227歐陽引擎創編227《概率論與數理統計》習題及答案

（2021.01.01習題三1將一硬幣拋擲三次，以表在三次中出現正面的次數，以表示三次中出現正面次數出現反面次數之差的絕對值試寫出Y的合分布律【解】Y的聯合分布律如表：

C3

12

23

13/2

1222盒子里裝有3只球、2只球、2只白球，在其中任取4球，以表取到黑球只數，以表取到紅的只數求XY的聯合分布律【解】Y的聯合分布律如表：

P黑2紅2白=1C2/435

C1C6322C7CC322C7

C33C7C3C47C33C7

C123C47C123C473.二維隨機變量（X）的聯合分布函數為歐陽引擎創編

F（xy=歐陽引擎創編F（xy=

ππxsiny0,0y其他求二維隨機變量（XY）長方形域的概率πππP{0}公式3.2)46【解】圖題說明：也可先求出密度函，再求概率。4.隨機變量（X）的分布密度

πππxy43

內fxy=求：（1數A

)

y0,他（2機變量（，）的分布函數；（3{0，≤【解】）由

f(x)dxy

00

e

xy)

dxdy

A12

得（2由定義，有(3)

P{05.隨機變量（X）的概率密度為fxy=

k(6),2,2y他（1定常數k（2{＜1Y3}歐陽引擎創編

歐陽引擎創編（3{<1.5}（4{+Y【解】）由性質有

故

18（2

P{X3}

f(yxP{

f(xd如圖

f(xxd(3)

x

DP{4}

f(xd如圖b

f(x,y)dx(4)

X

D題6.X和Y是個相互獨立的隨機變量，X在0，0.2上從均勻分布，的度函數為f（y=

y0,

y其他求：（1與Y聯合分布密度；（）{≤}.題圖【解】）因在，0.2上從勻布所X的度函數為而所以

f(x)dxy圖

25e

xdy(2)

y

D7.二維隨機變量（X）的聯合分布函數為歐陽引擎創編

F（xy=0,F（xy=0,

x)(1),0,y0,他求（X）聯分布密度.【解】

(x,))f(x,y)0,

x0,y他8.二維隨機變量（X）的概率密度為fxy=求邊緣概率密度.

4.8(20xy,0,他.【解】

f()f(yX題

題9.二維隨機變量（X）的概率密度為efxy求邊緣概率密度.

0其他【解】

f()X

f(y)dy題10.二隨機變量（X）的概率密度為fxy=（1確定常數c（2邊緣概率密度.

2y,2y0,其【解】）c得

214.

f(,y)dx如D

f(yxy歐陽引擎創編

(2)XYXY歐陽引擎創編(2)XYXY

f()

f(yy11.隨變量（，）的概率密度為fxy=

y,x其求條件概率密度f

（yx，f（｜y.｜｜題11圖【解】

f()X

f(y)dy所以12袋有個號碼，2，4，中任取三個，記這三個號碼中最小的號碼為，最大的號碼為（1與Y聯合概率分布；（2Y是否互獨立？【解】）XY的合布如下表X

Y

P{}iP}i

15

2511C3105

3522C3105C25

610110(2)因

P{{

61{Y3},101010010故X與Y獨立13.設二維隨機變量（，）聯分律Y0.4

X

50.30歐陽引擎創編

iY歐陽引擎創編iY0.80.120.03（1求關于關于的緣分布；（2Y是相互獨立？【解】）X和的邊緣分布如下表

0.40.8P{X}i

20.2

5

8

{}0.80.2(2)因

{P{Y0.4}0.20.80.15Y0.4),故X與Y獨立14.X和是個互立隨變量，（，1上服從均勻分布，Y概率密度為f（y=

e/

,

0,其他（1求Y的合概率密度；（2設有的次方程為a2+2，求a實根的概率【解】）因

0f(x)X0,其他

yeyf(y)0,他.故

f(,yY立f)f()

/

x0,其(2)方a

題14圖有實根的條件是故

X

2從而方程有實根的概率為歐陽引擎創編

Zii歐陽引擎創編Zii

15.X和Y分表兩個不同子器件的壽命（以小時計），并設Y相獨立，且服從同一分布，其概率密度1000,x1000,x20,其他.fx=求ZX/Y的率密度.XF(){}{}Y【解】圖Z的分函數(z)(1)當z≤0時Z（20<<1，（這時當x=1000y題15圖

1000z

）(圖a)(3)當z≥1時（這時當=103

時，x=10z（如圖）即

1,zf(z),0他2f(z)其故

16.設種型號的電子管的壽命（以小時計）近似地服

N（，20

2分布.機地選取4只，求其中有一只壽命小于180的概【解】這只壽命為X(i，~（160，2，歐陽引擎創編

1n12n12n1n11n12n12n1n12nn

17.X是互獨立的隨機變量，其布律分別為P{=}=pk，k，1，，…，P{=r}=qr，r，2，….證明隨機變量=+Y的布律為P{=i}=

ik

p)(i

，i，，2….【證明】XY所可能值都是非負整數，所以于是18.X是互立的隨機變量，它們都服從參數為np的二項分布.明Z=X+Y服參數為2np的項分布.【證明】法一：+Y可取值為0，，…，n方法二：設μμ,…,;′,，′均服從兩點分布（參數為p，則Xμ++…+，μ′+μ′+μ′,Xμ+…++μμ′,所以，X+Y服參數為（n,)二項分布19.隨變量（，）的分布律為

5X0.010.030.070.090.020.040.060.080.030.050.050.050.020.04(1)求{｜，{=3=0}；歐陽引擎創編

歐陽引擎創編（2=maxX，）的分布律；（3U（XY的分布律；（4WX+Y分布

【解】）

P{Y

P{2}P{Y（2

P{}{max()}{Y}{X}所以分布律為VX)0P0

(3)

PU},Y}于是U=min(,)P

類上過，0P0

雷的圓形屏幕半徑為，目出現點（，Y在幕服從均勻分布.（1{＞0＞X}（2）=max{XY}求{M0}.題20【解】（，）的聯合概率密度為（1

P{Y|YX}

P{Y}P{YX}(2)

P{M{max(X)0}{max(X)21.平面區域D由線y=1/及線y=0x=1,x=e2

所圍成，二維隨機變量（X，）區D上從均勻分布，求歐陽引擎創編

123i12j1111111,3歐陽引擎創編123i12j1111111,3

（X）關于的緣概率密度在x處值為多少？題21【解】域D的面積為

0

e1

1

dxlnx

e1

（X,Y的合密度函數為（X）于X的緣密度函數為所以

1f(2)4隨機變量X和Y互獨立，下表列出了二維隨機變量（X）合布及關于X和的緣分布律中的部分數值試將其余數值填表中的空白X

y

P{=}=

ixxP{y}=p

j

1/81/6

1/8

【解】因

2P{y}PP{xY}jjiji

故

P{Yy}{xYy}{X,},11從而

111P{xY}624而Y獨，故

{Xx}P{}P{x,Yy}ijii

從而即：

11P{x}P{xY}6111P{x}/244又

P{x}{Xx}{Xxy}{X,Y},11111{Y},即48歐陽引擎創編

2222歐陽引擎創編222213P{x,Y}從而

112

.

同理

1Py}P{xY}2又

j

P{y}j

故

1P{Y}6同理從而故

3P{x}.4

y1

y

2

y3

{X}ii

124

18

112

14x

2

14

34{Y}pj

j

16

12

13

23.某車起點站上客數從參數為λ(λ>0)松分布，每位乘客在中途下車的概為p（0<<1，且中途車與否相互獨立，以Y示在中途下車的人數，求：1在車時有個客的條件下，中途有人車的率；（2二維隨機變量（，）的概率分布【解】(1)

P{m|}

p(1)

,0,

{Y}{}P{mX}(2)24.隨變量獨，其中X概率分布為X

0.7

，而Y的率度為f)求隨機變量UX+Y的率度g(u歐陽引擎創編

歐陽引擎創編

【解】Fy是的布函數，則由全概率式，知U=的分布函數為由于獨立，可見由此，得U的率度為設隨機變量X與Y相獨立，且均服從區間[0,3]上的均勻分布，求{max{X,Y}1}.解因隨變服[03]上均勻分布，于是有因為XY相獨立，所以推得

P{max{,}

19二隨機變量（，Y的率分布為

X

01

0.20.10.20.1其

ab,c

為常數，且

X

的數學期望EX

P{≤0|X，X+Y求：（1）abc值；（2）的率布（3）{Z}.解由概率分布的性質知，a+b+c+0.6=1

即a+b+c0.4.由

(X)

，可得

歐陽引擎創編

歐陽引擎創編

再由

PY