第六章含耦合電感電路的計算第六章含耦合電感電路的計算6.1耦合電感6.3空心變壓器6.2含有耦合電感電路的計算6.4理想變壓器

線圈2中沒有電流通過，但由線圈1的電流在線圈2中感應電壓，此種現象為互感現象。同樣，在線圈2中有交流電流通過，在線圈1種也會產生感應電壓。在工作時，多個線圈之間有耦合作用。

其中：N1和N2為線圈匝數，為磁通,ψ為磁通鏈。11i1?

→φ11→ψ11(ψ11=N1φ11)?

→u11(自感電壓）φ21→

ψ21(ψ21=N2φ21)?

→u21(互感電壓）i221u12u11e1i1u21自感現象互感現象

1、互感現象磁鏈

是線圈中電流i的函數：

電感元件的磁鏈與電流i成正比:

=Li

=N=f(i)理想情況下，可用線性電感L作為線圈的電路模型。u,i

取關聯參考方向根據電磁感應定律與楞次定律，電感線圈中的電壓電流關系為：其中：N為線圈匝數，為磁通iueN2、耦合線圈的電流電壓關系VCR（1）單個線圈的VCR（復習）+–u11+–u21i11121N1N2當線圈1中通入電流i1時，在線圈1中產生磁通(magnetic

flux)，同時，有部分磁通穿過臨近線圈2。當i1為時變電流時，磁通也將隨時間變化，從而在線圈兩端產生感應電壓u21。當i1、u11、u21方向與

符合右手定則時，根據電磁感應定律和楞次定律：(2)

耦合線圈的電流電壓關系VCR當線圈周圍無鐵磁物質(空心線圈)時，有L1：線圈1的自感系數；M21：線圈1對線圈2的互感系數。(self-inductancecoefficient)(mutualinductancecoefficient)單位：Hu11：自感電壓；

u21：互感電壓。同理，當線圈2中通電流i2時會產生磁通22，12。i2為時變時，線圈2和線圈1兩端分別產生感應電壓u22，u12。耦合線圈的電流電壓關系VCR互感磁鏈

自感磁鏈

+–u12+–u22i21222N1N2可以證明：M12=M21=M。耦合線圈的電流電壓關系VCR理想耦合線圈的伏安關系上式體現了線圈間的耦合作用，每個線圈的端電壓是自感電壓與互感電壓的疊加。

互感的性質①從能量角度可以證明，對于線性電感M12=M21=M②互感系數M只與兩個線圈的幾何尺寸、匝數、相互位置和周圍的介質磁導率有關，如其他條件不變時，有M

N1N2（L

N2）當兩個線圈同時通以電流時，每個線圈兩端的電壓均包含自感電壓和互感電壓：3、耦合電感的同名端具有互感的線圈兩端的電壓包含自感電壓和互感電壓。表達式的符號與參考方向和線圈繞向有關。對自感電壓，當u,i取關聯參考方向，i與

符合右手螺旋定則，其表達式為上式說明，對于自感電壓由于電壓電流為同一線圈上的，只要參考方向確定了，其數學描述便可容易地寫出，可不用考慮線圈繞向。對線性電感，用u,i描述其特性，當u,i取關聯方向時，符號為正；當u,i為非關聯方向時，符號為負。對互感電壓，因產生該電壓的電流在另一線圈上，因此，要確定其符號，還必須知道兩個線圈的繞向。這在電路分析中顯得很不方便。引入同名端可以解決這個問題。同名端：當兩個電流分別從兩個線圈的對應端子流入，其所產生的磁場相互加強時，則這兩個對應端子稱為同名端。1和2、1和3’為同名端，1’和2’、1’和3也為同名端**+–u11+–u21i1110N1N2+–u31N3si2i311’2’3’23

同名端的確定不僅與線圈的繞向有關，而且還與線圈的相對位置有關。

圖(a)兩個線圈繞向不同，相對位置不同，則同名端為1和2’。圖(b)兩個線圈繞向相同，但相對位置不同，則同名端為1和2。確定同名端的方法：當已知線圈的繞向和相對位置判斷同名端要注意：

1、電流流入端

2、磁場加強該端為同名端。i11'22'**(a)i11'22'**(b)耦合電感的同名端11'22'3'3**例6-1

實際中，線圈制好后，很難看出其繞向，用上述的方法不能判斷出同名端，但是同名端是與感應電壓和施感電流有關的。由上述分析可以看出：

感應電壓與施感電流的方向對同名端是一致的，換句話講，電流方向（參考方向）由一個線圈同名端處流入，則在另一線圈的線圈同名端處產生的感應電壓的極性（或參考極性）必然為“+”極性。

在電路分析中，可以去掉線圈的繞向和相對位置，畫出耦合電感的模型。

u11u22i21222N1N211’22’u12u1u21u2i1**i1**L1L2+_u1+_u2i2M11’22’耦合電感(線圈繞向相同)的VCRi1**L1L2+_u1+_u2i2M11’22’u11u22i21222N1N211’22’u12u1u21u2i1**結論：表示兩個線圈相互作用，不再考慮實際繞向和相對位置，只畫出同名端及參考方向即可。耦合電感(線圈繞向相反)的VCRi1**L1L2+_u1+_u2i2M**jL1jL2+_jM+_在正弦交流電路中，其相量形式的方程為**jL1jL2+_+_++__互感的作用相當于受控源（CCVS）耦合電感的相量模型（1）施感電流均由同名端流入，電壓在同名端為“+”，耦合電感的VCR時域形式：**L1L2+_u1+_u2i2Mi1(2)電流從非同名端流入，耦合電感的VCR在正弦交流電路中，其相量形式的方程為**jL1jL2+_jM+_**jL1jL2+_+_++__**jL1jL2+_jM+_**jL1jL2+_jM+_**jL1jL2+_jM+_例6-2試寫出圖示電路伏安關系的相量形式小結：耦合電感的電壓有兩部分，一部分是自感電壓，另一部分為互感電壓；自感電壓的正負，當施感電流與自感電壓為關聯方向時，自感電壓取“+”號，否則去“-”號；互感電壓的正負，當施感電流與互感電壓對同名端一致時，互感電壓取“+”號，否則取“-”號；換句話講，當施感電流由一個線圈的同名端流入時，在另一線圈的同名端的電壓為高電位，即為“+”號，否則取“-”號；耦合電感的VCR方程正負號的確定：相量方程為2***M13M12M2313例6-3試寫出，相量方程。4、

同名端的實驗測定如圖電路，當閉合開關S時，i增加，當兩組線圈裝在黑盒里，只引出四個端線組，要確定其同名端，就可以利用上面的結論來加以判斷。當斷開S時，如何判定？+–i11'22'**RSViR2R1L1L2①若電壓表正偏，則，端鈕2與1為同名端

②若電壓表反偏，則，端鈕2’與1為同名端k表示兩個線圈磁耦合的緊密程度。全耦合:

F11=F21，F22=F12可以證明，k1。k的大小與兩個線圈的結構、相互位置及周圍磁介質有關。

5、耦合系數

(couplingcoefficient)k：注意一個線圈可以不止和一個線圈有磁耦合關系；有多個線圈，相互兩兩之間都有磁耦合，每對耦合線圈的同名端必須用不同的符號來標記。(2)互感電壓的符號有兩重含義。同名端；參考方向；(3)互感現象的利與弊：

利用——變壓器：信號、功率傳遞；避免——干擾；克服：合理布置線圈相互位置減少互感作用。(1)順串（同名端和異名端連接在一起）i**u2MR1u1uL1L2R2iRuL1、互感線圈的串聯6.2含有耦合電感電路的計算(2)反串（同名端和同名端連接在一起）互感不大于兩個自感的算術平均值。i**u2MR1u1uL1L2R2iRuL耦合電感的串聯*順接一次，反接一次，就可以測出互感：*全耦合當L1=L2時,M=L4L順接0反接L=互感的測量方法**+–R1R2jL1+–+–jL2jM相量圖：(a)順串(b)反串在正弦激勵下耦合電感串聯的相量形式和相量圖(1)同名端在同側解得2、互感線圈的并聯M**L1L2+–等效電感為故互感小于兩元件自感的幾何平均值。(1)同名端在異側解得2、互感線圈的并聯M**L1L2+–等效電感為一端口等效阻抗為3、互感消去法**jL1123jL2jMj(L1–M)123j

(L2–M)jM(a)同名端接在一起**jL1123jL2jMj(L1+M)123j

(L2+M)-jM(b)異名端接在一起去耦等效后，電路即可作為一般無互感電路來分析計算。引申i1**L1L2+_u1+_u2i2ML1–Mi1i2i1+i2L2–MML1–Mi1i2i1+i2L2–MMi1**L1L2+_u1+_u2i2ML1+Mi1i2i1+i2L2+M-ML1+Mi1i2i1+i2L2+M-M4、含有耦合電感電路的計算支路法、回路法：方程較易列寫，因為互感電壓可以直接計入KVL方程中。節點法：方程列寫較繁，因為與有互感支路所連接的節點電壓可能是幾個支路電流的多元函數，不能以節點電壓簡單地寫出有互感的支路電流的表達式。

關鍵：正確考慮互感電壓作用，要注意表達式中的正負號，不要漏項。（2）去耦等效法：通過等效變換，去掉互感的作用，變成無互感的電路進行計算。（1）方程分析法：解：同名端如圖所示。

R2R1+L1CL2M標出互感線圈的同名端(2)求:(a)兩個線圈中的電流；(b)電源發出的有功功率和無功功率;(c)電路的入端阻抗。例6-4電路如下圖所示.計算題代入參數，得(b)電源發出的功率P=39.11W，Q=66.26varR2R1+C**L1L2+_M+_(c)入端阻抗

方法二：先作出去耦等效電路。R2R1+L1CL2MR2R1+L1MCML2M例6-5已知：

=1000rad/s,R=5,L1=L2=10mH

L1=L2=10mH,C=500F,M=2mH。求入端阻抗Z。ZRL1L2CM解ZRL1ML2MCM去耦等效。已知：

=100rad/s,R=296,求IL分析：用去耦法，求移去R支路后剩下一端口的戴維寧等效。2HR+_100∠0oV4H5H401)開路電壓2H2H3Hj200j200例6-6j2002)求等效電阻(加流求壓法)3)接入R支路ab+_RZeqj20040+–j200j300+_戴維寧等效電路例6-8自耦調壓器已知ωL1=7.5，ωL2=12.5，L1L2R1R2**M思考==0解利用回路法代入數據解得ωM=6，R1=3，R2=5，求、、，并畫相量圖-51.50150.30ZL=R+jXZ11=R1+jL1，Z22=(R2+R)+j(L2+X)，ZM=j

M原邊（初級線圈）副邊（次級線圈）i11'22'**usZL空心**jL2jM+–R1R2ZLjL16.3空心變壓器引入電阻引入電抗副邊對原邊的引入阻抗

Zref1，也稱為反映阻抗（或折合阻抗）引入阻抗（反映阻抗）原邊電壓和電流關系為由此方程得原邊等效電路Zin+–Z11原邊輸入阻抗

Zin引入阻抗

“-”反映了副邊的感性阻抗反映到原邊為一個容性阻抗由②得可得副邊等效電路+–Z22引入阻抗原邊對副邊的反映阻抗引入阻抗（反映阻抗）引入電阻引入電抗+–Z11原邊等效電路+–Z22副邊等效電路當電流均指向同名端，ZM=jωM；否則，ZM=-jωM由上述分析可知：副邊中的電流是由原邊中的電流感應電壓產生的；引入阻抗與同名端無關；副邊電流與同名端有關，可由等效電路求原、副邊電流，這也是空心變壓器的又一種分析方法。這說明了副邊回路對初級回路的影響可以用引入阻抗來考慮。從物理意義講，雖然原副邊沒有電的聯系，但由于互感作用使閉合的副邊產生電流，反過來這個電流又影響原邊電流電壓。從能量角度來說:不論變壓器的繞法如何，恒為正,這表示電路電阻吸收功率，它是靠原邊供給的。電源發出有功=電阻吸收有功=I12(R1+Rl)I12R1消耗在原邊；I12Rl

消耗在副邊，由互感傳輸。L1=3.6H,L2=0.06H,M=0.465H,R1=20W,R2=0.08W,RL=42W,w=314rad/s,法一：回路法（通用）。法二：用反映阻抗（引入阻抗）的概念。例6-10+–Z11原邊等效電路**jL2jM+–R1R2RLjL1L1=3.6H,L2=0.06H,M=0.465H,R1=20W,R2=0.08W,RL=42W,w=314rad/s,例6-10+–Z11原邊等效電路法二：用反映阻抗（引入阻抗）的概念。⑵求方法②：利用戴維寧定理（次級等效電路）+–RLZeq電路理論基礎方法①：6.4理想變壓器原邊副邊高導磁率的鐵心i111'22'**i2u2u1特點：1.無損耗（鐵損、銅損均為零）2.全耦合（k=1)3.L1、

L2、

M為無窮大，且

L2/L1為常數。滿足以上條件的鐵心變壓器為理想變壓器。應用：1.接入RLC可以準確地表達實際的變壓器；2.變電壓、變電流；3.變阻抗，在電子技術中作為阻抗變換器。滿足以上條件的鐵心變壓器為理想變壓器1、定義方程原、副邊的磁通相等φ1=φ2。原、副邊的磁通鏈分別為Ψ1=N1φ1、Ψ2=N2φ2。i2u1i1u2**n:1i111'22'**i2u2u1φ2N1φ1n為變比(transformationratio)(1)理想變壓器的VCRi2u1i1u2**n:1(1)特性方程為線性方程，n為常數與時間無關，靜態元件；

2、理想變壓器的性質：正弦相量模型為**+–+–n:1**+–+–n:1

(2)變電壓說明電壓比的正負號取決于兩電壓參考方向的極性與同名端的位置，若兩電壓參考方向的正極性都設在同名端，則取“+”，反之，取“-”。與兩線圈中電流參考方向如何假設無關。**+–+–n:1**+–+–n:1思考

(3)變電流說明電流比的正負號取決于兩電流參考方向的流向與同名端的位置，若兩電流分別從同名端同時流入（或流出）時，電流比取“-”；一個從同名端流入，一個流出時，則取“+”。與兩線圈中電壓參考方向如何假設無關。**+–+–n:1**+–+–n:1

(4)功率性質：

理想變壓器的特性方程為代數關系，因此無記憶作用。

由此可以看出，理想變壓器既不儲能，也不耗能，在電路中只起傳遞信號和能量的作用。i2u1i1u2**n:1

(5)阻抗變換性質

+–n2Zn:1

(n>1)，降壓變壓器，則阻抗變換后數值增大1

:n(n>1)，升壓變壓器，則阻抗變換后數值減小即：從匝數少的一邊所得的輸入阻抗是減小的

從匝數多的一邊所得的輸入阻抗是增大的**+–