專題24三角形中基本量的計算問題

【高考真題】

1.(2022?全國乙理)記ABC的內角國民C的對邊分別為a,b,c,已知$而。加0-8)=5118311。-4).

(1)證明:2a2=房+°2;

25

(2)若a=5,cos4=不，求ABC的周長.

2.(2022?全國乙文)記，ABC的內角4,B,C的對邊分別為a,匕，c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

(1)若A=2B,求C；

(2)證明：2/=房+°2

3.(2022?北京)在ABC中，sin2C=73sinC.

⑴求“；

(2)若6=6,且.ABC的面積為66，求ABC的周長.

【知識總結】

1.正、余弦定理

在△ABC中，若角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,R為△ABC外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

。2=+。2_2bcCOSA；

內容q=L=」=2R〃=/+次-2cacosB；

sinAsinBsinC

c1=a2+b2-2abeosC.

fesinAasinBtzsinC

⑴a-sinB，"sinA，LsinA；

,、、.asinB.?bsinA._csinA"+/一〃2

(2)sinA—b，sin8—〃,sinC—〃；

cosA—2bc；

(3)a=2RsinA,/?=2RsinB,c=2/?sinC；/+/一〃

變形cosB—2ac；

八.，。nb.「c

(4)sinA=礪，sin3=詆，smC=樂；

c°sC—2ah-

(5)。：b:c=sinA:sinB:sinC；

a+b+c

(6入由A+sinB+sinC

2.三角形面積公式

S\A8c=；a6sinC=3>csinA=%csin8=^'=T(a+6+c)”。,R為別是AABC內切圓半徑和外接圓半徑),

并可由此計算/?、八

3.解三角形有關的二級結論

(1)三角形內角和定理

在AABC中，A+3+C=g變形：2~=2~~2,

(2)三角形中的三角函數關系

①sin(A+8)=sinC；②cos(A+8)=-cosC；③tan(A+8)=—lanC(C#5)；④sin--=cosg；⑤cos■--

=siny.⑥在非RtZXABC中，tanA+tanB+tanC=tanA-tanB-tanC(A,B,CW，).

(3)三角形中的不等關系

①在三角形中大邊對大角，大角對大邊.

?A>B<=>6z>/?<=?sin/l>sinB<=>cosA<cosB.

71__

③若為銳角三角形，貝！j4+3>],sinA>cosB,cosA<sinB,a2+h2>c1,若△ABC為鈍角三角形(假

兀

如C為鈍角)，貝ijA+8<5，sinA<cosB,cosA>sinB.

@c2=a2+b2^C為直角；c1>a2+h2<^C為鈍角；c2<a2+b2<^>C為銳角.

⑤a+b>c,b+c>a,c+a>b.

⑥若xG(0,。則sinx<x<tanx.若xG(0,野，則1<sinx+cos爛啦.

(4)三角形中的射影定理

在△ABC中，a—bcosC+ccosB；6=acosC+ccosA：c—bcosA+acosB.

注意：在處理三角形中的邊角關系時，一般全部化為角的關系，或全部化為邊的關系.若出現邊的一

次式一般采用到正弦定理，出現邊的二次式一般采用到余弦定理.若已知條件同時含有邊和角，但不能直

接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：

①若式子中含有正弦的齊次式，優先考慮正弦定理“角化邊”，然后進行代數式變形；

②若式子中含有a,b,c的齊次式，優先考慮正弦定理''邊化角"，然后進行三角恒等變換：

③若式子中含有余弦的齊次式，優先考慮余弦定理“角化邊”，然后進行代數式變形：

④含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理求解；

⑤同時出現兩個自由角(或三個自由角)時，要用到三角形的內角和定理.

【方法總結】

三角形中基本量的計算問題主要考查正弦定理、余弦定理，最簡單的問題是只用正弦定理或余弦定理

即可解決.中等難度的問題要結合三角恒等變換再用正弦定理或余弦定理即可解決.難度較大的問題要結

合三角恒等變換并同時用正弦定理、余弦定理和面積公式才能解決.

【題型突破】

題型一計算三角形中的角或角的三角函數值

1.(2020?天津)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為小h,c.已知〃=2啦，b=5,c=y[V3.

(1)求角C的大小；

(2)求sinA的值；

⑶求sin(2A+；)的值.

2.(2019?全國I)AABC的內角4,B,C的對邊分別為a,b,c.i5(sinfi-sinQ2-sin2A-sinBsinC.

⑴求4;

(2)若6a+b=2c,求sinC.

3.(2018?天津)在aABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知加inA=〃cos(B—/.

(1)求角8的大小；

(2)設a=2,c=3,求6和sin(24—8)的值.

4.在AASC中，角A,B,C所對的邊分別是a,匕，c,且空獰+型產=呼.

⑴證明：siriiAsinB=sinC；

(2)若kr+(r—cr=^bc,求tanB.

5.已知AABC的內角A,B,。的對邊分別為mb,c,cr+b2=Xab.

⑴若入=#,3=槃，求simA；

(2)若a=4,A3邊上的高為邛^,求C.

6.在△A5C中，內角A,B,。所對的邊分別為a,b,c.已知〃sinA=4加in-ac=y[5(a2—h2—c2).

(1)求cosA的值；

(2)求sin(28—A)的值.

7.如圖，在四邊形ABCQ中，ZADB=45°,ZBAD=105°,AD=坐,BC=2,AC=3.

(1)求邊AB的長及cos/ABC的值；

(2)若記/48C=a,求sin(2a—的值.

8.(2020?江蘇)在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=3,c=?8=45。.

⑴求sinC的值;

4

(2)在邊3c上取一點。，使得COSNAOC=-5，求tanNZMC的值.

9.(2021?新高考1)記△ABC的內角A,B,9的對邊分別為9c已知廬=〃c,點。在邊AC上，BDsin

ZABC=asinC.

(1)證明：BD=b.

(2)若4￡)=2DC,求cosNABC.

10.從①cosB+cos3=0；@sin2A—sin2B+sin2C+sinAsinC=0；?b,cosC+(2?+c)cosB—0,這三個

條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答.

在△ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，若,

⑴求B；

(2)若△ABC面積的最大值為害，求反

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

題型二計算三角形中的邊或周長

11.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c(l+cosB)=b(2—cosC).

(1)求證：2b=o+c；

(2)若8=率ZVIBC的面積為4小，求從

113

12.在△ABC中，a,b,c分別為內角A,B,C的對邊，且一^十一：-=,冒上.

a+ba+ca+b+c

(1)求角A的大小；

(2)若+小，a=y[l5,求b的值.

13.(2017?全國U)AABC的內角A,B,C的對邊分別為小b,c,已知simA+OMgsin21.

⑴求cosB；

(2)若a+c=6,AABC的面積為2,求b.

14.在①3/=165+3(從一〃)，②“cosC+4c=5小這兩個條件中任選一個，補充在下面橫

線處，然后解答問題.

在△A2C中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,設△ABC的面積為S,已知.

⑴求tanB的值;

(2)若5=42,?=10,求匕的值.

(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分)

15.如圖，在AABC中，AB=8,點。在邊BC上，且CZ)=2,cosZAZ)C=1.

(1)求sinZBAD,

(2)求BQ,AC的長.

16.在△4BC中，內角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bsinC+asinA=6sinB+csinC.

⑴求A；

(2)設￡＞是線段BC的中點，若c=2,AD=g,求a.

2

17.如圖，在△A3C中，AB=9,cosB=y點。在5c邊上，AD=7,N4O3為銳角.

A

BDC