山西省長治市城區第一中學2021年高三數學理聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.正項等比數列{an}中的a1，a4033是函數的極值點，則log6a2017=（）A．1 B．2 C． D．﹣1參考答案：C【考點】88：等比數列的通項公式；6D：利用導數研究函數的極值．【分析】f′（x）=x2﹣8x+6，由正項等比數列{an}中的a1，a4033是函數的極值點，利用韋達定理得a1×a4033=6，從而=，由此能求出log6a2017．【解答】解：∵，∴f′（x）=x2﹣8x+6，∵正項等比數列{an}中的a1，a4033是函數的極值點，∴a1×a4033=6，∴=，∴log6a2017=．故選：C．2.某個微信群某次進行的搶紅包活動中，群主所發紅包的總金額為10元，被隨機分配為2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元，共5份，供甲、乙等5人搶，每人只能搶一次，則甲、乙二人搶到的金額之和不低于4元的概率是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B3.雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，離心為率，則的最小值為A.

B.

C.

D.參考答案：A略4.已知雙曲線的漸近線方程為焦點坐標為、則該雙曲線的方程為

（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：D略5.在中，為的重心，在邊上，且，則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：【知識點】平面向量的基本定理及其意義．F2

【答案解析】B解析：如圖所示，，==，=．∴==．故選：B．【思路點撥】利用重心的性質和向量的三角形法則即可得出．6.設向量=(﹣1，2)，=(2，1)，則+與的夾角為（）A．45° B．60° C．120° D．135°參考答案：A【考點】數量積表示兩個向量的夾角．【分析】根據平面向量的坐標運算與夾角公式，求出與夾角的余弦值，即可求出夾角θ．【解答】解：向量，∴=（1，3），|+|==，∴（+）?=1×2+3×1=5，又||==，設與的夾角為θ，則cosθ===，∴夾角θ=45°．故選：A．7.已知a，b，c都是正數，則三數

（

）

A．都大于2

B．都小于2

C．至少有一個不大于2

D．至少有一個不小于2

參考答案：D8.已知z=（i為虛數單位），則|z|=（）A． B．1 C． D．2參考答案：B【考點】復數求模．【專題】計算題；轉化思想；定義法；數系的擴充和復數．【分析】利用復數的運算法則和模的計算公式即可得出．【解答】解：z=====+i，∴|z|==1，故選：B．【點評】本題考查了復數的運算法則和模的計算公式，屬于基礎題．9.已知，設函數的最大值為M，最小值為N，那么（）A.2020 B.2019 C.4040 D.4039參考答案：D【分析】通過分離分子可得，計算可得，利用函數的單調性計算可得結果．【詳解】解：，又是上的增函數，，故選D．【點睛】本題考查函數的單調性的判斷和運用，注意解題方法的積累，考查運算能力，屬于中檔題．10.已知某個幾何體的三視圖如下，根據圖中標出的尺寸（單位：cm），則這個幾何體的體積是（

）

A．

B．

C．

D.4

參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.給出下列六個命題：①函數f（x）=lnx﹣2+x在區間（1，e）上存在零點；②若f′（x0）=0，則函數y=f（x）在x=x0處取得極值；③若m≥﹣1，則函數y=的值域為R；④“a=1”是“函數在定義域上是奇函數”的充分不必要條件．⑤函數y=f（1+x）的圖象與函數y=f（l﹣x）的圖象關于y軸對稱；⑥滿足條件AC=，AB=1的三角形△ABC有兩個．其中正確命題的個數是

．參考答案：①③④⑤【考點】命題的真假判斷與應用．【專題】函數的性質及應用．【分析】根據函數零點的判定定理可得①正確．通過舉反例可得②不正確．根據對數的真數可取遍所有的正實數，可得此對數函數的值域為R，故③正確．根據a=1時，函數在定義域上是奇函數，再根據函數在定義域上是奇函數時，a=±1，可得④正確．由函數y=f（1+x）的圖象與函數y=f（l﹣x）的圖象關于y軸對稱，可得⑤正確．由AC=，AB=1，利用正弦定理及由大邊對大角可得△ABC是一個唯一的直角三角形，故⑥不正確．【解答】解：對于函數f（x）=lnx﹣2+x，在區間（1，e）上單調遞增，f（1）=﹣1，f（e）=e﹣1＞0，根據函數零點的判定定理可得，在區間（1，e）上存在零點，故①正確．②不正確，如當f（x）=x3時，顯然滿足f′（0）=0，但y=f（x）=x3在x=0處沒有極值．③當m≥﹣1，函數y=的真數為x2﹣2x﹣m，判別式△=4+4m≥0，故真數可取遍所有的正實數，故函數y=的值域為R，故③正確．④由a=1可得，定義域為R，關于原點對稱，==﹣f（x），故函數在定義域上是奇函數，故充分性成立．若函數在定義域上是奇函數，則有f（0）=0，或f（0）不存在，∴a=1，或a=﹣1，故不能推出a=1．故必要性不成立，故④正確．⑤在函數y=f（1+x）的圖象上任意取一點（a，f（1+a）），則點（a，f（1+a））關于y軸的對稱點為（﹣a，f（1﹣a）），故函數y=f（1+x）的圖象與函數y=f（l﹣x）的圖象關于y軸對稱，故⑤正確．⑥△ABC中，由AC=，AB=1，利用正弦定理求得sinC=，再由大邊對大角可得C=30°，∴B=90°，△ABC是一個唯一的直角三角形，故⑥不正確．故答案為①③④⑤．【點評】本題主要考查命題的真假的判斷，通過舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法，屬于基礎題．12.（09年揚州中學2月月考）已知的終邊經過點，且

，則的取值范圍是

▲

參考答案：答案：13.設變量x，y滿足約束條件，則的最大值為__________．參考答案：6【分析】作出不等式組對應的平面區域，將目標函數化為，利用數形結合即可的得到結論．【詳解】解：作出不等式組對應的平面區域如圖：由得直線l：，平移直線l，由圖象可知當直線l經過點時截距最小，此時最大，．即的最大值是6?！军c睛】本題主要考查線性規劃的應用，利用的幾何意義，通過數形結合是解決本題的關鍵．14.對于函數，若在其定義域內存在，使得成立，則稱函數具有性質．（）下列函數中具有性質的有__________．① ②③ ④（）若函數具有性質，則實數的取值范圍是__________．參考答案：（）①②④（）或（）在時，有解，即函數具有性質，①令，即，∵，方程有一個非實根，故具有性質．②的圖象與有交點，故有解，故具有性質．③令，此方程無解，故，不具有性質．④的圖象與的圖象有交點，故有解，故具有性質．綜上所述，具有性質的函數有：①②④．（）具有性質，顯然，方程有根，∵的值域為，∴，解得或．15.在平面直角坐標系xOy中，角與均以為始邊，它們的終邊關于y軸對稱，若，則

．參考答案：

16.設n為正整數，，計算得，f（4）＞2，，f（16）＞3，觀察上述結果，可推測一般的結論為．參考答案：f（2n）≥（n∈N*）考點：歸納推理．專題：探究型．分析：根據已知中的等式：，f（4）＞2，，f（16）＞3，…，我們分析等式左邊數的變化規律及等式兩邊數的關系，歸納推斷后，即可得到答案．解答：解：觀察已知中等式：得，f（4）＞2，，f（16）＞3，…，則f（2n）≥（n∈N*）故答案為：f（2n）≥（n∈N*）．點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）17.（坐標系與參數方程選做題）已知兩曲線參數方程分別為

和，它們的交點坐標為___________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知函數，.（Ⅰ）若，且對于任意恒成立，試確定實數的取值范圍；（Ⅱ）設函數，求證：參考答案：（Ⅰ）由可知是偶函數． 于是對任意成立等價于對任意成立．………（1分） 由得．ks5u ①當時，． 此時在上單調遞增．

故，符合題意．…（3分） ②當時，． 當變化時的變化情況如下表：

……（4分）單調遞減極小值單調遞增由此可得，在上，．依題意，，又．綜合①，②得，實數的取值范圍是．

………………（7分）（Ⅱ），又，

……（10分），

……（12分）由此得:故成立.………………（14分）19.在直角坐標系xoy中，直線l：，在以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C：，若直線與y軸正半軸交于點M，與曲線C交于A、B兩點，其中點A在第一象限．（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程及點M對應的參數tM（用α表示）；（Ⅱ）設曲線C的左焦點為F1，若|F1B|=|AM|，求直線l的傾斜角α的值．參考答案：【考點】Q4：簡單曲線的極坐標方程；QH：參數方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由，得ρ2+2ρ2sin2θ=3，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，能求出曲線C的直角坐標方程；由題意可知點M的橫坐標為0，代入，由此能求出點M對應的參數tM．（Ⅱ）直線過定點，將代入，得，由此利用|F1B|=|AM|，能求出直線l的傾斜角α的值．【解答】解：（Ⅰ）由得ρ2+2ρ2sin2θ=3，∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，∴曲線C的直角坐標方程為．…，又由題意可知點M的橫坐標為0，代入，∴…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直線過定點，將代入，化簡可得，設A、B對應的參數分別為t1，t2，∵|F1B|=|AM|，∴|t1+t2|=|tM|，sinα=，∴0，∴α=．…20.（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講已知函數f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集為[-1,1].（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c∈R，且參考答案：本題主要考查絕對值不等式、柯西不等式等基礎知識，考查基本運算能力，以及化歸與轉化思想.21.（本小題滿分12分）某學校高一年級為了解學生在一次數學考試中的成績情況，從中抽取了部分學生的分數（得分取正整數，滿分是分）作為樣本（樣本容量為）進行統計，按照，，，，的分組作出如圖4甲所示的頻率分布直方圖和圖乙所示的樣本分數莖葉圖（圖乙中僅列出了得分在，的數據）。(I)求樣本容量和頻率分布直方圖中的，的值；(II)在選取的樣本中，從考試成績是分以上（含分）的同學中隨機抽取名同學為其他同學作交流，設表示所抽取的名同學中得分在的學生個數，求的分布列及數學期望。參考答案：(I)由頻率分布直方圖和莖葉圖知在的頻數為，頻率為，，解得；…………2分由在的頻數為，頻率為，，解得；…………4分又，解得；故所求；；.…………6分(II)在區間的學生人數為：（人）；在區間的學生人數為：人；