第一章

緒論彈性力學:也稱彈性理論，固體力學學科的一個分支。

彈性力學和塑性力學是固體力學的兩個重要分支。 彈性力學是研究固體材料及由其構成的物體結構在彈性變形階段的力學行為，包括在外部干擾下(受外力、邊界約束或溫度改變等原因)彈性物體的內力(應力)、變形(應變)和位移的分布，以及與之相關的原理、理論和方法 §1-1彈性力學的研究內容任務分析結構、構件在外部干擾下的應力和位移檢驗結構、構件的強度、剛度通過這門課程的學習來研究其技術方法，尋求、改進計算方法§1-1彈性力學的研究內容研究彈性體的力學，有材料力學、結構力學、彈性力學。它們的研究對象分別如下：

材料力學——研究桿件（如梁、柱和軸）的拉壓、彎曲、剪切、扭轉和組合變形等問題。結構力學——在材料力學基礎上研究桿系結構（如桁架、剛架等）。彈性力學——研究各種形狀的彈性體，如桿件、平面體、空間體、板殼、薄壁結構等問題。（如地基、剪力墻、擋土墻、壩體、隧洞）

§1-1彈性力學的研究內容研究對象材料力學結構力學彈性力學桿狀構件桿件系統非桿狀結構及桿狀構件長度遠大于高度和寬度拉壓、剪切、彎曲、扭轉作用下產生的應力和位移由桿狀構件組成的結構荷載作用下桿件的內力（彎矩、剪力）或變形應力、形變和位移§1-1彈性力學的研究內容在研究方法上，彈力和材力也有區別：

彈力研究方法：在區域V內嚴格考慮靜力學、幾何學和物理學三方面條件，建立三套方程;在邊界s上考慮受力或約束條件，建立邊界條件;并在邊界條件下求解上述方程，得出較精確的解答。材力研究方法：也考慮這幾方面的條件，但不是十分嚴格的：常常引用近似的計算假設（如平面截面假設）來簡化問題，并在許多方面進行了近似的處理。

因此材料力學建立的是近似理論，得出的是近似的解答。從其精度來看，材料力學解法只能適用于桿件形狀的結構。

§1-1彈性力學的研究內容對比彈性力學和材料力學的結果，可以確定出材料力學附加假設所帶來的局限性。首先我們考察一下變截面桿的拉伸問題。在研究等截面直桿拉伸時，材料力學引用了平截面假設。垂直于桿件軸線的各平截面（即桿的橫截面）在桿件受拉伸、壓縮或純彎曲而變形后仍然為平面，并且同變形后的桿件軸線垂直。§1-1彈性力學的研究內容變截面桿拉伸時，沿用等截面直桿拉伸的結果，認為橫截面應力也是均勻分布的。§1-1彈性力學的研究內容按照這個假設，我們從桿的側面取出一個微元體，如圖c，顯然，不滿足平衡條件，因而是不正確的。要滿足平衡條件，微元體的受力圖應如圖d所示，這只有通過彈性力學方法才能求解。彈性力學的求解結果表明，只有當斜角很小時，即接近于直桿時，材料力學的結果才有被引用的價值。§1-1彈性力學的研究內容其次，考慮均布荷載作用下的簡支梁§1-1彈性力學的研究內容對于純彎曲問題，材料力學引用平面假設，對橫力彎曲問題分兩步求解，首先按純彎曲梁的求解方法，計算橫截面上的正應力，結果為線性分布，再在縱向纖維擠壓應力的假設前提下，根據體元的平衡條件，推出剪應力為二次拋物線分布。§1-1彈性力學的研究內容圖b中還繪出了彈性力學求解的結果：橫截面上的正應力為y的三次曲線，縱向纖維擠壓應力也為y的三次曲線分布，而剪應力解，則二者完全相同。嚴格的講，在橫力彎曲中，由于剪應力的存在橫截面要發生翹曲，平面假設已不成立，而橫向力的存在本身就意味著縱向纖維的擠壓并不為零。§1-1彈性力學的研究內容與彈性力學精確解相比較，當梁的高跨比時，材料力學的結果可以認為是足夠精確的。對于深梁問題，此時只能用彈性力學方法求解。圖中表示出了對稱面上的正應力分布曲線，A點處，彈性力學的解為,如果用材料力學方法求解則為誤差為145%。

§1-1彈性力學的研究內容彈性力學在力學學科和工程學科中，具有重要的地位：彈性力學是工程結構分析的重要手段。尤其對于安全性和經濟性要求很高的近代大型工程結構，須用彈力方法進行分析。

彈性力學是學習塑性力學、斷裂力學、巖石力學、有限元方法等課程的基礎。

§1-1彈性力學的研究內容

土木工程§1-1彈性力學的研究內容水利工程§1-1彈性力學的研究內容航空航天工程§1-1彈性力學的研究內容船舶機械工程§1-1彈性力學的研究內容工科學生學習彈力的目的：

（1） 理解和掌握彈力的基本理論；

（2）能閱讀和應用彈力文獻；

（3）能用彈力近似解法(變分法、差分法和有限單元法)

解決工程實際問題；（4）為進一步學習其他固體力學分支學科打下基礎。§1-1彈性力學的研究內容彈性力學的發展

彈性力學是一門有悠久歷史的學科，早期研究可以追溯到1678年，胡克（R.Hooke）發現胡克定律。這一時期的研究工作主要是通過實驗方法探索物體的受力與變形之間的關系。

§1-1彈性力學的研究內容近代彈性力學的研究是從19世紀開始的。柯西1828年提出應力、應變概念，建立了平衡微分方程，幾何方程和廣義胡克定律。柯西的工作是近代彈性力學的一個起點，使得彈性力學成為一門獨立的固體力學分支學科。柯西（A.L.Cauchy）§1-1彈性力學的研究內容而后，世界各國的一批學者相繼進入彈性力學研究領域，使彈性力學進入發展階段。1856年，圣維南（A.J.Saint-Venant）建立了柱體扭轉和彎曲的基本理論圣維南（A.J.Saint-Venant）§1-1彈性力學的研究內容1862年，艾里（G.B.Airy）發表了關于彈性力學的平面理論1881年，赫茲建立了接觸應力理論；赫茲（H.Hertz）§1-1彈性力學的研究內容1898年，基爾霍夫建立了平板理論;基爾霍夫(G.R.Kirchoff)1824年生於德國，1887年逝世。曾在海登堡大學和柏林大學任物理學教授，他發現了電學中的“基爾霍夫定理”，同時也對彈性力學，特別是薄板理論的研究作出重要貢獻。§1-1彈性力學的研究內容許多科學家.像拉格朗日(J.L.Lagrange)，樂甫(A.E.H.Love)，鐵木辛柯(S.P.Timoshenko)做出了貢獻。中國科學家錢偉長，錢學森，徐芝綸，胡海昌,等在彈性力學的發展，特別是在中國的推廣應用做出了重要貢獻。§1-1彈性力學的研究內容錢偉長錢學森胡海昌§1-1彈性力學的研究內容徐芝綸楊桂通§1-1彈性力學的研究內容基本概念：外力、應力、形變、位移。一、作用與物體上的外力體積力（體力）：作用于物體體內表面力（面力）：作用于物體表面1、體力所謂體力是指分布在物體體積內的力，一般用單位體積的力表示，如重力、磁力、慣性力。§1-2彈性力學中的幾個基本概念

為了表明該物體在某一點P所受體力的大小和方向，在這一點取物體的一小部分，它包含著P點而它的體積為xyzO設上所受的力為，令無限減小，則將趨于一定的極限，即則極限矢量即為P點體力的集度，其方向即的極限方向，用、、表示體力分量是在x、y、z軸上的投影，單位：N/m3，量綱：§1-2彈性力學中的幾個基本概念說明：(1)f是坐標的連續分布函數；(2)f的加載方式是任意的(如：重力，磁場力、慣性力等)(3)fx、fy、fz

的正負號由坐標方向確定。2、面力所謂面力是指分布在物體表面上的力，一般用單位表面積上的力表示，如風力、液壓和接觸力等。§1-2彈性力學中的幾個基本概念為了表明該物體在表面上某一點P所受面力的大小和方向，在這一點取物體表面的一小部分，它包含著P點而它的面積為xyzO設上所受的力為，令無限減小，則將趨于一定的極限，即

則極限矢量即為P點面力的集度，其方向即的極限方向，用、、表示面力分量，是在x、y、z軸上的投影，單位是，量綱：§1-2彈性力學中的幾個基本概念說明：(1)f是坐標的連續分布函數；(2)f的加載方式是任意的(3)

fx、fy、fz

的正負號由坐標方向確定。二、應力與應力分量1、一點應力的概念內力(1)物體內部分子或原子間的相互作用力;(不考慮)(2)由于外力作用引起的相互作用力。物體任何部位的內力特征用應力來描述，為了說明應力的概念，現考察受平衡力系的任意形狀的物體。§1-2彈性力學中的幾個基本概念物體受外力作用時，其內部相鄰兩部分之間就產生了相互作用力即內力，假想過P點用截面mn將物體分為兩部分，撇開一部分，該部分對剩下的部分的作用可用分布在截面上的內力來代替。PΔF§1-2彈性力學中的幾個基本概念在截面上任一點P處取一微小面積△A，其上內力為△F，則內力平均集度為△F/△A，當△A無限趨近于P點時，物體在該截面上P點應力矢量即△F/△A的極限值：ΔAPΔFn(法線)§1-2彈性力學中的幾個基本概念由上分析可知：①應力大小反映了截面上某點內力的強度即內力分布集度。②過同一點所取的截面方位不同，應力也不相同，即應力與所取截面的方位有關。③應力是矢量。為了便于描述物體變形和材料強度，一般由正應力（沿截面法向）和剪應力（沿截面切向）兩個分量來表示。ΔAPΔFn(法線)§1-2彈性力學中的幾個基本概念由于mn截面是任取的，實際上過P點可取無數個方位不同的截面，各截面上P點的應力是不同的，為此將物體同一點各截面上的應力狀況稱為一點的應力狀態。分析一點的應力狀態，對研究物體的強度是十分重要的。2、一點的應力狀態通過一點P的各個面上應力狀況的集合稱為一點的應力狀態x面的應力：§1-2彈性力學中的幾個基本概念y面的應力：z面的應力：!下標前一個字母表明作用面垂直于哪個坐標軸，后一個字母表面作用方向沿著哪一個坐標軸。xyzO§1-2彈性力學中的幾個基本概念截面的正負號：!!截面的外法線方向與坐標軸方向一致時為正面；!!截面的外法線方向與坐標軸方向相反時為負面。應力的正負號：!!正面上正方向的力為正；負面上負方向的力為正。與材料力學中剪應力τ正負號規定的區別：規定使得單元體順時轉動的剪應力τ為正，反之為負。6個剪應力并不是互不相關的。由材料力學的剪應力互等定律，可以看出它們是兩兩相等的，即§1-2彈性力學中的幾個基本概念可以證明，在物體的任意一點，如果已知

這六個應力分量，就可以求得經過該點的任意截面上的正應力和剪應力。因此，彈性力學里把稱為該點的應力分量。§1-2彈性力學中的幾個基本概念三、形變形變——物體形狀的改變。(1)線段長度的改變(2)兩線段間夾角的改變為了表述物體內任一點P的變形情況，過P點沿三軸正向取三條微小線段PA、PB、PC，物體變形后，該三條線段長度及它們之間直角必將發生改變。（1）線段單位長度的伸縮（2）兩線段間夾角的改變。——用線（正）應變ε度量——用剪應變γ度量（剪應變——兩垂直線段夾角（直角）的改變量）§1-2彈性力學中的幾個基本概念§1-2彈性力學中的幾個基本概念pABC沿x方向沿y方向沿z方向線應變——單位長度的伸縮伸長時為正，縮短時為負；§1-2彈性力學中的幾個基本概念切應變符號規定：沿兩個坐標軸正向之間的直角變小為正,變大為負切應變切應變——線段間直角的改變（弧度）p可以證明，在物體內任一點如果已知這6個應變，經該點的任一線段的正應變和任兩線段之間直角的剪應變都可求得，即該點的應變狀態可以確定，所以這6個應變稱為該點的應變分量。四、位移位移指的是一點位置的移動。物體內任一點的位移，用其在x、y、z三軸上的投影u、v、w來表示，以沿坐標軸正向為正，沿坐標軸負向為負。u、v、w

即該點的位移分量。SwuvPxyzO§1-2彈性力學中的幾個基本概念彈性力學問題：已知外力、物體的形狀和大小（邊界）、材料特性（E、μ）、約束條件等，求解應力、應變、位移分量。需建立三個方面的關系：（1）靜力學關系：應力與體力、面力間的關系；（2）幾何學關系：形變與位移間的關系；（3）物理學關系：形變與應力間的關系。§1-2彈性力學中的幾個基本概念§1-2彈性力學中的幾個基本概念平衡微分方程幾何方程物理方程應力邊界條件位移邊界條件微分體的平衡條件微分線段上形變與位移關系應力與形變的物理關系給定的面力邊界微分體平衡給定的約束邊界上約束條件基本方程邊界條件解方程組求解§1-3彈性力學中的基本假定為什么要提出基本假定？任何學科的研究，都要略去影響很小的次要因素，抓住主要因素建立計算模型歸納為學科的基本假定。1.連續性假定整個物體的體積都被組成物體的介質充滿，不留下任何空隙。

該假定在研究物體的宏觀力學特性時，與工程實際吻合較好；研究物體的微觀力學性質時不適用。作用：使得σ、ε、u

等量表示成坐標的連續函數。保證中極限的存在。§1-3彈性力學中的基本假定2、線彈性假定假定物體在引起變形的外力去除后，能完全恢復原狀。即假定物體完全服從胡克（Hooke）定律，應力與應變間成線性比例關系。脆性材料——一直到破壞前，都可近似為線彈性的；塑性材料——比例階段，可視為線彈性的。作用：可使求解方程線性化§1-3彈性力學中的基本假定3、均勻性假定假定整個物體是由同一種材料組成的，各部分材料性質相同。作用：彈性常數（E、μ）——不隨位置坐標而變化；取微元體分析的結果