函）判斷零點的個數(shù)問題）根等本專題圍繞高【典型題】第招參變分，造數(shù)例屆三第一次全國大考數(shù)

恰有三個零點的值范圍()A．B）CD）【答案】【解析】當(dāng)點，令

時，

為減函數(shù)，令則問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)

易得的圖象與

，所以只需的圖象有兩個交.求導(dǎo)可得

有兩個零，令

，即

，可解得

；令，即，解得，所以當(dāng)

時，函數(shù)

單調(diào)遞減；當(dāng)

時，函數(shù)

單調(diào)遞增，由此可知當(dāng)

時，函數(shù)

取得最小值，即．同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)

與

的簡圖如圖所示，-1-

根據(jù)圖可得

故選D.第招根據(jù)方做，造數(shù)例2.【東北三省三校（哈爾濱師附中、東北師大附中、遼寧省實驗中)2019屆高第一次模擬】已知函數(shù)

（為自然對數(shù)的底數(shù)

.（1當(dāng)

時，求函數(shù)

的極小值；（2若當(dāng)

時，關(guān)于的程

有且只有一個實數(shù)解，求的取范.【答案（2）【解析】（1當(dāng)令

時，則

，列表如下：

，1單調(diào)遞減所以.

極小值

單調(diào)遞增（2設(shè)

，，-2-

設(shè)，，由

得，

，，

在

單調(diào)遞增，即

在

單調(diào)遞增，

，①當(dāng)

，即

時，

時，，

在

單調(diào)遞增,又

，故當(dāng)

時，關(guān)于的程

有且只有一個實數(shù)解，符合題.②當(dāng)，即所以故，故當(dāng)時，，

時，由（1）可知時，，

，

，又單調(diào)遞減，又，在

內(nèi)，關(guān)于的程

有一個實數(shù)解1.又

時，

，

單調(diào)遞增，且

，令

，,,故

在

單調(diào)遞增，又在

單調(diào)遞增，故

，故，又，零點存在定理可知，，故在又在綜上，

內(nèi)，關(guān)于的程內(nèi)，關(guān)于的程.

有一個實數(shù)解.有一個實數(shù)解1，不合題意.第招求導(dǎo)轉(zhuǎn)，造數(shù)例3.【山東省菏澤市2019屆三下學(xué)期第一次模擬】已知函數(shù).-3-

（1設(shè)，求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間；（2若函數(shù)

在其定義域內(nèi)有兩個零點，求實數(shù)的值范圍【答案）單調(diào)遞增區(qū)間為【解析】（1

，無單調(diào)遞減區(qū)間.（2）函數(shù)

的定義域為，令，令，；令，所以函數(shù)

在區(qū)間

上單調(diào)遞減，在區(qū)間

上單調(diào)遞增所以所以

對任意

恒成立，所以（2一

的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū).的定義域為，所以“函數(shù)即方程

在其定義域內(nèi)有兩個零點”等價于“方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的實數(shù)根

在區(qū)間

內(nèi)有兩個不同的實數(shù)根”故上述問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)

與函數(shù)

的圖像在

上有兩個不同的交點，如圖-4-

若令過原點且與函數(shù)

圖像相切的直線斜率為，由圖得令切點由，得，以又，以，解得于是，以故實數(shù)的值范圍是（法二）

的定義域為，當(dāng)所以

時，在

，，單調(diào)遞增，所以

在

不會有兩個零點，不合題意，當(dāng)

時，令，，在

上，，

在

上單調(diào)遞增，在

上，，

在

上單調(diào)遞減，所以，-5-

又

時，時，

，，要使

有兩個零點，則有即所以所以，實數(shù)的值圍為.第招換元轉(zhuǎn)，造數(shù)例4川高中屆三診】已知

．求

的極值；若

有兩個不同解，求實數(shù)的取值圍．【答案）有極小值，為【解析】

；無極大值）的定義域是，

，令，得：，令，得：，故

在

遞減，在

遞增，故

時，；-6-

故

記，，，可轉(zhuǎn)化成，：，令，，令令故且

在

，解得：，，解得：，遞增，在時，，

遞減，時，故，由，，

的性質(zhì)有：，

和

有兩個不同交點，，，，

各有一解，即

有2個同解，，

和

僅有1個點，，有2個同的解，即取其它值時，綜上，的圍是

有兩個不同解，最多1個，【規(guī)律方法】構(gòu)造函數(shù)的幾種常用的構(gòu)造技巧：1.通過作差構(gòu)造函數(shù)：作差構(gòu)造的函數(shù)，通過研究新函數(shù)的性質(zhì)從而得出結(jié)論．當(dāng)然，適合這個方法解的題目中，構(gòu)造的函數(shù)要易于求導(dǎo)，易于判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)．-7-

2.利用“換元法”構(gòu)造函數(shù)，換的目的是簡化函數(shù)的形式．3.先分離參數(shù)再構(gòu)造函數(shù)，將方變形為=h()構(gòu)函數(shù)x，研究h()的性質(zhì)來確定實數(shù)的取范圍．4.根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù).【提升練】1建屆考關(guān)鍵問題指導(dǎo)適應(yīng)性練習(xí)（)已知函數(shù)，，關(guān)的方程在區(qū)間

內(nèi)有兩個實數(shù)解，則實數(shù)的取范圍()A．B．C．D．【答案】【解析】易知當(dāng)≤0時，方程只有一個，所以>0．令，，令

得，為函數(shù)的極小值點，又關(guān)于的程=

在區(qū)間

內(nèi)有兩個實數(shù)解，所以，得，故選A.2省唐山市2019屆高三下學(xué)期第一次模擬函-8-

，

有且僅有一個零點，

則實數(shù)的為（）A．B．C．D．【答案】【解析】∵函數(shù)，有且只有一個零點，∴方程，，且只有一個實數(shù)根，令g（x，則g′（x）=，

時，g′（x）0，當(dāng)

時，g′）0，∴g）在

上單調(diào)遞增，在

上單調(diào)遞減，當(dāng)x=時g）取得極大值g）=，又g（0g（）=0，∴若方程故選B.

，，且只有一個實數(shù)，則a=3.【東省濟(jì)寧市2019屆高三第一次模擬知當(dāng)唯一實數(shù)解，則所的區(qū)間是()

時于的方

有A．(3，4)

B，5)C，6)

D．(6【答案】【解析】由xlnx+﹣a）x+a，，令f（x）（x′）．令g（x）＝x﹣lnx﹣4則g′（x＝1∴g（x）在（，+∞）上為增函，

0，-9-

∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g）＝2﹣ln6＞0∴存在唯一x∈，6得g（x）＝0∴當(dāng)x∈，x），′）＜0，∈（x，+∞）時，′（x）．則f（x）在（，x）單調(diào)遞，在x，+）上單調(diào)遞增．∴f（x）＝f）．∵﹣4＝0，∴，則∈，6∴a所在的區(qū)間是（5，6故選：4市平區(qū)2019屆三下學(xué)期第一次調(diào)查知數(shù)，

若關(guān)于的程

恰有三個不相等的實數(shù),則的取值范圍是A．B．C．D．【答案】【解析】關(guān)于的程即方程

恰有三個不相等的實數(shù)解，恰有三個不相等的實數(shù)解，即

與

有三個不同的交點.令，當(dāng)當(dāng)且當(dāng)

時，，函數(shù)單調(diào)遞減；時，，數(shù)單調(diào)遞增；時，，-10-

當(dāng)時，當(dāng)時，據(jù)此繪制函數(shù)

，的圖像如圖所示，

，

，結(jié)合函數(shù)圖像可知，滿足題意時的取值范圍是本題選擇C選項.

.5徽省合肥市2019屆三二次檢測】設(shè)函數(shù)零點，則實數(shù)的值范圍是（）A．BC．D．【答案】【解析】

，若函數(shù)

有三個-11-

設(shè)

，則

，在

上遞減，在，且

上遞增，時，，有三個零點等價于

與

的圖象有三個交點，畫出由圖可得，

的圖象，如圖，時，

與

的圖象有三個交點，此時，函數(shù)實數(shù)的值范圍是

有三個零點，，故選【西省南昌市2019屆三一次模擬已知函數(shù)

（為然對數(shù)的底數(shù)，直線（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）是否存在

是曲線，使得

在在

處的切.上有唯一零點？若存在，求出的；若不存在，請說明理由.【答案）【解析】（Ⅰ）

）存在k=0或2.，-12-

由已知，有，，得.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令，

恒成立，所以

在

上單調(diào)遞減，又因為，，所以存在唯一的

，使得

，且當(dāng)

時，，，當(dāng)

時，

，即

.所以

在

上單調(diào)遞增，在

上單調(diào)遞減又因為當(dāng)

時，，，，，所以存在

或，得

在

上有唯一零點.7東青島市2019屆高三月一】已知函數(shù)數(shù)的底數(shù)

，，

為自然對（1當(dāng)

時，證明：函數(shù)

只有一個零點；（2若函數(shù)

存在兩個不同的極值點，，實數(shù)的值范.【答案）詳見解析）.【解析】（1由題知：令

，，，當(dāng)因為

，，以，所以在

在

上單調(diào)遞減上單調(diào)遞增，在

上單調(diào)遞減，-13-

所以

，故

只有一個零.（2由（）知：

不合題意，當(dāng)又因為

時，因為，所以

，；

；，；又因為，因為函數(shù)，，，所以，，所以存在，足，所以此時

，；，；，；存在兩個極值點，0，符合題.當(dāng)

時，因為

，；

，；以；所以

，即

在

上單調(diào)遞減，所以

無極值點，不合題意綜上可得：

.8.【陜西省咸陽市2019年高考擬檢測（】已知函數(shù)

.（1當(dāng)（2若函數(shù)

，求證；有兩個零點，求實數(shù)的值范.【答案】(1)見證明；(2)【解析】（1證明：當(dāng)

時，，-14-

得，知

在

遞減，在

遞增，綜上知，當(dāng)

，時，.（2法1，即，令，，知

在

遞增，在

遞減，注意到，當(dāng)且由函數(shù)

時，；，有個點，

時，，即直線法2：由

與函數(shù)

圖像有兩個交點，得.得，，當(dāng)

時，，

在

上遞減，不滿足題意；當(dāng)

時，，

在

遞減，在

遞增.，的零點個數(shù)為，即

，綜上，若函數(shù)有兩個零點，則.9南懷化市2019屆高三3月第一次模擬】設(shè)函數(shù).-15-

（1若（2當(dāng)

是，

的極大值點，求的值范圍；時，方程（中）有唯一實數(shù)解，求的值【答案）【解析】（1由題意，函數(shù)

（2）的定義域為，則導(dǎo)數(shù)為由，，①若當(dāng)當(dāng)

，由時，時，

，得，此時，此時

.單調(diào)遞增；單調(diào)遞減.所以②若

是，由

的極大值點，得，.因為

是

的極大值點，所以

，解得綜合①②：的值范圍是（2因為方程

有唯一實數(shù)解，所以

有唯一實數(shù)解設(shè)，，令，因為，，以（舍去當(dāng)當(dāng)

時，時，

，，

在在

上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增當(dāng)

時，，

取最小值-16-

則，，所以設(shè)函數(shù)因為當(dāng)

時，

，因為，是增函數(shù)，所以

，所以（*至多有一解因為，以方程*）的解為，，解得10通中屆三質(zhì)量測（)】已知函數(shù).（1討論（2若方程

的單調(diào)性；有兩個實數(shù)根，求實數(shù)的值圍【答案】(1)見解析；(2)【解析】（1由題可得

，當(dāng)

時，

，

在

上單調(diào)遞增；當(dāng)

時，

，

，

在

上單調(diào)遞增；，

，

在

上單調(diào)遞減（2令，，知為，，，，

單調(diào)遞增且一定有大于0的零，不妨設(shè)故若有有兩個零點，需滿足，即令，，以

在

，上單調(diào)遞減-17-

，所以由，以.

的解集為，當(dāng)

時，，有，令，由于，以，，故，以，故，

在

上有唯一零點，另一方面，在

上，當(dāng)

時，由

增長速度大，所以有，綜上，.11東汕頭市2019年通考第一次模擬】已知

．（1討論

的單調(diào)性）

存在3個點，求實數(shù)的值圍．【答案）見解析）【解析）因為，，

或）當(dāng)

時，，在

和

上，，

單調(diào)遞增；在

上，，

單調(diào)遞減，（ii）當(dāng)（iii）當(dāng)

時，，時，，

上，，

單調(diào)遞增，在

和

上，，

單調(diào)遞增；在

上，，

單調(diào)遞減，-18-

（2，所以

有一個零點．使得

有3個零點，即方程

有2個數(shù)根，又方程圖像有兩個交點，令，的單調(diào)性如表：

令即函數(shù)1

與－－＋＋↘↘

極小值↗↗當(dāng)

時，，，

的大致圖像如圖，所以，要使得

有3個零點，則實數(shù)的值范圍為12東淄博市2019屆三3模擬】已知函數(shù)

.（1若（2若

是在

的極大值點，求的；上只有一個零點，求的取范.-19-

【答案）【解析】

（2）(1)

，因為當(dāng)

是時，

的極大值點，所以，

，解得，令

，，解