本章內容

3.1靜電場分析

3.2導電媒質中的恒定電場分析

3.3恒定磁場分析

3.4靜態場的邊值問題及解的惟一性定理

3.5鏡像法

3.6

分離變量法

靜態電磁場：場量不隨時間變化，包括：靜電場、恒定電場和恒定磁場

時變情況下，電場和磁場相互關聯，構成統一的電磁場靜態情況下，電場和磁場由各自的源激發，且相互獨立3.1靜電場分析

學習內容

3.1.1靜電場的基本方程和邊界條件

3.1.2電位函數

3.1.3導體系統的電容

3.1.4靜電場的能量2.邊界條件微分形式：本構關系：1.基本方程積分形式：或或3.1.1靜電場的基本方程和邊界條件若分界面上不存在面電荷，即，則即靜電場可以用一個標量函數的梯度來表示，標量函數稱為靜電場的電位函數或簡稱電位。1.電位函數的定義3.1.2電位函數由,及電場為矢量，對應三個標量函數，而電位φ為一標量函數。顯然，計算電位更容易。借助電位求電場的方法，稱為輔助函數法。根據和標量函數梯度性質可知，電場線垂直于等位面，且總是指向電位下降最快的方向。2.電位的表達式對于連續的體分布電荷，由同理得，面電荷的電位：故得點電荷的電位：線電荷的電位：在均勻介質中，有3.靜電位的微分方程在無源區域，標量泊松方程拉普拉斯方程這些方程反映空間點上靜電場的特性。但是它們是微分方程，只適合于場函數連續可導的情形。對于有媒質突變的問題，場函數不再是連續可導，因此場方程的微分形式不再適用。有時研究的問題是有界的，在邊界上，場方程的微分形式也不再適用。為此，需要尋找分界面和邊界上靜電場滿足的方程，稱之為靜電場的邊界條件。4.靜電位的邊界條件

設P1和P2是介質分界面兩側緊貼界面的相鄰兩點，其電位分別為1和2。當兩點間距離Δl→0時由和媒質2媒質1分界面上電位連續，電位法向導數不連續。導體表面上電位的邊界條件（理想電壁邊界條件）常數，

若介質分界面上無自由電荷，即媒質2媒質1導體中靜電場始終為零，電位保持常數（等位體）。把導體看成介質2。得到電壁的邊界條件孤立導體的電容可以看做該導體與電位參考點（無限遠處或大地）之間的電容，定義為所帶電量q與其電位的比值，即1.電容

孤立導體的電容

兩個帶等量異號電荷（q）的導體組成的電容器，其電容為

電容的大小只與導體系統的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質的特性參數有關，而與導體的帶電量和電位無關。

3.1.3導體系統的電容

(1)假定兩導體上分別帶電荷+q和－q；

(2)計算兩導體間的電場強度E；

計算電容的步驟：

(4)求比值，即得出所求電容。

(3)由 ，求出兩導體間的電位差；

例3.1.4如圖所示的平行雙線傳輸線，導線半徑為a，兩導線的軸線距離為D，且D>>a，求傳輸線單位長度的電容。

解設兩導線單位長度帶電量分別為和。由于，故可近似地認為電荷分別均勻分布在兩導線的表面上。應用高斯定理和疊加原理，可得到兩導線之間的平面上任一點P的電場強度為兩導線間的電位差故單位長度的電容為

例3.1.5同軸線內導體半徑為a，外導體半徑為b，內外導體間填充的介電常數為的均勻介質，求同軸線單位長度的電容。內外導體間的電位差

解設同軸線的內、外導體單位長度帶電量分別為和，應用高斯定理可得到內外導體間任一點的電場強度為故得同軸線單位長度的電容為同軸線

電量為q的帶電體具有的電場能量We

對于電荷體密度為ρ的體分布電荷，體積元dV中的電荷ρdV具有的電場能量為故體分布電荷的電場能量為對于面分布電荷，電場能量為對于線分布電荷，電場能量為3.1.4靜電場的能量

1.靜電場的能量對于多導體組成的帶電系統，電荷只分布在導體表面，則有——第i個導體所帶的電荷

——第i個導體的電位式中：2.電場能量密度上述能量公式給出了電荷系統的能量，雖然也是靜電能量，但從形式上沒有與靜電場直接聯系起來。

從場的觀點來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個空間。孤立帶電體的能量

電場能量密度：

電場的總能量：積分區域為電場所在的整個空間

對于線性、各向同性介質，則有能量不滿足線性疊加原理由于體積V外的電荷密度ρ＝0，若將上式中的積分區域擴大到整個場空間，結果仍然成立。只要電荷分布在有限區域內，當閉合面S無限擴大時，則有無限遠處電位為零。則

推證：ρρ＝0S【兩種公式的討論】

用電荷電位計算的能量的公式從表面上看，似乎電荷能量是集中在電荷里的，電荷是能量的承載者，沒有電荷的地方就沒有能量。這正是當年超距作用的觀點。

用電場表示的能量公式告訴我們，只要有電場就有能量，即使所在的區域沒有電荷。這是場的觀點。

在靜電問題上，超距作用觀點與場觀點誰也說服不了誰。后來時變電磁場研究中發現了電磁波，場的觀點才占了上風。

用電荷電位計算的能量公式只能計算整體空間的能量。而電場能量公式可以計算局部區域中的能量。就整體空間而言，兩個公式計算的結果一樣。3.2導電媒質中的恒定電場分析

3.2.1恒定電場的基本方程和邊界條件

3.2.2恒定電場與靜電場的比擬

由J＝E可知，導體中若存在恒定電流，則必有維持該電流的電場，雖然導體中產生電場的電荷作定向運動，但導體中的電荷分布是一種不隨時間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產生的電場稱為恒定電場。

恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有相同的性質。3.2.1恒定電場的基本方程和邊界條件1.基本方程

恒定電場的基本方程為微分形式：積分形式：

恒定電場的基本場矢量是電流密度和電場強度

線性各向同性導電媒質的本構關系

恒定電場的電位函數由2.恒定電場的邊界條件

場矢量的邊界條件即即

電位的邊界條件由和3.2.2恒定電場與靜電場的比擬

如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場分布必然是同一個數學問題。只需求出一種場的解，就可以用對應的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場的方法稱為比擬法。恒定電場與靜電場的比擬基本方程靜電場（區域）本構關系位函數邊界條件恒定電場（電源外）對應物理量靜電場恒定電場

工程上，常在電容器兩極板之間、同軸電纜的芯線與外殼之間，填充不導電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導率遠遠小于金屬材料的電導率，但畢竟不為零，因而當在電極間加上電壓U時，必定會有微小的漏電流J存在。

漏電流與電壓之比為漏電導，即其倒數稱為絕緣電阻，即

漏電導(1)假定兩電極間的電流為I；計算兩電極間的電流密度矢量J；由J=E

得到E

;由，求出兩導體間的電位差；(5)求比值，即得出所求電導。

計算電導的方法一：

計算電導的方法二：(1)假定兩電極間的電位差為U；

(2)計算兩電極間的電位分布；

(3)由得到E;(4)由J=E得到J;(5)由 ，求出兩導體間電流；

(6)求比值，即得出所求電導。

計算電導的方法三：靜電比擬法：

例3.2.1求同軸電纜的絕緣電阻。設內外的半徑分別為a、b，長度為l

，其間媒質的電導率為σ、介電常數為ε。解：直接用恒定電場的計算方法電導絕緣電阻則設由內導體流向外導體的電流為I。若已知兩電極之間的電容，即可求得兩電極間的電阻及電導。

例如，已知面積為S，間距為d的平板電容器的電容，若填充的非理想介質的電導率為，則平板電容器極板間的漏電導為

又知單位長度內同軸線的電容。那么，若同軸線的填充介質具有的電導率為，則單位長度內同軸線的漏電導3.3.1恒定磁場的基本方程和邊界條件3.3.2

矢量磁位和標量磁位3.3.3

電感3.3.4

恒定磁場的能量

3.3恒定磁場分析1.基本方程2.邊界條件本構關系：或若分界面上不存在面電流，即JS＝0，則微分形式:積分形式:或3.3.1恒定磁場的基本方程和邊界條件

矢量磁位的定義

磁矢位的任意性磁矢位不是惟一確定的，它加上任意一個標量的梯度以后，仍然表示同一個磁場，即即恒定磁場可以用一個矢量函數的旋度來表示。

根據Helmhotz定理，為了唯一確定A

，除了給定它的旋度外，還應該給定它的散度。在恒定磁場中通常規定，并稱為庫侖規范。1.矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位

3.3.2矢量磁位和標量磁位由和2.標量磁位

一般情況下，恒定磁場只能引入磁矢位來描述，但在無傳導電流（J＝0）的空間中，則有即在無傳導電流（J＝0）的空間中，可以引入一個標量位函數來描述磁場。

標量磁位的引入標量磁位或磁標位在線性、各向同性的均勻媒質中拉普拉斯方程

標量磁位的邊界條件，3.3.3電感

磁通量Φ與電流I成正比。【磁鏈Ψ】：與回路電流交鏈的磁通總量。

式中，為的閉合曲線所交鏈的部分電流，I為回路的總電流。1.磁通與磁鏈對于N匝線圈，電流為I，則如果與總電流交鏈，則CI細回路iCIo粗回路

粗導線構成的回路，磁鏈分為兩部分：一部分是粗導線包圍的、磁力線不穿過導體的外磁鏈o；另一部分是磁力線穿過導體、只與部分電流交鏈的內磁鏈i。可以看出，磁通只是反映了通過面積的磁場通量，不能反映磁場與哪些電流交鏈。而磁鏈考慮了相交鏈的電流的貢獻。

設回路C中的電流為I

，所產生的磁場與回路C交鏈的磁鏈為，則磁鏈與回路C中的電流I

有正比關系，其比值稱為回路C的自感系數，簡稱自感。——外自感2.自感——內自感；粗導體回路的自感：L=Li+Lo

自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍的磁介質有關，與電流無關。

自感的特點：

對兩個彼此鄰近的閉合回路C1和回路C2

，當回路C1中通過電流I1時，不僅與回路C1交鏈的磁鏈與I1成正比，而且與回路C2交鏈的磁鏈12也與I1成正比，其比例系數稱為回路C1對回路C2的互感系數，簡稱互感。

3.互感同理，回路C2對回路C1的互感為C1C2I1I2Ro

互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對位置以及周圍磁介質有關，而與電流無關。

滿足互易關系，即M12=M21

當與回路交鏈的互感磁通與自感磁通具有相同的符號時，互感系數M為正值；反之，則互感系數M為負值。

互感的特點：3.3.4恒定磁場的能量1.磁場能量電流為I

的載流回路具有的磁場能量Wm

對于N個載流回路，則有對于體分布電流，則有2.能量密度

從場的觀點來看，磁場能量分布于磁場所在的整個空間。

磁場能量密度：

磁場的總能量：積分區域為電場所在的整個空間

對于線性、各向同性介質，則有若電流分布在有限區域內，當閉合面S無限擴大時，則有

故

推證：S

例3.3.6同軸電纜的內導體半徑為a

，外導體的內、外半徑分別為

b

和c

，如圖所示。導體中通有電流I

，試求同軸電纜中單位長度儲存的磁場能量與自感。

解：由安培環路定理，得三個區域單位長度內的磁場能量分別為單位長度內總的磁場能量為單位長度的總自感內導體的內自感內外導體間的外自感外導體的內自感3.4靜態場的邊值問題及解的惟一性定理

邊值問題：在給定的邊界條件下，求解位函數的泊松方程或拉普拉斯方程

為了簡化計算，靜態場可以通過位函數獲得。

同時，位函數在邊界上須滿足一定邊界條件。

對于靜電場，位函數是電位，滿足

對于靜磁場，位函數是磁矢位，滿足3.4.1邊值問題的類型

已知場域邊界面上的位函數值，即

第一類邊值問題（狄里赫利問題）已知場域邊界面上的位函數的法向導數值，即

已知場域一部分邊界面上的位函數值，而其余邊界面上則已知位函數的法向導數值，即

第三類邊值問題（混合邊值問題）

第二類邊值問題（紐曼問題）

自然邊界條件（無界空間）源分布在有限區域。

分界面的銜接條件對于區域中包含兩個以上介質的問題，邊值問題還要考慮介質分界面上的邊界條件，稱為分界面的連接條件。如例：（第一類邊值問題）（第三類邊值問題）例：

在場域V的邊界面S上給定或的值，則泊松方程或Laplace方程在場域V

具有惟一值。3.4.2惟一性定理

惟一性定理的重要意義

給出了靜態場邊值問題具有惟一解的條件

為靜態場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據

為求解結果的正確性提供了判據

惟一性定理的表述

唯一性定理給出了定解的充分必要條件，雖然沒有給出具體的求解方法，但對于求解有著重要的指導意義：一方面，我們在構造求解方程時，可以依據唯一性定理設置必要的邊界條件；另一方面，如果我們利用某種方法獲得了解，則可以肯定解是唯一的。即使采用不同的方法獲得了不同形式的解，也可以肯定這些解是等價的。

3.5.1鏡像法的基本原理

3.5.2接地導體平面的鏡像

3.5鏡像法

前面只是學過一些簡單靜態場的計算方法：

媒質均勻分布的空間中有限帶電體產生的電位－積分法

利用高斯定理計算具有對稱性的電位

實際中經常遇到的問題都是帶有邊界的。因此，目前已經學過的方法無能為力。

當有電荷存在于導體或介質表面附近時，導體和介質表面會出現感應電荷或極化電荷，而感應電荷或極化電荷將影響場的分布。

非均勻感應電荷產生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代1.問題的提出

幾個實例

接地導體板附近有一個點電荷，如圖所示。qq′非均勻感應電荷等效電荷3.5.1鏡像法的基本原理

接地導體球附近有一個點電荷，如圖。非均勻感應電荷產生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代等效電荷q非均勻感應電荷q′

結論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點電荷或線電荷的作用。

問題：這種等效電荷是否存在？這種等效是否合理？2.鏡像法的原理

以鏡像電荷代替邊界的影響，將原來具有邊界的非均勻空間變成無限大的均勻自由空間，從而使計算簡化。

根據惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一泛定方程下問題所給定的邊界條件，那就是該問題的解答，并且是惟一的解答。鏡像法正是巧妙地應用了這一基本原理、面向多種典型結構的工程電磁場問題所構成的一種有效的解析求解法。3.鏡像法的理論基礎——解的惟一性定理

鏡像電荷的個數、位置及其電量大小——“三要素”。4.鏡像法應用的關鍵點5.確定鏡像電荷的兩條原則

鏡像電荷的確定

鏡像電荷必須位于所求解的場區域以外的空間中。

鏡像電荷的個數、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場區域的邊界條件來確定。

只是一種“湊”的方法，僅對于某些特殊邊界以及特殊分布的電荷才有可能確定其鏡像電荷。6.鏡像法的局限性1.點電荷對無限大接地導體平面的鏡像滿足原問題的邊界條件，所得的結果正確。3.5.2接地導體平面的鏡像電位函數（除q所在點外的區域）（導體板及下半空間）鏡像電荷（除q所在點外的區域）（導體板）q原問題有效區域q等效問題

原問題與等效問題，在上半平面問題相同。電位函數

可見，鏡像法的實質是以一個處于鏡像位置的電荷代替邊界的影響，使整個空間變成均勻的介電常數為的空間，則空間任一點P的電位由q及其鏡像電荷q共同產生，即上半空間(z≥0）的電位函數q

導體平面上的感應電荷密度為導體平面上的總感應電荷為鏡像電荷的電量應該等于感應電荷的總電量。2.點電荷對相交半無限大接地導體平面的鏡像對于半無限大導體平面形成的劈形邊界,當導體劈的夾角滿足（n為整數）時，也可采用鏡像法，鏡像電荷為2n-1個。分布在半徑為r0的圓上（r0為點電荷到角頂點的距離）。鏡像的角度為電荷量為為點電荷與劈的夾角。如果，則無法應用鏡像原理。

如圖所示，兩個相互垂直相連的半無限大接地導體平板，點電荷q位于(d1,d2)處。

顯然，q1對平面2以及q2對平面1均不能滿足邊界條件。對于平面1，有鏡像電荷q1=－q，位于(－d1,d2)對于平面2，有鏡像電荷q2=－q，位于(d1,－d2)

只有在(－d1,－d2)處再設置一鏡像電荷q3=q，所有邊界條件才能得到滿足。電位函數d11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d13.6分離變量法

3.6.1

分離變量法的思想

3.6.2直角坐標系中的分離變量法

將偏微分方程中含有n個自變量的待求函數表示成n個各自只含一個變量的函數的乘積，把偏微分方程分解成n個常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它們線性疊加起來，得到級數形式解，并利用給定的邊界條件確定待定常數。

分離變量法是求解邊值問題的一種經典方法

分離變量法的理論依據是惟一性定