第九章桿件變形及結構的位移計算第一節直桿的軸向變形和扭轉角第二節虛功原理單位荷載法第三節用積分法求梁的變形第四節圖乘法第一節直桿的軸向變形和扭轉角一、直桿的軸向變形階梯形直桿受力如圖所示，已知該桿AB段橫截面面積A1=800mm2，BC段,A2=240mm2，桿件材料的彈性模量E=200GPa。試求該桿總變形量。解（1）求AB、BC段軸力

FNAB=40kN（拉）

FNBC=-20kN（壓）（2）求AB、BC段伸長量（3）AC桿總伸長ABC0.4m0.4m40kN60kN20kN例9-1二、圓軸的扭轉角和剛度條件1、扭轉角的計算扭轉變形dxRdodAdATBAlTT、G、Ip為常數扭轉角的正負與扭矩正負相同。截面抗扭剛度，簡稱抗扭剛度。某機器傳動軸AC如圖所示，已知軸材料的切變模量G=80GPa，軸直徑d=45mm。求AB、BC及AC間相對扭轉角,最大單位長度扭轉角。解

（1）內力分析（2）變形分析AB段BC段例9-2TA=120NmTB=200NmTC=80Nm0.3m0.3mABC2、圓軸扭轉的剛度條件軸的扭轉在單位長度內不超過一定的限度。在工程中是軸的單位扭轉角不超過許用扭轉角[]，即[]軸的剛度條件為CBA例9-3計算軸的總扭轉角MA=76.4NmMB=191NmMC=300NmIp=2105mm4繼續MAMBMCMAMBMCAB=BC=2mG=80GPa解∶ACBx76.4Nm114.6NmT例9-4用剛度條件設計傳動軸的直徑BAMMM=200kNmG=80GPa[]=0.3o設計軸徑d。解∶取一、結構位移1.變形和位移在荷載作用下，結構將產生變形和位移。變形：是指結構形狀的改變。位移：是指結構各處位置的移動。2.位移的分類APA′A線位移：角位移：A(△A)△Ay△Ax△Ay△Ax△A絕對位移相對位移PABCDC′D′△C△D△CD=△C+△D□第二節虛功原理單位荷載法線位移角位移3.計算位移的目的（1）為了校核結構的剛度。（2）結構施工的需要。

（3）為分析超靜定結構打下基礎。起拱高度△MFQFNκγε↓↓↓↓↓↓↓↓↓-t+t不產生內力，產生變形產生位移b）溫度改變和材料脹縮；c）支座沉降和制造誤差不產生內力和變形產生剛體移動

位移是幾何量，自然可用幾何法來求，如lD=bxdwd=k22βΔ但最好的方法不是幾何法，而是虛功法。其理論基礎是虛功原理。a）荷載作用；4、產生位移的原因主要有三種：

計算位移時，常假定：1）荷載與位移成正比σ=Eε；2）小變形；3）具有理想約束的體系；4）荷載全部撤除后，由荷載引起的位移也全部消失。即：線彈性體系?？捎茂B加原理。結構力學中計算位移的一般方法是以虛功原理為基礎的。本章先介紹變形體系的虛功原理，然后討論靜定結構的位移計算。5.線性變形體系二、功和虛功（一）功的概念定義：一個不變的集中力所做的功等于該力的大小與其作用點沿力作用線方向的分位移的乘積。Ｗ=F△△是力作用線方向的分位移（二）實功與虛功實功：虛功：W=力在其它因素引起的位移上作的功。力與位移是彼此無關的量，分別屬于同一體系的兩種彼此無關的狀態。例如：例如：W12=P1·△2力在本身引起的位移上作的功。力狀態位移狀態一個體系虛位移：與對應的力無關的位移，△→FP虛力：與對應的位移無關的力，FP→△虛功：彼此無關的位移與力的乘積，FP

△△FP狀態1狀態2虛并不是沒有的意思，而是做功的力與相應的位移無關。變形體平衡的必要和充分條件是：對任意微小虛位移，外力所作的虛功總和等于此變形體各微段上內力所作的變形虛功總和。即：

W=Ｖ稱為虛功方程，式中：W——外力虛功V——內力虛功（虛應變能）1、位移計算公式的推導單位力P=1內力虛功外力虛功位移狀態△虛設單位力狀態1得單位荷載法求位移三、單位荷載法