第三章集中量數如何能夠快速的了解一組數據？集中量數與差異量數集中量數表現的是數據的集中趨勢，指數據分布中大量數據向某方向集中的程度差異量數表現的是數據的離中趨勢，指數據分布中數據彼此分離的程度通過集中量數與差異量數可以描述或反映一組數據的全貌及其各種統計特征集中量數算數平均數中數眾數加權平均數幾何平均數調和平均數

（二）數據值大，利用估計平均數來簡化計算條件：如果數據數目及每個觀測數據值都很大時，利用估計平均數來簡化計算。具體方法是先設定一個估計平均數，用符號AM表示，從每一個數據中減去AM，計算出平均數后再加上估計平均數

三、特點（一）離均差的和等于0，即在一組數據中每個變量與平均數做差后，再求其總和等于0（二）在一組數據中，每一個數據都加上一個常數C，所得的平均數為原來的平均數加常數C（三）在一組數據中，每一個數都乘以一個常數C，所得的平均數為原來的平均數乘以常數C（四）離均差的平方和最小四、意義在大多數情況下，真值的漸近與最佳估計值五、優缺點（一）優點1、反應靈敏，觀測數據中任何一個數值或大或小的變化，在計算平均數時都能反映出來。2、計算嚴密，有確定的公式，只要是同一組觀測數據，計算的平均數都相同3、計算簡單，應用簡單的四則運算4、簡單明了，容易理解5、適合于進一步用代數方法演算。在求解其他統計特征值，如離均差、方差、標準差的計算時，都要應用平均數6、較少受抽樣變動的影響（觀測樣本的大小或個體的變化，對計算平均數影響很小）（二）缺點1易受極端數據的影響舉例：一個重點班的50名水平相當的學生，在通過一項教育測驗時，絕大多數學生得分較高，但個別人由于身體不適或情緒不良得到很低的分數，這時若用平均數代表全班學生的知識水平，則肯定偏低。處理方式：修剪平均數——從一組數據中去除一定百分比（5%）的最大值和最小值數據后，再計算算數平均數（見下頁例子）在中央電視臺舉辦的一次全國業余通俗歌手大賽中，假定11位裁判對某位歌手的評分按順序排列為：9.9，9.3，9.3，9.3，9.2，8.9，8.8，8.8，8.5，8.4，7.4例子：評委打分常用的計算最后得分的方式：去掉一個最高分，再去掉一個最低分，然后計算剩余9個評分的算術平均數。2、若出現模糊不清的數據時，無法計算平均數，這時一般采用中數作為該組數據的代表值3、數據不同質時也不宜使用算數平均數（數據同質：使用同一個觀測手段，采用同樣的觀測標準，能反映某一問題的同一方面特質的數據）六、計算和應用平均數的原則（一）同質性原則同質數據：使用同一觀測手段，采用相同的觀測標準，能反映某一問題的統一方面特質的數據。高考各科分數相加，計算平均分不能代表該生的水平（二）平均數與個體數值相結合的原則平均數作為整個總體的綜合特征，它能夠用一個抽象的代表數值反映客觀事物的一般水平。但一個總體是由若干個千差萬別的個別事物構成的，若要全面而正確的認識這些客觀事物，要結合個體數值予以參考（三）平均數與標準差、方差相結合原則平均數反映的是總體數據的集中趨勢，但平均數對于總體數據一般水平的代表性如何，要看各個數值之間差異的大小。數據差異大，平均數的代表性就小，差異小，平均數的代表性就大。第二節中數（median）一、定義中數又稱中位數，中值，符號為Md或Mdn,指的是按順序排列在一起的一組數據中居于中間位置的數，即在這組數據中，有一半的數據比它大，有一半的數據比它小。

2、一組數據中有重復數值時（1）重復數值沒有位于數列中間，不管數據總數是奇數還是偶數，求中數的方法與無重復數據時的求法一樣舉例：5,6,6,12,10,15,17（2）重復數值位于數列中間數據的個數為奇數時，中數所在位置為（N+1)/2A、由于該位置的數值為重復數目，所以將其視為占據了一個分數單位的全距，然后被重復幾次就劃分為幾份，求出中間位置數值所占的具體區間后，取區間的組中值即為該組數據的中數舉例：11,11,11,11,13,13,13,13,17,17,17B、數據個數為偶數時,N/2與（N+1）/2位置的數據相加除以2即為（N/2位置的組中值加上N+1/2位置的組中值）/2其實正好是N/2位置數據的組上限或者（N+1）/2位置數據的組下限舉例：11,11,11,11,13,13,13,17,17,18

舉例遺留問題：分組數據中N為偶數，如果N為奇數呢？其它教材上也沒考慮這個問題？三、優缺點（一）優點1計算簡單，容易理解2概念簡單明白（二）缺點1中數的計算不是每個數據都加入，所以其大小沒有考慮全體數據2反應不夠靈敏，極端值的變化對中數不產生影響3受抽樣影響大，不如平均數穩定4計算時需要對數據先排列大小5中數乘以總數與數據的總和不相等6中數不能做進一步代數運算四、中數的應用（一）當一組觀測結果中出現極端數目時（二）當次數分布的兩端數據或個別數據不清楚時，只能取中數作為集中趨勢的代表值（三）當需要快速估計一組數據的代表值時第三節眾數（mode）一、定義眾數又稱為范數，密集數，常用符號M0表示，指在次數分布中出現次數最多的那個數的數值二、計算方法（一）直接觀察法1、未分組數據通過觀察找出出現次數最多的那個數據2、分組數據通過觀察找出次數最多的那個分組區間的組中值為眾數注意：分組數據的眾數受分組的影響。因為同一組數據，由于分組時組距大小不同，次數在各區間的分布會有所變動，因此眾數有可能不同

2、金氏插補法

三、眾數的優缺點（一）優點簡單明了，容易理解（二）缺點1、受分組影響，不穩定2、受樣本變動影響3、計算時不需每一個數據都加入，因而較少受極端數據的影響4、反應不夠靈敏5、用觀察法得來的數據，不是經過嚴格計算得來的，用公式所得眾數也只是一個估計值6、不能作進一步代數運算7、N乘以眾數，與數據總和不相等四、眾數的應用（一）當需要快速而粗略地尋求一組數據的代表值時（二）當一組數據出現不同質的情況時（三）當數據中有兩極端的數目時，除了用中數外，也可用眾數（四）當粗略估計次數分布的形態時，有時用平均數與眾數之差，作為表示次數分布是否偏態的指標（五）當一組數據中同時有兩個數值的次數都比較多時，也多用眾數來表示數據分布形態四、平均數、眾數與中數之間的關系（一）在正態分布中，三者相等（二）在偏態分布中，平均數永遠位于尾端。中數位于把分布下的面積分成兩等份的點值上，它在一邊的數據個數等于在它另一邊的數據個數，因此在描述偏態分布時，應報告平均數與中數，一般偏態情況下，Md離平均數較近，而離眾數較遠（三）正偏態分布中M>Md>Mo

負偏態分布中M<Md<Mo（四）只有平均數與各數據之差的總和為0，也只有各個變量與平均數之差的平方和最小老劉辦了個廠子，請了自己的弟弟和其他6個親戚做管理人員。還有5個領工和10工人。為了擴大生產，老劉去人才市場去找新工人。小胡來應聘，老劉說：“我們這里待遇不錯，每月平均工資為4500元。”小胡覺得不錯，就去老劉的廠子里做工人。幾天之后，小胡就跑去質問老劉：“這里沒有一個工人的工資是高于1500元，平均工資怎么會有4500元？”而事實上老劉確實沒有算錯，這到底是怎么回事呢？例子：騙人的平均數老劉（廠長）工資：36000弟弟（副廠長）工資：150006個親戚（管理人員）工資：37505個領工：300010個工人：1500

年級一二三四90.5919294n236318215200求下列四個年級的總平均成績

然后再求lgMg的反對數

1、某校連續四年的畢業人數為980、1100、1200、1300人，問畢業生平均增長率是多少？若該校畢業生一直按此增長率變化，問再過五年后的畢業人數是多少？2、某校1950年的教育經費是10萬元，1982年的教育經費是121萬元，問該校教育經費年增長率是多少？若一直按此增長率增加，請問1990年該校的教育經費是多少？第六節調和平均數(harmomicmean)一、定義與公式調和平均數用MH表示，又稱倒數平均數二、應用求單位時間的平均速度1/Xi表示單位工作量所需要的時間N表示不同的被試人數，或同一人不同的工作批次數1、在一個