平面勢流了解性學習第一頁，共二十五頁，2022年，8月28日二、無旋流動的速度勢（函數）上式是使表達式uxdx+uydy+uzdz能成為某一函數(x,y,z)的全微分的必要和充分條件第二頁，共二十五頁，2022年，8月28日函數(x,y,z)稱為速度勢（函數），即無旋流的速度矢量是有勢的。因此無旋運動（無渦流）又稱為有勢流動。上述關系式代入不可壓縮流體連續性微分方程凡滿足拉普拉斯方程的函數是調和函數，所以速度勢是調和函數特征1特征2第三頁，共二十五頁，2022年，8月28日平面無旋流動或平面勢流∵平面流動的旋轉角速度只有分量ωz

∴ωz為零第四頁，共二十五頁，2022年，8月28日速度勢的極坐標表達式第五頁，共二十五頁，2022年，8月28日三、流函數平面流動流線方程存在條件：不可壓縮流體平面流動ψ(x，y)。第六頁，共二十五頁，2022年，8月28日流函數的極坐標表達式第七頁，共二十五頁，2022年，8月28日ωz為零特征1平面無旋流的流函數也滿足拉普拉斯方程平面勢流中，速度勢函數和流函數均為調和函數特征2流函數的等值線是流線特征3任意兩條流線間的流函數差值(ψ1–ψ2)，等于通過兩條流線間的單寬流量q。第八頁，共二十五頁，2022年，8月28日四、流網及其特征流網（FlowNet）：不可壓縮流體平面無旋流動中，流線簇與等勢線簇構成的正交網格。1、流網的特征特征1等勢線與等流函數線處處正交等勢線簇：(x,y)=C等流線簇：(x,y)=C證明：第九頁，共二十五頁，2022年，8月28日特征2等勢線簇的勢函數值沿流線方向增加，而流線簇的流函數值則沿流線方向逆時針旋轉90?后所指的方向增加。——儒科夫斯基法則。

特征3流網中每一網格的相鄰邊長維持一定的比例若取δ

=

δψ，則δs=δn，此時流網網格為曲邊正方形第十頁，共二十五頁，2022年，8月28日2、流網的繪制1）固體邊界本身就是流線之一，等勢線與邊界正交。2）自由液面必是流線。3）根據流動的大致方向，按照事先選定的網格比例繪制出流線簇和等勢線簇。3、流網的應用廣泛用于理想不可壓縮流體平面無旋流動中的速度場、壓強場求解第十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日五、幾種簡單的平面勢流(1)等速均勻流若等速均勻流流速平行于x軸ψ=u

y

=u

x

若等速均勻流流速平行于y軸ψ=-

u

x

=u

y流場中各點的速度矢量皆相互平行，且大小相等的流動

第十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日(2)源流和匯流流體從水平的無限平面內的一點O（即源點）流出，均勻地沿徑向直線流向四周的流動稱為源流

q為由源點沿z軸方向上，單位厚度所流出的流量，稱為源流強度

第十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日流體從四周沿徑向均勻流入一點（匯點）的流動稱為匯流

流入匯點的單位厚度流量稱為匯流強度-q。

第十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日(3)環流（或勢渦流）各流體質點皆繞某一固定點O做勻速圓周運動，且速度與圓周半徑成反比的流動稱為環流

如圖環流強度Г

，是不隨圓周半徑而變的常數，具有方向性。Г＞0時，為逆時針旋轉；Г

＜0時，為順時針旋轉。

環流是圓周運動，但卻不是有旋運動。第十五頁，共二十五頁，2022年，8月28日(4)直角內的流動設無旋運動的速度勢為若設

=

a

(x2-

y2)則有ψ

=

2axy

此流動的流線是雙曲線族。當ψ＞0時，x、y的符號相同，流線在I、III象限內；ψ＜0時，x、y的符號相反，流線在II、IV象限內。當ψ

=

0時，x=0或y=0，說明流線是坐標軸，稱為零流線。原點處速度為零，稱為駐點。若把零流線x、y軸的正值部分用固體壁面來代替，就得到直角內的流動；若把x軸用固體壁面代替，則表示垂直流向固體壁面的流動。

第十六頁，共二十五頁，2022年，8月28日六、勢流疊加勢流疊加原理：流速勢可以進行疊加。當幾個勢流疊加后，其流動仍為勢流。

=

1+

2

同理可證，疊加后的流函數等于原流動流函數的代數和意義：在工程實際中，常利用勢流疊加原理解決一些較為復雜的勢流問題第十七頁，共二十五頁，2022年，8月28日(1)等速均勻流與源流的疊加rOA(c)XY將與x軸正方向一致的等速均勻流和位于坐標原點的源流疊加等速均勻流與源流的疊加結果就相當于等速均勻來流繞半無限體的流動。這種方法的推廣，是采用很多不同強度的源流，沿x軸排列，使它和勻速直線流疊加，形成和實際物體輪廓線完全一致或較為吻合的邊界流線。這樣無需進行費用巨大的實驗，就能準確估計物體上游端（如橋墩、閘墩的前半部）的速度和壓強分布。

第十八頁，共二十五頁，2022年，8月28日(2)源環流與匯環流將強度為q的源流和強度為Г的環流都放置在坐標原點上，使流體既作圓周運動，又作徑向運動，稱為源環流。源環流水在離心式水泵壓水室（蝸殼）葉輪內的流動、空氣在風機內的流動，均可看作源環流。水在水力渦輪機中的流動為匯環流。第十九頁，共二十五頁，2022年，8月28日(3)等強度源流和匯流的疊加——偶極流強度皆為q的源流和匯流，其源點和匯點分別置于(-a，0)和(a，0)兩點上。在上述流動中，如果源點和匯點相互接近，即2a

→

0時（2aq=常數），所得到的就是偶極流。

第二十頁，共二十五頁，2022年，8月28日實際上，偶極流本身并無太大意義，但它與某些基本勢流疊加，就可以得到有重大實際意義的流動的解。如偶極流與等速均勻流疊加可得到無環量圓柱繞流，偶極流與等速均勻流和勢渦流的疊加可得到有環量的圓柱繞流等。第二十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日[例]90°角域流的速度勢和流函數已知:90°角域流的速度分布式為：u=kx,v=-ky（k為常數）。

求：（1）判斷該流場是否存在速度勢，若存在請確定其形式并畫等勢線圖；（2）判斷該流場是否存在流函數。若存在請確定其形式并畫流線圖；

解：（1）先計算速度旋度

上式中C為常數。速度勢函數為說明流場是無旋的，存在速度勢φ(x,y)，由（）式

(a)等勢線方程為x2-y2=常數，在xy平面上是分別以第一、三象限角平分線和第二、四象限角平分線為漸近線的雙曲線族，如圖中的虛線所示。第二十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日（2）再計算速度散度

說明該流場是不可壓縮平面流動，存在流函數Ψ(x,y)，由（）式

上式中C為常數，流函數為流線方程為xy=常數，在xy平面上是分別以x,y軸為漸近線的雙曲線族，如圖中的實線所示。x,y軸也是流線，稱其為零流線。流線族與等勢線族正交。(b)第二十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日[例]蘭金半體繞流：均流+點源已知:位于原點的強度為Q（Q＞0）的點源與沿x方向速度為U的均流疊加成一平面流場。求：（1）流函數與速度勢函數；（2）速度分布式；（3）流線方程；（4）畫出零流線及部分流線圖。解：（1）流函數與速度勢函數的極坐標形式分別為（2）速度分布式為（3）流線方程為常數C取不同值代表不同的流線，其中零流線的一部分為該流場繞流物體的輪廓線。(a)(d)(c)(b)(e)第二十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日通過駐點A（-b,0）的右半部分零流線由A點的流函數值決定

（