課程內容緒論第1章離散時間信號第2章離散時間系統第3章離散時間信號的傅里葉變換第4章快速傅里葉變換第5章離散時間系統的相位、結構與逆系統第6章無限沖激響應數字濾波器設計第7章有限沖激響應數字濾波器設計1數字信號：所有整數：抽樣間隔，：抽樣頻率(SamplingFrequency)歸一化：離散時間信號21.1典型離散信號1.2離散信號的運算1.3信號的分類1.4噪聲1.5信號空間的基本概念1.6確定性信號的相關函數第1章離散時間信號31.單位抽樣信號（Kronecker函數）1.1典型離散信號單位沖激信號（Drac函數）42.脈沖串序列1.1典型離散信號沖激串序列5將用來替換離散序列連續信號抽樣的數學模型（離散信號）6則3.單位階躍序列74.正弦序列(：Hz;：rad/s;：抽樣頻率,Hz)圓（周）頻率8例:

則令則:則周期正弦序列的周期96.指數序列

歐拉公式5.復正弦序列101.移位：整個序列移動1.2離散信號的運算的基本運算包括：移位、相加、相乘及變換11:n時刻的值:過去時刻的值:將來時刻的值的單位延遲是x（n）中各時間值的含義12:n時刻的值:過去時刻的值:將來時刻的值的單位延遲是序列在某一時刻k的值可以用的延遲表示的抽取性質132.兩個信號的相加與相乘：3.信號時間尺度的變化兩個序列有相同的長度和相同的時間范圍，M為正整數信號的抽取：，L為正整數信號的插值：時間反轉：144.信號的分解分解的基向量分解系數信號的離散表示若分解系數兩兩正交，則該分解為x的正交展開或正交分解。155.信號的變換——信號分解的逆過程分解的基向量分解系數信號的離散表示給定x及分解的基向量的情況下，求解分解系數。或者理解為將信號由一個域映射到另一個域的運算。常用的變換有傅里葉變換、離散余弦變換、希爾伯特變換、小波變換等。161.連續，離散——根據時間變量的取值2.周期，非周期3.確定性信號，隨機信號1.3信號的分類4.能量信號，功率信號信號能量的定義式則為能量信號均勻分布的隨機變量17信號功率的定義式

則為功率信號周期信號的功率周期信號、準周期信號和隨機信號，由于其時間無限，故這些信號都不是能量信號，通常是功率信號。存在于有限時間區間內的確定性信號有可能是能量信號。

18相關是研究兩個信號之間，或一個信號與其移位后的相關性，是信號分析、檢測與處理的重要工具。1.6確定性信號的相關函數常數這兩種相關系數可用來描述兩個信號之間的相似程度，又稱為歸一化的相關系數。19之間的互相關函數之間的互相關函數自相關函數：20自相關函數：實序列復序列性質：21功率信號相關函數的定義：自相關互相關對于能量信號：自相關對于功率信號：22

1.若是周期的，周期是，則2.若是實信號，則3.取最大值，為信號功率若是復信號，則功率信號自相關函數的性質：23同頻率余弦例1.6.2:

24例：相關函數的應用——信號周期性的檢測，其中u(n)為白噪聲，s(n)周期為M0主要集中在m=0處有值功率信號的自相關函數在取最大值，為。252.1離散時間系統的基本概念2.2離散時間系統的輸入輸出關系2.3Z變換的定義2.4Z變換的收斂域2.5Z變換的性質2.6離散時間系統的轉移函數2.7離散時間系統的頻率響應2.8離散時間系統的極零分析2.9濾波的基本概念2.10IIR系統的信號流圖與結構2.11與本章內容有關的MATLAB文件第2章離散時間系統26連續系統的描述：微分方程、卷積、轉移函數（Laplace變換）、頻率響應（Fourier變換）2.1離散時間系統離散系統的描述：差分方程、卷積、轉移函數（Z變換）、頻率響應（DTFT,DFT）272.1離散時間系統當時，輸出稱為單位抽樣響應，記為描述了離散系統的固有特征，是重要的物理參數。28例:當前時刻差分方程前一時刻一階自回歸差分方程的信號流圖單位抽樣響應為無限長的系統：IIR系統(InfiniteImpulseResponse)即29例:三點加權平均器三點平均器三點加權平均器信號流圖n為其它值單位抽樣響應為有限長的系統：FIR系統(finiteImpulseResponse)301.線性Linear含意：該系統滿足迭加原理離散系統的幾個重要定義312.移不變性同時具有線性和移不變性的離散時間系統稱為線性移不變（Linear-ShiftInvariantSystem，LSI）離散時間系統，本書中簡稱LSI系統。含意：移不變性質保證對給定的輸入，系統的輸出和輸入施加的時間無關。等同于32例2.1.5(1)判斷系統是否線性、移不變？系統是線性的則所以系統對的輸出是對的輸出是而由于所以系統不具備移不變性333.因果性Causality因果系統非因果系統含意：一個實際的物理系統，其在任意時刻的輸出只決定于當前時刻的輸入、過去時刻的輸入，而和將來時刻的輸入無關。因果性的判別方法：344.穩定性Stability

若：有：含意：輸入有界，輸出也有界定義不是穩定的351.為常數2.無常數項3.

為一次冪4.時間也為一次冪線性移不變離散時間系統的一般形式：2.2離散時間系統的輸入輸出關系36將作如下形式的分解：輸入輸出37稱LSI系統的線性卷積離散時間系統的輸入輸出關系計算步驟：1.將換成，得；2.將翻轉，得；3.將移動，得；4.將和對應相乘、相加。系統穩定的充要條件：

即：38系統穩定的充要條件：

系統穩定即：充分性：必要性：因系統穩定，則y(0)有界39Laplace變換：

2.3Z變換的定義

離散信號x(n)的z變換定義為如何由時域：信號x(t)的拉氏變換得到離散信號的z變換？復頻域頻域(Fourier變換)雙邊z變換指n從-∞到∞，單邊z變換(X+(z))

指n從0到∞40令：得到：41離散時間序列的傅里葉變換，DTFT當平面422.4Z變換的收斂域收斂域ROC除外，還取決于的取值是的模，所以ROC具有“圓”，或“環”的形狀。43例2.4.1：使Z變換的分母為0的點，稱為Z變換的極點。44例2.4.2：{其他451.ROC：3.ROC:有限長離散時間信號Z變換的收斂域即即2.ROC：即46ROC:右邊無限長序列ROC：左邊無限長序列ROC:雙邊無限長序列ROC:ROC：47例2.4.5：思考：什么信號的z變換的收斂域是整個z平面？單位抽樣信號的z變換的收斂域是整個z平面481.線性:2.3Z變換的性質例49表示單位延遲2.時移性質:

（1）雙邊Z變換（2）單邊Z變換50（3）為因果序列，則3.指數加權性質:4.線性加權性質:515.時域卷積性質:=×52一些典型信號的Z變換531.2.3.2.6離散系統的轉移函數544.系統為FIR系統則h(n)為無限長，系統為IIR系統555.以上關系是離散時間系統中的基本關系，它們從不同的角度描述了系統的性質，它們彼此之間可以互相轉換。1.2.3.4.56令則2.7離散時間系統的頻率響應系統的頻率響應系統的輸出包含和輸入同頻率的正弦，但受到一復函數的調制。該復函數即系統的頻率響應。頻率響應是系統單位抽樣響應的傅里葉變換，在系統的分析和綜合中起到了重要的作用。頻率響應進一步可分成幅頻響應和相頻響應。系統的特征函數57周期性實部與虛部模與角度，幅頻響應與相頻響應離散時間系統頻率響應性質偶函數奇函數58使分子多項式=0的的Zeros(零點)

使分母多項式=0的的Poles(極點)2.8離散時間系統的極零分析591.穩定性:判別條件1：穩定性:判別條件2：所有極點都在單位圓內。極零分析的應用證明：602.由極零圖估計系統的頻率響應：61例2.8.1由極零分析大致畫出系統的頻率響應：622.9濾波的基本概念目的：去除噪聲，或不需要的成分；原理：信號通過線性系統輸入－輸出的關系。濾波器的截至頻率線性濾波63實現本系統需要一個加法器，個乘法器，個延遲單元。

2.10IIR系統的結構及信號流圖IIR系統的信號流圖能否改造，從而節約延遲單元？可以！64則：及65IIR系統的直接實現形式假設N>M實現本系統需要兩個加法器，個乘法器，個延遲單元。66級聯實現假設N>M，N為偶數當N為奇數時，有（N+1）/2個子系統。67并聯實現683.1連續時間信號的傅立葉變換3.2離散時間信號的傅立葉變換3.3連續時間信號的抽樣3.4離散時間周期信號的傅立葉級數3.5離散時間傅立葉變換DFT3.6用DFT計算線性卷積3.7與DFT有關的幾個問題第3章離散時間信號的傅立葉變換691.傅立葉級數3.1連續信號的傅立葉變換FS70FSFT對應連續周期信號對應連續非周期信號離散連續諧波幅度頻譜密度2.連續非周期信號的傅立葉變換：信號能量有限FT稱信號的頻譜密度函數（簡稱頻譜）3.傅立葉級數與傅立葉變換的區別與聯系71由得諧波幅度除以頻率—頻譜密度的概念72周期信號：可以實現傅里葉級數分解，屬功率信號；非周期信號：可以實現傅里葉變換，屬于能量信號。周期信號能否實現傅里葉變換？在經典數學的意義上是不可實現的，但在引入了奇異函數后可以實現。周期信號FS73因此，時域連續的周期信號的傅里葉變換在頻率域是離散的、非周期的。因此，時域連續的非周期信號的傅里葉變換在頻率域是連續的、非周期的。當為周期信號時，有：當為非周期信號時，有：742.DTFT：可以看作是將在頻域展開為傅立葉級數，傅立葉系數即是。

3.2離散時間信號的傅里葉變換(DTFT)定義1.是的連續周期函數，周期為。3.是在單位圓上取值時的變換：75DTFT的反變換2πδ(m-n)由可知的幅度譜、相位譜及能量譜，從而實現離散信號的頻域分析。76線性則移位則3.奇偶、虛實性質DTFT的性質77如果是實信號，即如果是實偶信號，即，則是的實函數，頻譜為實數，相頻響應恒為0。784.時域卷積定理則：5.頻域卷積定理則：796.時域相關定理互相關：自相關：807.Parseval’s定理：信號時域的總能量等于頻域的總能量：能量譜818.Wiener—Khinchin定理對功率信號x(n)，其自相關函數定義為：定義：為功率信號的功率譜。功率信號的自相關函數和其功率譜是一對傅立葉變換。信號的總功率則為：82例3.2.3:3.2.4：一些典型信號的DTFT線性相位低通833.2.4：一些典型信號的DTFT不絕對可和不平方可和843.3抽樣定理信號抽樣的數學模型：853.3抽樣定理信號抽樣的數學模型：FTDTFT的性質863.3抽樣定理信號抽樣的數學模型：頻譜的周期延拓87周期延拓，無窮迭加迭加后可能產生的影響88或要求：若保證相等則可保留全部信息即：抽樣頻率至少要等于信號最高頻率的兩倍。此即抽樣定理。奈奎斯特抽樣定理，或香農抽樣定理抽樣定理89如何保證?1.做頻譜分析，了解的行為；2.使用抗混疊濾波器，限制的范圍。：奈奎斯特頻率：折疊頻率如果抽樣頻率不滿足要求，將出現頻譜的混疊，將無法恢復原信號。90工程上：使用D/A轉換器；在滿足抽樣定理的情況下，的一個周期即等于，因此，可截取之。理論上：導出如下：信號的重建91其余為零插值公式插值函數權重92如何對作頻譜分析？因為是離散的，故頻譜是周期的；因為是周期的，故頻譜是離散的；

即：

的頻譜應是離散的、且是周期的。但：是功率信號，不能直接作DTFT；3.4離散時間周期信號的傅立葉級數（DFS）周期序列93記離散、周期DFS94即：是周期的，周期是，間隔是。是周期的，周期是，間隔是。各取一個周期，記：DFT95DFT與DTFT及Z變換之關系96DFT的性質1.線性:

2.正交性正交陣973.循環移位98為實序列：4.奇、偶、虛、實對稱性質為復序列：995.Parseval’s定理6.循環卷積線性卷積：都是點序列當和DFT聯系起來時，注意到都是以為周期的周期序列。移位時有移出也有移入。循環卷積定義為：1003.6用DFT計算線性卷積非周期信號能否用DFT來實現線性卷積呢？101補零補零DFTDFT相乘IDFT102一、分辨率分辨率問題是信號處理中的基本問題，包括頻率分辨率和時間分辨率。3.7與DFT有關的幾個問題頻率分辨率定義為：將信號中兩個靠的很近的譜峰區分開的能力。頻率分辨率：一是取決于信號的長度，二是取決于頻譜分析的算法。時間和頻率是描述信號的兩個主要物理量，它們通過傅里葉變換相聯系。103設長度為，則的分辨率主瓣寬度反比于時間長度104對DTFT:

設抽樣間隔為，則主瓣寬度反比于時間長度105用計算機分析和處理信號時，信號總是有限長，其長度即是矩形窗的寬度，要想分辨出處的兩個頻譜，數據長度必須滿足：“物理分辨率”：取決于信號的有效長度。106對DFT:此為相鄰兩點的頻率間隔，也是最大分辨“細胞”。若要分辨出處的兩個譜峰，必須大于。107例：試確定將三個譜峰分開所需要的數據的長度。在本例中，最小的由

有即要想分辨出這三個譜峰，數據的長度至少要大于1000，從DFT的角度看若令則108作業P1493.19109第4章快速傅立葉變換4.1概述4.2時間抽取（DIT）基2FFT算法4.3頻率抽取（DIF）基2FFT算法1104.1概述111

解決耗時的乘法問題是將數字信號處理理論用于實際的關鍵問題。特別是30年前，計算機的速度相當慢。因此，很多學者對解決DFT的快速計算問題產生了極大的興趣。DSP的正式開端！CooleyJW,TukeyJW.AnalgorithmforthemachinecomputationofcomplexFourierseries.MathematicsofComputation,1965,pp297~301FFT的思路：如何充分利用這些關系？1124.2時間抽取基2算法

N點DFTN/2點DFTN/4點DFT

2點DFT

1個2個4個N/2個問題是如何分最有效？可以對時間變量分（DIT)，也可對頻率變量分(DIF）FFT的核心思想是：令：113所需運算量：復數乘法次數復數加法次數注意：因子的位置；輸入序列的順序－－碼位倒置。4114因子的位置012…….M-1000000004100001120100102611001131001100451011015301111067111

1117碼位倒置1154.3頻率抽取基2算法令：1161174各是N/2點的DFT，繼續分解，直到兩點DFT輸入正序，輸出倒序。注意因子的位置118第5章離散時間系統的相位、結構與逆系統5.1離散時間系統的相頻響應5.2FIR系統的線性相位特性5.3具有線性相位系統的FIR系統的零點分布5.4全通系統與最小相位系統5.5譜分解5.6FIR系統的結構1195.1離散時間系統的相頻響應相頻響應如果：，稱其為線性相位。對輸入，有假定：所以：輸出是輸入的簡單移位，移位的大小正比于，因此不會發生失真。幅頻響應1205.2FIR系統的線性相位對FIR系統，如果保證：則該系統具有線性相位。上述對稱有四種情況：第一類FIR系統：偶對稱奇對稱第二類FIR系統：121令：相位增益只要保證濾波器的系數偶對稱，該濾波器必然具有線性相位。1222.為偶數令：則：第二類FIR系統3.為奇數1234.為偶數124所以，的零點也是的零點，反之亦然5.3具有線性相位系統的零點分布令：則：線性相位系統二者相等1255.4全通系統和最小相位系統如果一個因果系統的幅頻響應對所有的頻率都等于1(或一個常數)，即則稱系統為全通系統。最簡單的全通系統舉例全通系統一階全通系統：鏡像對稱126一個因果、穩定的離散系統，其極點必須在單位圓內，但對零點沒有限制，如果：1.所有的零點都在單位圓內：最小相位系統2.所有的零點都在單位圓外：最大相位系統；3.單位圓內、外都有零點：混合相位系統。最小相位系統在具有相同幅頻響應的因果的穩定的濾波器集合中，最小相位濾波器具有最小的相位偏移；最小相位系統的性質：1272.在所有具有相同幅頻響應的離散系統中,最小相位系統的具有最小的延遲；所以，最小相位系統的單位抽樣響應又稱最小延遲序列。最小相位系統的性質：例：以下系統具有相同的幅頻響應，試判斷，哪一個是最小相位系統？最大相位系統？混合相位系統？最小相位系統最大相位系統混合相位系統128第6章無限沖激響應數字濾波器設計6.1濾波器的基本概念6.2模擬低通濾波器的設計6.3模擬高通、帶通及帶阻濾波器的設計6.4用沖激響應不變法設計IIR數字低通濾波器6.5雙線性Z變換法設計IIR數字低通濾波器6.6數字高通、帶通及帶阻濾波器的設計129濾波原理6.1濾波器的基本概念130濾波器的技術要求低通：單位(dB)若幅度在下降到0.707，則若幅度在下降到0.01：歸一化為1131高通：：通帶允許的最大衰減：阻帶內應達到的最小衰減帶通：帶阻：1321.給定所設計的濾波器的技術指標：LP,HPBP,BS

2.設計出一個，使其逼近給定的技術要求。數字濾波器設計的一般步驟:133給定數字濾波器的技術指標得到數字低通、高通、帶通、帶阻濾波器得到模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器轉換成模擬低通濾波器的技術指標設計模擬低通濾波器G(S)轉換成模擬濾波器的技術指標數字IIR濾波器設計的具體步驟：1346.2模擬低通濾波器的設計一、概述將要求的衰減和模擬濾波器的幅平方特性聯系起來。135將按不同的原則簡化，可得到不同形式的濾波器，即不同的表達式：

1.巴特沃思(Butterworth)濾波器2.切比雪夫I型(Chebyshev-I)濾波器1361.將實際頻率歸一化，得歸一化幅平方特性2.求和

由：有：二、Butterworth濾波器的設計137對Butterworth濾波器，通常，所以3.確定1386則：1394.巴特沃思濾波器幅頻響應的特點140例：給定技術指標，設計模擬低通Butterworth濾波器1416.4用沖激響應不變法設計IIRDF給定數字濾波器的技術指標轉換成模擬濾波器的技術指標轉換成模擬低通濾波器的技術指標設計模擬低通濾波器得到模擬高通、帶通、帶阻濾波器得到數字高通、帶通、帶阻濾波