第九章線性離散控制系統自動控制原理1本章主要內容離散控制系統的基本概念信號的采樣與保持

采樣過程與采樣定理，零階保持器離散系統的數學描述

z變換，差分方程，脈沖傳遞函數（開環、閉環）離散系統的z域分析法

穩定性，極點分布與暫態性能，穩態誤差，

根軌跡法（自學）離散系統的頻域分析法（自學）離散系統的狀態空間分析法（自學）離散系統的綜合（自學）2典型的離散控制系統如圖：脈沖控制器保持器?y-reT受控對象u9.1離散控制系統的基本概念

是連續的誤差信號，經采樣開關后，變成一組脈沖序列，脈沖控制器對進行某種運算，產生控制信號脈沖序列，保持器將采樣信號變成連續信號

，作用于受控對象ue3最常見的離散控制系統：計算機控制系統A/D：模擬信號→數字信號，圖中還包括連續信號→離散信號的采樣過程D/A：數字信號→模擬信號，圖中還包括離散信號→連續信號的保持過程A/DD/A數字控制器受控

對象測量計算機reu(t)

y(t)計算機控制系統原理圖執行

機構4計算機控制系統的主要特點修改控制器結構及參數很方便（改變控制程序）；便于實現各種先進控制，能完成復雜的控制任務；控制精度高，抗干擾能力強，能有效抑制噪聲；有顯示、報警等多種功能。有利于實現“智能化”、“網絡化”、“管控一體化”、多級分布式控制等；分析離散系統的常用方法：Z域法，狀態空間法。5連續信號0tτT離散化信號（采樣）0t復現信號（保持）t9.2信號的采樣與保持T：采樣周期，一般是等周期采樣，也可變周期或隨機采樣。（τ<<T，近似認為τ→0）信號恢復一般采用零階保持，也可采用一階或其他保持方式。6采樣信號可看作是經脈沖序列

調制后的結果：一、采樣過程t0f(t)t0t0f*(t)1T2T2TT采樣器是否產生誤差？7t0T2Tt01T2T單位幅值脈沖與理想脈沖的區別8采樣信號的拉氏變換理想單位脈沖序列采樣信號為二、采樣信號的數學表達式Z變換是離散信號拉氏變換的有理式表達形式9仿真實驗：采樣周期與采樣效果零階保持器取采樣周期為T=0.1，0.4，0.810仿真結果連續信號T=0.1T=0.4T=0.811采樣周期的選取：信號變化越快，采樣周期應越小，

反之則可以適當大一些。選取采樣周期的理論依據是采樣定理。三、香農（Shannon）采樣定理（基于頻譜分析）則經采樣得到的離散信號可以無失真地恢復為原連續信號的條件是012采樣定理的依據：信號的頻譜分析000130說明：采樣定理只提供了選擇采樣周期的理論依據，對于實際的反饋控制系統，連續反饋信號的上限頻率（帶寬）通常難以準確地確定，因此選擇采樣周期一般依靠估計。14零階保持器是一種按恒值規律外推的保持器，它將當前采樣時刻的值，保持到下一個采樣時刻，即零階

保持器t0T2T3T4Tt0T2T3T4T四、零階保持器15零階保持器的單位脈沖響應可表示為二個單位階躍信號的疊加。單位脈沖響應的拉氏變換就是零階保持器的傳遞函數。01T01-101零階保持器的傳遞函數：注意：這里的輸入為1×δ(t)，是單位幅值脈沖經理想脈沖調制后的信號，即單位理想脈沖，其拉氏變換為1。零階

保持器16零階保持器實際的傳遞函數為說明：零階保持器實際的傳遞函數01T01-101式中的τ與U*(s)的τ抵消后等價于理想脈沖通過沒有τ的零階保持器，所以在分析中可以不考慮τ。零階

保持器179.3離散系統的數學描述一、Z變換與Z反變換18關于Z變換的幾點說明：Z變換只表達了連續函數在采樣時刻的特性，不包含采樣時刻之間的信息。對f(t)采樣后的f

(t)是唯一的，但f(t)

所對應的f(t)不唯一；f

(t)與

F(z)之間的變換是唯一的。

Z變換的無窮級數表達式與信號在采樣時刻的取值一一對應。19S平面與Z平面的對應關系：根據Z變換定義，有

Z平面ImRe01-1

S平面0因此，根據F(z)極點的分布，可以判斷其對應的時間函數f

(t)

收斂與否、收斂的快速性與平穩性等。20例1：求f(t)=1(t)的Z變換１.級數求和法Z變換的求法例2：求f(t)=e-αt

，t≥0的Z變換極點幅值=1信號不發散也不收斂α>0時,極點幅值<1信號收斂α<0時,極點幅值>1信號發散|a|>1時,信號發散；|a|<1時,信號收斂；|a|=1時,信號恒值或等幅振蕩（不發散也不收斂）21例3：求f(t)=sin(ωt)的Z變換相異極點的幅值=1信號不發散也不收斂0j極點在Z平面的位置122例4：求f(t)=e-αt

sin(ωt)的Z變換α>0時,極點幅值<1信號收斂α<0時,極點幅值>1信號發散α=0時,相異極點的幅值=1等幅振蕩0j極點在Z平面的位置10j極點在Z平面的位置123a<1時,極點幅值<1信號收斂a>1時,極點幅值>1信號發散a=1時,互異極點幅值=1等幅振蕩0j極點在Z平面的位置1××242.部分分式法例5：已知連續函數的拉氏變換為解：求Z變換注意極點的對應關系25解：26Ｚ變換的基本性質１.線性定理2.延遲定理式中k、T均為常量.證：27注：連續系統的遲后環節e-kTs

在離散系統中只是z-k，屬于有理式，便于分析。因此，對于有遲后環節的系統，按離散時間系統進行分析和設計通常較連續時間系統更方便。tkT0f(t)f(t-kT)延遲定理的直觀表示283.超前定理如果，則有第一個表達式對應藍色實線的Z變換；zkF(z)對應全部藍色線的Z變換，所以只有當虛線部分=0時才有第二個表達式tkT0f(t)f(t+kT)超前定理的直觀解釋-kT294.終值定理設f(t)的Z變換為F(z)，且F(z)

在z平面不含有單位圓上及圓外的的極點（除z＝１外），則f(t)的終值為0jZ平面1F(z)允許的極點分布區域注：終值定理主要用于F(z)有極點1這種情況，其他情況直接就可判斷。30極點在Z平面單位圓上0j1不求也可判斷!314.初值定理設f(t)的Z變換為F(z)，則f(t)的初值為32５.位移定理例：用位移定理求f(t)=e-at

sin(ωt)的Z變換設f(t)的Z變換為F(z)，則有336.Z域微分定理設f(t)的Z變換為F(z)，則有證：34例：用微分定理求f(t)=t，t≥0的Z變換例：用微分定理求f(t)=t2，t≥0的Z變換單位幅值的重極點發散35極點位置與收斂性的關系：a>0時,極點幅值<1信號收斂a<0時,極點幅值>1信號發散（即重極點與前面單極點的結論相同）例：用微分定理求f(t)=te-at，t≥0的Z變換36Z反變換1.長除法例1：求的反變換長除法主要用于求出信號的前面有限個采樣時刻值，一般難以找到f(nT)的一般規律，即閉式表達形式。37例1的長除法過程：（z的多項式除法）38例1的長除法過程：（z-1的多項式除法）392.部分分式法步驟:把F(z)/z

展開為部分分式求各個部分分式項的Z反變換之和例：已知，求解：使分解后的分子都含有z40練習Ⅰ

B9.1,(6),(7);

B9.4,(2),(3);

B9.5,(1),(3);41三、脈沖傳遞函數1、

基本概念定義：對于線性離散定常系統，在零初始條件下，系統輸出采樣信號的Z變換與輸入采樣信號Z變換之比，稱為系統的脈沖傳遞函數。u(t)TG

(s)u*(t)Ty*(t)y(t)U(z)G

(z)Y(z)42單位脈沖響應的輸入信號可看作單位幅值脈沖經理想脈沖調制而產生的，對于有保持器的離散時間系統，單位脈沖響應的實際輸入是單位幅值脈沖，即脈沖傳遞函數的物理意義脈沖傳遞函數是單位脈沖響應g(t)經采樣后的離散信號g*(t)的Z變換。gkg2g1……t/T系統的單位脈沖響應序列g*(t)g3012g03k43gkg2g1……t/T系統的單位脈沖響應序列g*(t)g3012g03k任意輸入時的響應y(k)與單位脈沖響應序列的關系：uku2u1……t/T系統的的輸入脈沖序列u*(t)u3012u03k44與前面的結果完全一致！根據脈沖傳遞函數的定義求輸出y(k)：該結論實際上就是離散系統的“卷積定理”U(z)G

(z)Y(z)452、采樣系統的開環脈沖傳遞函數（1）兩個串聯環節之間有采樣開關隔開該結論可推廣到n個環節串聯，各相鄰環節之間都有采樣開關隔開的情況。u(t)TG1(s)u*(t)Tv*(t)G2(s)Ty*(t)46u(t)TG1(s)u*(t)Tv*(t)G2(s)Ty*(t)47（2）兩個串聯環節之間無采樣開關隔開該結論可推廣到n個環節直接串聯的情況。u(t)TG1(s)u*(t)G2(s)Ty*(t)48u(t)TG1(s)u*(t)G2(s)Ty*(t)49有零階保持器的開環脈沖傳遞函數u(t)TGh(s)u*(t)G0(s)Ty*(t)零階保持器很有用！50u(t)TGh(s)u*(t)G0(s)Ty*(t)零階保持器51有無保持器的區別（1）沒有保持器的情況u(t)Tu*(t)G(s)Ty*(t)y(t)10t52（2）有零階保持器的情況u(t)TGh(s)u*(t)G0(s)Ty*(t)uh(t)y(t)由于零階保持器實際的傳遞函數為其分母中含有的τ與U*(s)的τ抵消后等價于理想脈沖通過沒有τ的零階保持器，所以符合實際情況，在分析中不必再考慮τ的影響。01T01該結論可以推廣到采用其他保持器、以及有保持器的反饋控制系統5301T等價于G0的輸入如右圖u(t)TGh(s)u*(t)G0(s)Ty*(t)uh(t)y(t)54與前面實際情況的結果一致！u(t)TGh(s)u*(t)G0(s)Ty*(t)uh(t)y(t)55u(t)TGh(s)u*(t)G0(s)Ty*(t)零階保持器脈沖傳遞函數與差分方程U(z)G

(z)Y(z)56差分方程的計算：①迭代法計算機作為控制器，執行時也按差分方程進行迭代計算。57②Z變換法Z變換法只能用于U(z)確定時，迭代法則適用于任意的u(k)58零初始值的含義及差分方程的Z變換：對上述兩個差分方程進行Z變換的效果是一樣的（Z變換利用延遲定理）（Z變換利用超前定理）59U(z)G

(z)Y(z)u(k)系統y(k)（利用延遲定理）（利用超前定理）60零初始值的含義及差分方程的Z變換（續）：（Z變換利用延遲定理）（Z變換利用超前定理）61由輸入輸出差分方程求狀態空間表達式：有高階差分

項時如何求？不唯一u(k)系統y(k)62由脈沖傳遞函數求狀態空間表達式：引入中間變量h(k)初值為零不唯一63可控規范形，可直接由傳遞函數或差分方程寫出所以狀態空間模型為64線性離散系統狀態空間表達式的一般形式u(k)系統y(k)65由狀態空間表達式求脈沖傳遞函數：唯一u(k)系統y(k)66（1）有一個采樣開關的閉環系統TG(s)H(s)－3、閉環脈沖傳遞函數67附：閉環脈沖傳遞函數的推導TG(s)H(s)－68TG(s)H(s)－69（2）有數字控制裝置的采樣系統D*(s)TG(s)TH(s)－思考：計算過程有何規律？70附：閉環脈沖傳遞函數的推導D*(s)TG(s)TH(s)－71（3）有擾動作用的采樣控制系統D*(s)TG1(s)TH(s)－G2(s)72附：擾動作用部分E1(z)和Y1(z)的推導D*(s)TG1(s)TH(s)－G2(s)73常見情況：反饋環節為比例環節D*(s)TG1(s)TH(s)－G2(s)74D*(s)TGh(s)TH(s)－G2(s)75解：D*(s)TGh(s)TH(s)－G2(s)76y(k)收斂于0.5極點在單位圓內77y(k)收斂于0.2578y(k)發散與T無關79K在什么范圍內取值時y(k)收斂？y(k)振蕩80練習Ⅱ

B9.6,(1),(4);

B9.7,(a),(b);

B9.9;819.4離散系統的z域分析法一、離散系統的穩定性1、S域到Z域的映射根據Z變換定義，有

Z平面ImRe01-1

S平面082線性離散系統穩定的充要條件是：系統的全部極點均位于Z平面的單位圓內。（1）穩定條件（開、閉環）2、離散系統的穩定性R(z)Y(z)83（2）閉環系統的穩定條件TG(s)H(s)－穩定的充要條件是：特征方程的根（閉環系統的極點）全部位于Z平面的單位圓內。84穩定的充要條件是：特征方程的根（閉環系統的極點）全部位于Z平面的單位圓內。D*(s)TG(s)TH(s)－85（3）低階系統的穩定性判別（一、二階）KTGh(s)T－G0(s)T↑K的穩定域↓；T→0K的穩定域→連續系統的情況（連續系統的特征式為s+1+K）86（4）高階系統的穩定性判別可以使Z平面映射為類S平面:Z平面的單位圓W平面的虛軸；單位圓內W平面的左半復平面；單位圓外W平面的右半復平面。采用雙線性變換為何不直接映射為S平面？能否利用勞斯判據87

W平面0Z平面的單位圓映射為W平面的虛軸；Z平面的單位圓內映射為W平面的左半復平面；Z平面的單位圓外映射為W平面的右半復平面；在W平面應用勞斯判據與在S平面完全相同。

Z平面x01-1jyZ平面與W平面的映射關系88G(s)－T=0.25s89為使采樣系統穩定，應使所有系數>0,所以有0<K<17.3比較：對于沒有采樣開關的二階連續系統，K的穩定域是K>0。（特征式為s2+4s+K）加入采樣開關通常對系統的穩定性不利，而提高采樣頻率，穩定性將得到改善，但最多與連續系統一樣。改變T會有什么結果？90用根軌跡法可以得出同樣的結論

Z平面x01-1jy××0.368繪制根軌跡圖無須變換，直接針對G(z)即可；分析穩定性是看根軌跡法的哪些部分位于Z平面的單位圓內。利用MATLAB繪圖：a=zpk([0],[1,0.368],0.158,'Variable','z')

rlocus(a)極點零點增益91根軌跡圖92G(s)－T=0.2s93要求第一列>0，所以有K的穩定域為0<K<0.4001

（由一、三行條件得）比較：對于無采樣開關時的連續系統，K的穩定域為0<K<294根軌跡圖95二、離散系統極點分布與暫態性能系統響應由暫態和穩態分量組成，穩態分量主要取決于輸入，而暫態分量則主要取決于系統傳函；R(z)Y(z)r(k)系統y(k)系統傳函的極點決定了暫態分量的基本形態，也就是決定了響應的發散或收斂、以及收斂情況下的快速性和平穩性；與連續系統類似，系統傳函可按極點進行部分分式分解，總的響應是各部分響應的疊加。96S平面與Z平面的對應關系：根據Z變換定義，有

Z平面ImRe01-1

S平面0S平面極點的實部決定Z平面極點的幅值，S平面極點的虛部決定Z平面極點的相位。因此，根據系統極點的分布，可以判斷其對應的時間響應收斂與否、收斂的快速性與平穩性等。97實數極點的情況0j極點a在Z平面可能的位置1×××××××-198系統實數極點分布與相應的暫態分量響應形態Z平面ImRe0199復數極點的情況0jZ平面的復數極點1××0j期望的極點分布區域1期望區域100ImRe1–1閉環復數極點分布與相應的暫態分量響應形態Z平面101Simulink仿真例改變K如何影響系統的閉環極點和階躍響應？采樣周期T=0.25s程序：ac9no2積分作用102分析利用MATLAB繪制根軌跡圖，分析K與閉環極點的關系D(z)G(z)Y(z)R(z)-E(z)K的穩定域為0<K<17.3

同前面例103根軌跡圖104仿真結果1極點距單位圓越近，響應越慢K增大使振蕩性加劇極點距單位圓距離相同時，調節時間基本相同K=0.523K=0.979K=3.59K=8.63105仿真結果2K=13.9K=16.3K增大使振蕩性加劇但調節時間基本相同106仿真結果3K=16.9振蕩性加劇調節時間變長107說明：對暫態性能的進一步分析對離散系統同樣可以應用根軌跡法，根軌跡圖的繪制與連續系統完全相同，但分析基于Z平面；離散系統的頻率分析法有兩種。一種是直接在z域進行分析（令z=ejTω），頻率特性為周期性函數，只須分析一個周期；另一種是先進行雙線性變換，然后再運用頻率法（方法同連續系統）108三、離散系統的穩態誤差D(z)G(z)-1091.內模原理跟蹤穩態誤差為零的條件為閉環系統穩定（Δ=a+b

的根在單位圓內）開環傳函Gk(z)包含與參考輸入R(z)相同的不穩定極點第二個條件稱為內模原理（InternalModelPrinciple）D(z)G(z)Y(z)R(z)-E(z)110說明滿足內模原理通常要依靠控制器，而不是受控對象；只要系統滿足內模原理和閉環穩定的條件，即使系統存在模型誤差，只要沒有破壞系統的穩定性，就能保證穩態誤差為零。D(z)G(z)Y(z)R(z)-E(z)與連續時間系統的結論類似1112.內模原理的特例：R(z)為典型輸入信號U(z)Y(z)基本概念：離散積分環節（離散積分作用）112若Gk(z)包含n個離散積分環節，則稱閉環系統為n型系統Gk(z)-R(z)為典型輸入信號時跟蹤穩態誤差為零的條件：113不滿足內模原理時如何求穩態誤差？①根據終值定理②對誤差函數進行分式分解1143.根據終值定理求穩態誤差前提：E(z)

沒有單位圓上及圓外的的極點（除z＝１外）Gk(z)-終值定理主要用于不滿足內模原理、且R為