12.6力矩剛體繞定軸轉動微分方程一、力矩力:改變質點的運動狀態(tài),質點獲得加速度。力矩：改變剛體的轉動狀態(tài),剛體獲得角加速度。hAθ(力F在垂直于軸的平面內)1.力

對z軸的力矩2大小由右螺旋法則確定。hAθ矢量形式思考：一對作用力與反作用力的力矩和等于對少？方向

剛體內作用力和反作用力的力矩互相抵消O42不在轉動平面內的力對定軸力矩的矢量形式A方向由右螺旋法則確定。5二、剛體繞定軸轉動微分方程作用在上的外力，內力zo在圓規(guī)跡切線方向兩邊乘以rk，并對整個剛體求和6其中稱為合外力矩；

令，稱為剛體對z軸的轉動慣量。內力矩之和為零；則或7剛體繞定軸轉動時，剛體對該軸的轉動慣量與角加速度的乘積等于作用在剛體上所有外力對該軸力矩的代數(shù)和。—剛體繞定軸轉動微分方程，或轉動定律。剛體定軸轉動的角加速度與它所受的合外力矩成正比,與剛體的轉動慣量成反比。8

兩個定律在形式上對應,都是反映瞬時效應的。

(2)m反映質點的平動慣性，J

則反映剛體的轉動慣性。(1)轉動定律與牛頓第二定律比較：討論9三、轉動慣量剛體質量不連續(xù)分布剛體質量連續(xù)分布確定轉動慣量的三個要素:(1)總質量；(2)質量分布；(3)轉軸的位置。

對質量線分布的剛體：：質量線密度

對質量面分布的剛體：：質量面密度

對質量體分布的剛體：：質量體密度：質量元

質量連續(xù)分布剛體的轉動慣量四.J的計算11

例1求長為L質量為m

的均勻細棒對端點軸的轉動慣量。ABLxdm解:取如圖坐標，dm=dxJ

與剛體的總質量有關（1）用定義式計算注意12J

與轉軸的位置有關LOxdxMz

例2

求長為L質量為m

的均勻細棒對中心垂線轉軸的轉動慣量。

對端點二者關系：注意13平行軸定理zLCMz'剛體繞任意軸的轉動慣量；剛體繞通過質心的軸的轉動慣量；兩軸間垂直距離。14

例3

求圖所示剛體對經過棒端且與棒垂直的軸的轉動慣量如何計算？(棒長為L、圓盤半徑為R）.(棒對邊緣軸)(圓盤對中心軸)(圓盤對棒邊緣軸)15例4

圓環(huán)繞中心軸旋轉的轉動慣量。dlOmR16例5圓盤繞中心軸旋轉的轉動慣量。ROmrdrJ

與質量分布有關注意17（2）用平行軸定理、迭加法(3)實驗法如三線扭擺法。J=J大–J

小J=J

大+J小OMR..18(1)飛輪的角加速度。四、轉動定律的應用舉例求:例1一輕繩繞在半徑r=20cm

的飛輪邊緣，在繩端施以F=98N

的拉力，飛輪的轉動慣量J=0.5kg·m2,飛輪與轉軸間的摩擦不計。(2)如以重量P=98N的物體掛在繩端,試計算飛輪的角加速度。19解(1)(2)兩者區(qū)別?20例2一定滑輪質量為m，半徑為r,不能伸長的輕繩兩邊分別系m1

和

m2

的物體掛于滑輪上,m1>m2,繩與滑輪間無相對滑動。設輪軸光滑無摩擦,滑輪的初角速度為零。求:滑輪轉動角速度隨時間變化的規(guī)律。21解:以m1,m2,m

為研究對象,受力分析滑輪m：m1：m2：22例3一根長為l、質量為m

的均勻細直棒,其一端有一固定的光滑水平軸,因而可以在豎直平面內轉動。最初棒靜止在豎直位置,由于微小擾動,在重力作用下由靜止開始轉動。求:它由此下擺角時的角加速度和角速度。Pl/2Ol23解:

棒下擺為加速過程,外力矩為重力對O的力矩。重力作用在棒重心,當棒處在下擺

角時,重力