既的子群,又是的子群,根據推論7.2,是與的公約數.因為,所以.這樣一來,根據§6習題第5題,我們有.第二章環論§1環的概念1.證明:命題1.3的(5)-(7).注命題1.3的(5)-(7)的原文如下:(設是一個環,則)(5);(6),其中為整數;(7)若是交換環,則,.顯然,(5)中應加進“其中和為中的任意元素,和為任意正整數”;(6)中應加進“和為中的任意元素”;(7)中應加進“其中，和為中的任意元素,為任意正整數,并且約定,”.證明首先,因為乘法對加法適合分配律,所以.這就是說,命題1.3(5)成立.其次,當時,根據命題1.3(1),我們有.當是正整數時,令,,,從而,,,,則因乘法對加法適合分配律,我們有,,從而,.當是負整數時,根據命題1.3(2)和剛才證明的結論,我們有,,從而,.這就是說,命題1.3(6)成立.最后,假定是交換環.我們用數學歸納法來證明等式(*)成立.事實上,當時,顯然(*)式成立.假設當為某個正整數)時,(*)式成立.當時,我們有.所以對于一切正整數,(*)式成立.此外,由于乘法適合結合律和交換律,由第一章的§1知,.2．令,證明關于實數的加法和乘法構成一個環.證明顯然,是一個交換群;是一個半群(也就是說,乘法適合結合律);乘法對加法適合分配律.所以是一個環.(驗證過程從略.)3.設是閉區間上的所有連續實函數構成的集合.對于任意的,定義,,.證明:關于這樣定義的和構成一個環.證明簡單的數學分析知識告訴我們,適合結合律);乘法對加法是一個交換群;適合分配律.所以是一個半群(也就是說,乘法是一個環.4.設是有單位元的環,是正整數.形如,其中,,的表格稱為環上的矩陣(或階方陣).令是環上的所有矩陣構成的集合.完全類似關于矩陣的加法和乘法構成一個環.記,使得,則稱是可逆的,稱是的一個逆矩陣,證明:若可逆,則其逆是唯一的,記的逆矩陣為于數域上矩陣,可以定義環上的矩陣的加法和乘法,證明:中單位矩陣為.對,如果存在.證明完全類似于數域上矩陣,容易驗證都為的零元的階方陣;對于任意的上的加法適合結合律和交換律(從略).令表示所有元素,將中每個元素都代之以其負元而得到矩陣記做.顯而易見,對于任意的,有,.所以對關于矩陣加法交換群.完全類似于數域上矩陣,容易驗證:上的乘法適合結合律,并且關于矩陣的加法和乘法構成一個環.,從而,上的加法適合分配律(從略).所以假設是任意一個可逆矩陣,并且矩陣和都是的逆矩陣.則矩陣.這就表明的逆矩陣是唯一的.5.設是一個環,假設是一個循環群,證明:是交換環.的一個生成元.于是,對于任意的證明設是循環群,存在,使得,,從而,根據命題1.3(6),.所以是交換環.6.設是一個有單位元的環,對于任意的,⊙,令,證明:和⊙是上的兩個代數運算且關于加法和乘法⊙也構成一個有單位元的環.注到此為止,還要求證明和⊙是上的代數運算已沒有什么意義.因此這道題可改為:設一個有單位元的環,定義上的代數運算加法和乘法⊙如下:是,⊙,.證明:關于加法和乘法⊙也構成一個有單位元的環.證明(顯而易見,和⊙都是上的代數運算.)對于任意的,有;;;.由此可見,是以為零元的交換群.其次,對于任意的,有⊙⊙⊙⊙⊙⊙;⊙⊙,⊙⊙,從而,⊙⊙⊙;⊙⊙;⊙⊙;從而,⊙⊙⊙;⊙⊙.的單位元為零元、以環所以,⊙是以環的零元為單位元的環.7.在剩余類環中,記滿足(1)令的剩余類的個數為,證明:,則關于剩余類的乘法構成一個群;(2)若,則()(費馬定理).證明(1)顯然,其次,設,因此..根據的定義,.因此,從而,.這表明,關于剩余類的乘法封閉.由于剩余類的乘法適合結合律,因此關于剩余類的乘法構成一個半群.由于,,因此是半群的單位元.再考察任意的,從而,并且:由可知,存在,使得.顯然.這就表明,半群中每個元素都有逆元.所以關于剩余類的乘法構成一個群.(2)首先,我們注意,,從而,.設.于是,.根據第一章中命題3.12,.所以().§3理想與商環1.設和是整數環的兩個理想,證明:,.注注這里約定,當時,.證明我們已經知道,對于任意的,有(參看課本第39頁).這樣一來,由第一章§4習題第5題可知,.其次,顯然,且,從而,且.由于是包含和的最小理想,因此.另一方面,眾所周知,存在,使得.由此可見,,從而,.所以.2.證明命題3.7.注命題3.7如下:設是一個環,是的一個理想.(1)若是的一個理想且,則(2)若是證明(1)設是的一個理想且是的理想;的一個理想,則存在的理想,使且..首先,由于是加群的正規子群且是加群的子群且,根據第,我們有一章命題5.13(1),,從而,是加群的子群.其次,由于是的理想,對于任意的和任意的,.所以是的理想.(2)設是的一個理想.于是,是加群的一個子群.首先,根據第一章命題5.13(2),存在加群的子群,使且.此外,由于是的理想,因此對于任意的和任意的,我們有,,從而,.所以是的理想.3.設是環的一個左理想,令注應將“,證明:是的一個左理想.”改為“”.證明首先,顯然.其次,對于任意的,我們有,從而,,.因此,.所以是加群的子群.此外,對于任意的和任意的,我們有,,從而,.所以是的一個左理想.4.設是環,是的一個理想鏈,證明:是的理想.證明由于是加群的一個子群鏈,根據第一章§3習題第13題,是加群的子群.其次,設,.于是,存在正整數,使得.由于是的理想,因此,從而,.所以是的理想.5.設是有單位元的環的一個理想,令明:是的一個理想.是多項式環中所有系數在中的多項式組成的集合,證證明顯而易見,是多項式環的一個子環.此外,對于任意的和任意的,我們有,.由于是環的一個理想,因此,.由此可見,.所以環的一個理想.6.設是數域上所有2階方陣構成的環,證明:的理想只有注本題中的是指2階零矩陣.和.證明考察環的任意一個非零理想:任取非零矩陣.假設的秩等于.于是,對于任意的.由此可見,,存在使得.因為是的理想且,由可知.假設的秩等于.令,,,,.于是,存在可逆矩陣(),使得().因為是的理想且,由以上四式可知().這樣一來,注意到是的理想,對于任意的,我們有.由此可見,.綜上所述,可以斷言,的理想只有§4環的同態和.1.設是環到環的同態,證明:是的理想.證明由于是環到環的同態,因此是加群到加群的同態.根據第一章中的命題6.6,是加群的(正規)子群.此外,對于任意的和,我們有,,從而,2.設是環到環的同構,證明:證明由于是環到環的同構,因此是加群到加群的同構.根據第一章§6習題第1題,.由此可見,是的理想.是環到環的同構.是加群到加群的同構.又因保持乘法運算,故對于任意的總有,從而,.所以是環到環的同構.3.證明定理4.3.注定理4.3如下:設是一個環,是的理想.(1)若是的理想,則;(2)若是的理想,且證明(1)令,則.,.根據第一章中的定理6.11(1)及其證明,是加群到加群的滿同態,并且.此外,,還有,.所以是環到加環的滿同態,并且.這樣一來,根據環的同態基本定理,在環的同構的意義下,.(2)令,.根據第一章中的定理6.11(2)及其證明,是加群到加群的滿同態,并且.此外,還有,.所以是環到環的滿同態,并且.這樣一來,根據環的同態基本定理,在環的同構的意義下,.4.設是有單位元的環的一個理想,令在中的多項式組成的集合,證明:是多項式環中所有系數是的一個理想,且.證明反復利用§3習題第5題的結論可以推知,是的一個理想.對于任意的,令,其中,,,,.不難驗證,是環到環的滿同態,并且(驗證過程從略).根據環的同態基本定理,.5.設是有單位元的環,證明:.證明定義到的映射如下:.到的滿同態,并且,顯而易見,是.所以.6.設是環到環的滿同態,是環的一個理想,證明:是的理想且.證明由于是環到環的滿同態,因此是加群到加群的滿同態.由于是環的一個理想,因此是加群的(正規)子群.根據第一章§6習題第7題,是加群的子群,并且,在群的同構意義下,.其次,由于是環的一個理想,對于任意的和任意的,有,,從而,.所以是的理想.現在令,.顯而易見,是加群到加群的同構.此外,對于任意的,有.因此,是環到環的同構.這就是說,在環的同構意義下,有.7.設是環的理想,假設且(此時稱是和的內直和),證明:.證明對于任意的和.令,.根據第一章§6習題第8題及其解答可知,是加群到加群的同構.其次,對于任意的,我們有和,由于是環的理想且,從而,.因此,,從而,.所以在環的同構意義下,有8.設是環的理想且.,證明:.證明對于任意的和,我們有且且.這樣一來,我們可以定義到的映射如下:對于任意的和任意的,.考察任意的:由可知,存在可知,和,使得,.由和;由和可知,.這樣一來,根據的定義,我們有.由此可見,是到的滿射.,我們有對于任意的和任意的,.所以是環到環的滿同態.,我們有對于任意的和任意的,從而,.這樣一來,根據環的同態基本定理,.§5交換環1.設是交換環,是的理想,令證明顯然是的非空子集.設,證明:也是的理想.,.于是,存在正整數和,使得.由此可見,,,,,從而,.所以也是的理想.2.設是交換環,是的真理想,證明:是的素理想對的任意兩個理想,其中,若,則或.證明首先證明這個條件是為素理想的必要條件.為此,設是素理想,并設和是的理想且:若對于任意的都有,則.否則,存在.總之,或,使得.由于,因此,.又因是素理想且,故,,即.其次,假設對的任意兩個理想,其中.于是,,若.我們來闡明是的素理想:考察任意的,則或.由于是交換環,我們有,,.考察任意的:不妨設,其中,.通過直接演算可知,.由此可見,素理想..這樣一來,根據我們對的假設,也是整環,且若或,從而,或.所以是3.設是整環,證明:,則.證明由于是有單位元的交換環且,所以也是是有單位元的交換環,,并且的:不妨假設零元和單位元分別是的零元和單位元.考察任意的,,其中且.于是,,,并且,其中,,.由于無零因子,次多項式.所以且,因此,從而,是.由此可見,也是整環.4.設是整環,證明:中的可逆元(即存在逆元的元素)恰是中的可逆元.證明我們知道使得的單位元就是的單位元.設.由上題知,是中的可逆元.于是,存在.這樣一來,由,可知,是中的可逆元.反之,顯然中的可逆元都是中的可逆元.所以中的可逆元恰是中的可逆元.5.求出中每個非零元的逆元.證明在中,,,.由此可見,的逆元是,與互為逆元,的逆元是.6.設是數域,證明由于是中的不可約多項式,證明:是的極大理想.是有單位元的交換環,因此.由于是中的不可約多項式,因此.任取是的真理想.設是不能整除,使得的一個理想,,并且.則.由于是不可約多項式,因此與互素,從而,存在.注意到由上式可知,,從而,.所以是的極大理想.7.證明:是的一個極大理想.證明由于是有單位元的交換環,因此,,從而,,即,.顯然,是的真理想.假設是的一個理想,.由于,并且.任取,并將的常數項記做.則.所以且,因此.由此可見,是的極大理想.8.證明:是的極大理想是素數.注這里應假定為正整數.證明由于是有單位元的交換環,因此,,從而,,即,.假設是素數.顯然,是的真理想.設是,并將的常數項記做.則不能整除.由于,因此.由于是素數且不能整除,因此與互素,從而,存在,由.由此可見,的一個理想,,并且.特別地,.任取且,使得.所以.注意到是的極大理想.的一個理想且可知是假設不是素數.當整數,使得時,顯然.因此的真理想,不是極大理想.當是合數時,存在大于的且.所以.于是,是不是的極大理想.9.證明本節定義的是除環但不是域.證明設是實數域上的四維向量空間.我們知道,關于向量的加法構成一個交換群.下面我們來定義上的一個乘法,使得是一個除環,但不是域.對于中的任意向量,,我們定義與的乘積為:.容易驗證,我們定義的乘法外,易見,是環的單位元;適合結合律,并且對于加法適合分配律.因此是一個環.此這四個元素中兩兩相乘的結果如下表所示:·由此可見,環是非交換環.再考察任意的:設.令,其中.由直接演算可知,,從而,可逆.由此可見,環是除環,但不是域.10.設是交換環,是的素理想鏈,證明:是的素理想.證明根據命題3.4,是的理想.設和是的兩個理想且,則.于是,對于每個正整數都有則當.假設對于每一個正整數都有.假設存在正整數,使得不包含于,因此當.由于當,時總是不包含于.由于諸都是素理且,因此.這樣一來,根據第2題,注也可以根據課本中的素理想的定義直接證明.時總有時是的素理想.11.設是有單位元的環,是的一個真理想,證明:存在的極大理想使.證明令.顯然關于集合之間的包含關系構成一個偏序集.假設是的任意一個有序子集.考察,使得.由于是的有序子集,不妨假定,從而,.所以的上界.這樣一來,由于的任意性,根據Zorn引理我們可以斷言,偏序集:顯然且.設,.于是,存在,從而,.由于是的理想,因此.顯而易見,是有極大元.這個極大元就是的極大理想且.12.設是特征為()的整環,證明:且映射是一個環同態.證明根據命題1.3(7),.當.所以時,,從而,.由于的特征為(),當時,.將本題中所說的映射記做,則,,.所以是環的自同態.13.設是有限環,假設沒有零因子,證明:是除環.證明由于是有限環且沒有零因子,因此是非空有限集,并且關于上的乘法封閉.由于上的乘法適合結合律,因此上的乘法(即上的乘法在上的限制)也適合結合律.由于沒有零因子,因此在上的乘法適合消去律.這樣一來,根據第一章§2習題第18題的第(2)小題,關于乘法構成一個群.由此可見,是除環.14.設是有單位元的交換環,證明:是一個域的理想只有和.注本題有誤.這是因為:當時,是有單位元的交換環,不是一個域,但的理想只有和.應和.”將本題改為“設是至少含有兩個元素的有單位元的交換環,證明:是一個域下面就修改后的題目進行證明.的理想只有證明假設是一個域.考察的任意非零理想:任任意的,存在,使得,從而,.由于關于乘法構成一個群,因此對于.所以的理想只有和..由此可見,假設不是域.于是,存在非零元15.證明:有限除環一定是域.,使得不可逆.因此,從而,且.注這里要證明的命題是著名的Wedderburn定理,證明時要用到的知識超出本章的范圍.因此應該刪去這道題.此外,原題中應刪去“有單位元的”這幾個字,因為凡是除環都有單位元.§6整環的因子分解1.證明:是中的既約元.:顯然,證明考察高斯整數環和都是中的單位.假設,(其中),使得.于是,.從而,于是,.由此可見,中的單位就是和.這樣一來,),使得不是單位.當然也不是零元.假設,(其中..由此可見,2.證明:,,注這里或,從而,是單位或是單位.所以是既約元.,都是中的既約元.表示的一個平方根.證明考察整環中:顯然,都是中的單位.假設,(其),使得.于是,.由此可見,是零元.中的單位就是.這樣一來,,,,都不是單位.當然他們也都不假設,(其中),使得.于是,.由此可見,或,從而,,或者,.所以是中的既約元.假設,(其中),使得.于是,.顯然,無論是什么整數,,.這樣一來由上式可以推知,時,;當且,或者,時,且.當.所以是中的既約元.假設,(其中),使得.于是,.由此可見,或.當時,中的既約元.;當時,.所以是域.是有單位元的交換環,根據定理5.6,為了證明都是3.證明:證明由于是域,只需證明是的極大理想.事實上,顯然是的真理想.現在設是的一個理想,.任取且.由.顯然,,從而,可知,.假如是偶數,則.由可知,這與.由此可見,矛盾.所以.所以是奇數.這樣一來,存在理想.,使得,從而,是的極大4.證明:整數環是主理想整環.證明我們已經知道整數環是整環.設是的任意一個理想.當中必有正整數.將中的最小正整數記做.考察任意的時,.現在設.顯然,.由于:根據帶余除法,存在整數和,使得,則與為中的最小正整數的事實矛盾.因此,從而,.所以,.由此可見,的任意性,因此.假如.顯然,.綜上所述,整數環的所有理想都是主理想.所以整數環是主理想整環.5.證明:不是主理想整環.證明考察的理想.由§5習題第8題知,.假設存在此,使得.這樣一來,由,則由可得.由于是真理想,因可知.于是,.這與矛盾.所以不是的主理想,從而,不是主理想整環.6.證明:是歐氏環.證明顯然是整環.令.定義到的映射如下:,,其中.于是,對于任意的(其中