積分變換在偏微分方程中的應用答辯人：王成林171406130指導老師：韓獻軍答辯時間：2010年5月26日摘要我們主要研究的是偏微分方程對應的常微分方程的Green函數，利用這個Green函數可以把原來的偏微分方程的初（邊）值問題化為一個積分方程的形式，進而對積分方程進行解的討論。顯然，不同的偏微分方程的不同的初（邊）值問題對應于不同的常微分方程。常微分方程Green函數的介紹Green函數，又稱點源數或者影響函數，是數學物理中的一個重要概念。這概念之所以重要是由于以下原因：從物理上看，一個數學物理方程表示的是一種特定的場和產生這種場的源之間的關系（例如熱傳導方程表示溫度場和熱源的關系，Poisson方程表示靜電場和電荷分布的關系等等），而Green函數則代表一個點源產生的場，知道了一個點源的場，就可以用迭加的方法算出任意源的場（空間連續分布的“源”可以堪稱是“無窮多”點源的迭加）。例如，靜電場的電勢u滿足Poisson方程

(2.1)其中，是電荷密度，根據庫倫定律，位于點的一個正電荷在無界空間中點處產生的電勢是

(2.2)由此可求得任意電荷分布密度為的“源”在點所產生的電勢為

(2.3)

其中d為空間體積元的簡寫。式(2.2)中稱為方程(2.1)左邊Laplace算符在無界空間中的Green函數，用它可以求出方程(2.1)在無界空間的解式(2.3)。在一般的數學物理問題中，要求的是滿足一定邊界條件和（或）初始條件的解，相應的Green函數也就比舉例的Green函數要復雜一些，因為在這種情形下，一個點源所產生的場還受到邊界條件和（或）初始條件的影響，而這些影響本身也是待定的。

幾類常見的常微分方程的Green函數

3.1Cauchy問題的Green函數考慮經典力學中受迫阻尼振子方程的Cauchy問題，t>0;x(t)=;(3.1.1)其中算子

L=-()（3.1.2）為阻尼常數，為系統頻率。根據函數的性質，不妨把式(3.1.1)寫成

Lx=（3.1.3）如果定義函數G(t，)滿足

LG()=，>0(3.1.4)根據L的線性性質應有（3.1.5）事實上，上式兩邊作用L，并利用(3.1.4)Lx==（3.1.6）因此只要求得，即可求得非齊次方程(3.1.1)的一個特解，為了滿足初始條件，注意到齊次方程存在二個線性獨立解和，于是可得式(3.1.1)的通解為（3.1.7）其中常數a和b由初始條件決定。由式(3.1.4)決定的函數稱為Cauchy問題的Green函數。

邊值問題的Green函數考慮二階非齊次方程的邊值問題（3.2.1）其中

L=-（3.2.2）

>0和0.由于上述問題的方程非齊次，但邊界條件齊次，故稱為半齊次Strum-liouville邊值問題。定義Green函數G(X,)滿足LG=（3.2.3）式（3.2.1）的解可表示為（3.2.4）由于滿足齊次邊界條件，故u（x）也滿足。因此上式是（3.2.1）的解，但此解是否唯一?顯然，如果齊次方程的齊次邊值問題有非零解（即是L的本征值），上式不是式（3.2.1）的唯一解，因為假定滿足

L=0（3.2.5）及齊次邊界條件，則

也是式(3.1.1)的解。此時，并不是對任何f（x），邊值問題式(3.1.1)都有解。事實上，由關系（3.2.6）因Lu=f（x）和L，故有

=（3.2.7）又因和u滿足齊次邊界條件，容易證明上式右邊為零，因此得相容性條件

=0（3.2.8）即必須與正交，式（3.2.1）才有解。與Cauchy問題的Green函數作一比較：在Cauchy問題中，齊次方程滿足Cauchy數據的非零解總存在，但在邊值問題中，齊次方程滿足齊次邊界條件的非零解不一定存在。假定0，即=0不是L的本征值。這時，可以證明Green函數存在且唯一。設與是式（3.2.3）的兩個解，則

滿足齊次邊界及齊次方程，故利用式（3.2.3）邊界條件第二式，容易證明；故恒有，亦即。下面用構造法求，設和分別是齊次方程Lu=0的兩個解，取滿足x=a處的齊次邊界條件，而滿足x=b處的齊次邊界條件。和顯然線性獨立。因為如果和線性相關，則=常數，因此，同時滿足x=a與b兩端邊