信自學院生醫系生物醫學信號處理第一章隨機信號分析21.1隨機信號概述1.1.1信號的一般分類一、確定性信號和隨機信號1、確定性信號：2、隨機信號（隨機過程）：3圖中每一條曲線代表隨機信號的一個樣本隨機信號X(t)二、周期信號與非周期信號三、連續時間信號與離散時間信號41.1.2隨機過程的分類5一、按照隨機信號X（t）的時間和狀態是連續還是離散來分類：

1、連續型隨機過程

2、連續隨機序列63、離散隨機過程

4、離散隨機序列

7二、按照隨機信號的樣本函數形式的不同來分類：1、確定的隨機信號：2、不確定的隨機信號：8三、

按照隨機過程的分布函數（或概率密度）的不同特性進行分類9按照隨機過程的功率譜特性寬帶的和窄帶的白色的和有色的1.2單一隨機信號的基本特征10為了完整地描述隨機信號統計特征需要采用隨機信號各個時刻取值的高階概率密度函數，即每一時刻一階概率密度函數

每一時刻二階概率密度函數

每一時刻三階概率密度函數采用階數越高，描述越完整，但實際很難做到，處理計算太繁瑣，很少采用。通常用一階、二階統計特征描述，如均值、均方、自相關函數、功率譜等。1.2.1概率密度函數（概率分布）11概率密度函數是隨機變量分布函數的導數，表示隨機變量取值的統計特性。隨機過程的概率分布函數一、

一維概率分布（一階概率密度）對于任意的時刻t，X(t)是一個一維隨機變量，設x為任意實數，定義為隨機過程X(t)的一維分布函數。12若的一階偏導數存在，則定義

為隨機過程X(t)的一維概率密度。13二、

二維概率分布（二階概率密度）對于隨機過程X(t)，在任意兩個時刻t1和t2可得到兩個隨機變量X(t1)和X(t2)，可構成二維隨機變量{X(t1),X(t2)}，它的二維分布函數稱為隨機過程X(t)的二維概率分布函數。若對x1,x2的偏導數存在，則定義為隨機過程X(t)的二維概率密度。14三、n維概率分布（n階概率密度）對于任意的時刻t1,t2,…,tn，X(t1),X(t2),…,X(tn)是一組隨機變量，定義這組隨機變量的聯合分布為隨機過程X(t)的n維概率分布，即定義為隨機過程X(t)的n維概率分布函數。為隨機過程X(t)的n維概率密度。1.2.2隨機信號的數字特征15概率密度函數能完整地表現隨機變量和隨機信號的統計特性，但是實際中往往很難求其概率密度函數。處理后信號也并不需要了解其全部統計特性，這時只需了解隨機過程在某一時刻的平均值和實際值相對于這個平均值的分散程度，所以可以引用隨機變量的均值、方差等數字特征。隨機變量常用數字特征：隨機信號常用數字特征：一、

數學期望（均值）：反映隨機過程在各時刻的平均值16對于任意的時刻t，X(t)是一個隨機變量，將這個隨機變量的數學期望定義為隨機過程的數學期望，記為mX(t)，即二、均方值（方差）17均方對于任意的時刻t，X(t)是一個隨機變量，該隨機變量X(t)的二階原點矩稱為隨機過程的均方。方差對于任意的時刻t，X(t)是一個隨機變量，該隨機變量X(t)的二階中心矩稱為隨機過程的方差，記為D[X(t)]，即1819

三、自相關函數和協方差函數20數字特征表示單一時刻隨機變量的特征，自相關函數表征信號在不同時刻取值間的關聯程度。21

1、自相關函數——t1時刻隨機變量X(t1)和t2時刻隨機變量X(t2)乘積的統計均值。

222、自協方差函數——把均值（直流分量）除去后做剩余部分的相關函數。

設X(t1)和X(t2)是隨機過程X(t)在t1和t2二個任意時刻的狀態，稱X(t1)和X(t2)的二階聯合中心矩為X(t)的自協方差函數233、二者關系補充定理241、求極限與求數學期望次序可換2、隨機信號的積分運算與數學期望運算次序可換3、隨機信號導數的數學期望等于其數學期望的導數4、隨機信號導數的自相關函數，等于可微隨機信號自相關函數的二階混合偏導數5、隨機信號積分運算與數學期望運算次序可換6、求隨機信號積分的相關函數，只要對隨機信號的相關函數作兩次積分即可1.3平穩隨機過程和遍歷性過程

1.3.1平穩隨機過程25一、嚴平穩隨機過程及其數字特征1、嚴平穩隨機過程的定義：2、嚴平穩隨機過程的一、二階概率密度函數及數字特征26二、寬平穩隨機信號

1.3.2遍歷性過程27為了求X（t）的統計特性，需要知道X（t）無窮多個樣本，這在實際工作中顯然是不現實的。因為我們在實際工作中能得到的往往是一次實驗記錄，也即一個樣本函數。既然平穩隨機信號的均值與時間無關，自相關函數又與時間選取的位置無關，那么，能否用一次的實驗記錄代替一族記錄來計算的均值和自相關函數呢？對一部分平穩信號，答案是肯定的。一、遍歷性過程的定義1、隨機過程的兩種時間平均-----時間均值和時間相關函數2、嚴遍歷性過程的定義：各種時間平均依概率1收斂于相應的集合平均28

293、寬遍歷性過程的定義30

其中滿足①稱X（t）的均值具有遍歷性；滿足②稱X（t）的自相關函數具有遍歷性。31隨機信號的各態遍歷特性(ergodicity)，使我們能由單一樣本函數的時間平均來代替集合（ensemble）平均。隨機信號的平穩特性可使我們能從任意時間原點開始求取統計特征，使得在實際工作中，估計統計平均量成為可實現。思考題信號的取值在+1與-1之間均勻分布，但對每一個樣本，信號的值不隨時間變化。求：總體均值？時間均值？32思考題信號的取值是二值的（0或A)，每隔T秒變一次，但每次的具體取值是隨機且相互獨立的，取0和取A的概率各為1/2。問其均值意義下是否平穩？是否各態遍歷？331.3.3平穩隨機過程相關函數的性質34（4）（5）（6）35（7）（8）361.4隨機過程的聯合概率分布和互相關函數

1.4.1兩個隨機過程的聯合概率分布設兩個隨機過程X(t)和Y(t)，它們的概率密度分別為：則它們的n+m維聯合概率密度函數為3738隨機過程X(t)和Y(t)的四維聯合概率密度1.4.2互相關函數設有兩個隨機過程X(t)和Y(t)，它們在任意兩個時刻t1、t2取值為隨機變量X(t1)和Y(t2)，則它們的互相關函數為：39互協方差函數設有兩個隨機過程X(t)和Y(t)，它們在任意兩個時刻t1、t2取值為隨機變量X(t1)和Y(t2)，則它們的互協方差函數為：40兩個隨機過程的幾種關系414、5、兩個寬平穩隨機過程X(t)和Y(t)聯合寬平穩（或稱寬平穩相依）的條件：421.4.3聯合寬平穩隨機過程的互相關函數的性質43當兩個隨機過程聯合平穩，時間互相關函數等于集合互相關函數時，稱兩者具有聯合寬遍歷性。441.5離散時間隨機過程

隨機信號的采樣定理：如果隨機信號x(t)的功率譜是限帶的，其最高頻率成分為fmax，當采樣間隔Ts<1/(2fmax)時，則采樣值的加權和45可以保證：即在均方誤差意義下收斂于x(t)。1.6.1離散時間隨機過程的定義和概率分布一、定義：若參量t取離散值t1，t2，t3，…，tn時，這種隨機過程稱為離散時間隨機過程。二、概率分布4647數學特征是時間n的函數一、均值（數學期望）二、均方與方差1.6.2離散時間隨機過程的數字特征48三、自相關函數與自協方差函數若隨機過程是平穩的，則定義49廣義平穩離散時間隨機過程滿足：50四、遍歷性與時間平均量實離散時間隨機過程的時間均值為時間自相關函數為以上兩個時間平均量一般都是隨機變量51寬遍歷隨機序列：設X(n)是一個平穩隨機序列，如果皆依概率1成立，則稱X(n)為寬遍歷隨機序列。5253實際中往往求均值和自相關函數的估值54兩個隨機序列具有聯合寬遍歷性的條件：1.6平穩隨機過程的譜分析

1.6.1隨機過程的譜分析一、隨機過程的功率譜密度對于隨機過程來說，由于它的持續期為無限長，因而它的任何一個非零樣本函數都不滿足絕對可積與能量可積條件，所以它的傅立葉變換不存在。但是樣本函數的功率是有限的，即有因此研究隨機過程的功率譜是有意義的55令x(t)表示隨機過程X(t)的任一樣本函數，在x(t)中任意截取長為2T的一段，記為56當T為有限值時，截取函數滿足絕對可積的條件，因此其傅立葉變換存在，有定義隨機過程的功率譜密度為：57兩個結論1、一般隨機過程平穩隨機過程2、功率譜描述了隨機過程的功率在各個不同頻率上的分布。581.6.2平穩隨機過程功率譜密度的性質591.6.3功率譜密度與自相關函數之間的關系確定性信號與它的頻譜函數之間構成傅立葉變換對。一般隨機信號：廣義平穩隨機過程：60常見確定性信號的傅立葉變換611.6.4聯合平穩隨機過程的互譜密度62二、互譜密度與互相關函數的關系631、一般隨機信號：各自平穩且聯合平穩的隨機過程：三、互譜密度的性質641.6.5離散時間隨機信號的功率譜密度651.7幾種典型的隨機信號

1.7.1正態（高斯）隨機過程66一、正態（高斯）隨機過程的一般概念二、正態過程的性質671.7.2白噪過程一、理想白噪