第二章完全信息的靜態(tài)博弈第一節(jié)博弈模型的分析方法

一、上策均衡（1）上策：在一個博弈中，不論其他博弈方選擇什么策略，某一博弈方的最優(yōu)策略是唯一的，稱這種策略為該博弈方的一個上策。（2）上策均衡：如果在一個博弈中的某個策略組合中的所有策略都是各個博弈方的各自的上策，稱這個策略組合為該博弈的一個“上策均衡”。上策均衡的分析（1）囚徒B坦白不坦白例1：囚徒困境囚徒A坦白不坦白-5，-50，-8-8，0-1，-1上策均衡的分析（2）大豬踩不踩例2：智豬博弈小豬踩不踩1.5，3.5-0.5，65，0.50，0結論：由于不是所有的博弈都存在著這種上策均衡，因此，上策均衡的分析方法存在一定的局限性。二、嚴格下策反復消去法

（1）如果在一個博弈中，不管其它博弈方的策略如何變化，一個博弈方的某種策略給他帶來的得益，總是比另一種策略給他帶來的得益要小，那么稱前一種策略為相對于后一種策略的一個“嚴格下策”。（2）經“反復消去”博弈方的嚴格下策以后，每個博弈方可選策略都縮小為一個策略。因此，每個博弈方都選擇各自剩下的一個策略所組成的策略組合，是這個博弈的均衡解。嚴格下策反復消去法的分析（1）囚徒B坦白不坦白例1：囚徒困境囚徒A坦白不坦白-5，-50，-8-8，0-1，-1嚴格下策反復消去法的分析（2）大豬踩不踩例2：智豬博弈小豬踩不踩1.5，3.5-0.5，65，0.50，0嚴格下策反復消去法的分析（3）博弈方2左中右例2：下圖中的得益矩陣表示兩博弈方的一個靜態(tài)博弈，試使用嚴格下策反復消去法進行分析。博弈方1上下1，01，30，10，40，22，0嚴格下策反復消去法的總結（1）先找出某一個博弈方的嚴格下策（假定存在），然后把這個嚴格下策去掉，繼續(xù)這個過程，一直到只剩下一個唯一的策略組合為止。這個唯一剩下的策略組合就是這個博弈的均衡解。如果剩下的策略組合不唯一，那么就不能用嚴格下策反復消去法去解。（2）嚴格下策反復消去法也不能解決所有的博弈分析問題。嚴格下策反復消去法的思考問題：（1）“嚴格下策”和“上策”之間有沒有對應關系，什么情況下有對應關系？（2）使用嚴格下策反復消去法所得到的均衡結果，是否與消去的嚴格下策的次序有關。嚴格下策反復消去法的練習博弈方2ULR例2：下圖中的得益矩陣表示兩博弈方的一個靜態(tài)博弈，試使用嚴格下策反復消去法進行分析。博弈方1UD1，01，20，10，30，12，0三、劃線法

其中心思想是根據(jù)博弈方策略之間的相對優(yōu)劣關系，導出博弈分析的“劃線法”。例：下圖中的得益矩陣表示兩博弈方的一個靜態(tài)博弈，試使用劃線法進行分析。博弈方2左中右上下博弈方11，01，30，10，40，22，0劃線法的練習（1）囚徒B坦白不坦白例2：囚徒困境囚徒A坦白不坦白-5，-50，-8-8，0-1，-1劃線法的聯(lián)系（2）博弈方2LCR例3：下圖中的得益矩陣表示兩博弈方的一個靜態(tài)博弈，試使用劃線法進行分析；另可否用嚴格反復消去法分析。博弈方1UMD0，44，05，34，00，45，33，53，56，6三種分析方法的總結在一個博弈中，對于一個穩(wěn)定性的策略組合，不管是否唯一，都有一個共同的特性，就是每一個博弈方的策略都是針對其他博弈方策略的最佳對策，各博弈方都不愿意改變策略的策略組合。第二節(jié)納什均衡一、納什均衡在博弈G=（S1，S2，…，Sn；u1，u2，…，un）中，如果某個策略組合（s1*，s2*，…，sn*）中的任一博弈方i的策略si*，都是對其余博弈方策略的最佳對策，也即：Vi，有下面式子成立：ui（s1*，s2*，…，si*，…，sn*）≥ui（s1*，s2*，…，si，…，sn*）其中，Vsi∈Si。納什均衡的練習（1）囚徒B坦白不坦白例1：囚徒困境囚徒A坦白不坦白-5，-50，-8-8，0-1，-1納什均衡的練習（2）大豬踩不踩例2：智豬博弈小豬踩不踩1.5，3.5-0.5，65，0.50，0納什均衡的練習（3）猜硬幣者正反例2：猜硬幣的博弈蓋硬幣者正反-1，11，-11，-1-1，1二、有關納什均衡的幾個結論

（1）納什均衡的一致預測性：如果所有的博弈方都預測某一個特定的納什均衡所組成的策略組合會出現(xiàn)，那么，所有的博弈方都不會選擇與預測結果不一致的策略。（2）每一個上策均衡都是納什均衡，但反過來納什均衡不一定是上策均衡。二、有關納什均衡的幾個結論

（3）在一個博弈中，如果使用嚴格下策反復消去法消去了除某一策略組合以外的所有策略組合，那么該策略組合一定是該博弈的唯一的納什均衡。（4）通過劃線法所求出的最佳策略組合一定是納什均衡。有關納什均衡的例子（1）丈夫時裝足球例1：夫妻之爭妻子時裝足球2，10，00，01，2有關納什均衡的例子（2）B進退例2：斗雞博弈A進退-1，-12，11，20，0三、有關納什均衡的應用舉例

（1）古諾（Cournot，1838）的寡頭模型設一市場有廠商1和廠商2生產同樣的產品（產品是同質的）。如果廠商1的產量為q1，廠商2的產量為q2，則市場上的總產量為Q=q1+q2。設上述總產量全部售出的價格為P=P（Q）=8-Q。再設兩廠商的生產都無固定成本，且每增加一單位產量的邊際成本相等，c1=c2=2，最后強調的是兩廠商同時決定他們各自的產量，也就是他們在決策時都不知道對方的產量。試確定上述博弈模型達到納什均衡時兩個廠商的各自的產量。反應函數(shù)的概念

稱R1（q2）：q1=R1（q2）=1/2（6-q2）為廠商1對廠商2產量的“反應函數(shù)”，它意味著對廠商2的每一個產量q2，有廠商1的最佳對策的q1，q1是廠商2產量的一個連續(xù)函數(shù)。同理，稱R2（q1）：q2=R2（q1）=1/2（6-q1）為廠商2對廠商1產量的“反應函數(shù)”。它意味著對廠商1的每一個產量q1，有廠商2的最佳對策的q2。古諾模型的深入分析廠商2不突破（1.5)突破（2）例：高低產量決策廠商1不突破突破4.5，4.53.75，55，3.754，4（2）伯特蘭德寡頭模型

已知：當廠商1和廠商2的價格分別為P1和P2時，他們各自的需求函數(shù)為：q1=a1–b1P1+d1P2

q2=a2–b2P2+d2P1假設兩廠商無固定成本，其邊際生產成本分別為c1和c2。試用反應函數(shù)的方法來確定納什均衡時的價格。（3）公共資源問題

設某個村莊有三個農戶，該村有一片大家都可以自由放牧羊群的公共草地。由于這片草地的面積有限，因此只能讓不超過某一數(shù)量的羊吃飽，如果在這片草地上的放牧的羊只的數(shù)量超過這個數(shù)量，則每只羊都無法吃飽，從而每只羊的產出（毛，皮和肉的總價值）就會減少，甚至有些羊就會餓死。假設這些農戶在夏天才到公共草地放羊，而每年的春天就要決定養(yǎng)羊的數(shù)量。（3）公共資源問題

再假設所有的農戶都清楚這片公共草地上最多能養(yǎng)多少只羊，以及羊只總數(shù)不同水平下每只羊的不同產出。在這個博弈中，博弈方是3個農戶，他們各自的策略空間就是他們的養(yǎng)羊數(shù)目qi（i=1，2，3）的取值范圍，此時在公共草地上放牧羊只的總數(shù)Q=q1+q2+q3，根據(jù)上面的介紹，每只羊的產出V應是羊只的總數(shù)Q的減函數(shù)V=V（q1+q2+q3）=100-（q1+q2+q3）。假設購買和照料每只羊的成本對每個農戶都是相同的不變常數(shù)c=4。試用反應函數(shù)的方法來確定納什均衡時的三個農戶的養(yǎng)羊數(shù)量。第三節(jié)混合策略和混合策略的納什均衡

一、混合策略

在一個博弈中，博弈方在每一個給定的信息情況下只選擇一種特定的策略，稱之為純策略。在一個博弈中，博弈方以一定的概率分布在可選的策略中隨機選擇策略的決策方式，稱之為混合策略。混合策略在數(shù)學上的一般定義定義：在博弈G=（S1，S2，…，Sn；u1，u2，…，un）中，設博弈方i的策略空間為Si=（si1，si2，…，sik），則博弈方i以概率分布pi=（pi1，pi2，…，pik）隨機在其k個可選策略中選擇的“策略”，稱為一個“混合策略”，其中，0≤pij≤1（j=1，2，…，k），且pi1+pi2+…+pik=1。

二、混合策略的納什均衡純策略空間上的納什均衡的定義：如果一個策略組合滿足各博弈方的策略相互是對其他博弈方策略的最佳對策時，就是一個納什均衡當策略擴展到混合策略時，上述納什均衡的概念仍成立。此時，策略含義既可能是純策略，也可能是混合策略混合策略納什均衡的推導猜硬幣者正反例：猜硬幣的博弈蓋硬幣者正反-1，11，-11，-1-1，1博弈方選擇策略的原則（1）自己的策略選擇不能預先被另一方知道或猜測到；（2）在博弈的多次重復中，博弈方一定要避免自己的選擇帶有規(guī)律性；（3）每一個博弈方選擇每種策略的概率一定要使對方無機可乘；使博弈中各博弈方選擇不同策略的平均得益（期望得益）相等；混合策略的納什均衡例子（1）博弈方2CD例1：博弈方1AB2，35，23，11，5例2：齊威王與田忌賽馬

田忌上上中中下下中下上下上中下中下上中上上中下齊上下中威中上下王中下上下上中下中上3,-3

1,-1

1,-1

1,-1

-1,1

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1,-1

3,-3

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1,-1

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3,-31,-1

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3,-31,-1

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1,-1

-1,1

3,-31,-1

1,-11,-1-1,1

1,-11,-13,-3例3：小偷和守衛(wèi)的博弈

一小偷欲偷竊有一守衛(wèi)者看守的倉庫，如果小偷偷竊時守衛(wèi)在睡覺，則小偷就能得手，偷得價值為V的贓物；如果小偷偷竊時守衛(wèi)沒有睡覺，則小偷就被抓住，小偷產生負的效用-P。守衛(wèi)睡覺而未遭偷竊有S的正效用，因睡覺被竊，守衛(wèi)要有負的效用-D。而如果小偷不偷，則他既無所得也所失；而守衛(wèi)不睡，他也沒有得失。試確定上述博弈是否有純策略的納什均衡，是否唯一，否則求出其混合策略的納什均衡，并分析所得到的結果。分析：守衛(wèi)睡不睡（1）博弈的矩陣形式小偷偷不偷V，-D-P，00，S0，0（2）小偷與守衛(wèi)的混合策略的博弈，揭示了一種“激勵的悖論”。例4：夫妻之爭丈夫時裝足球妻子時裝足球2，10，00，01，2例5：市場機會博弈

博弈問題：兩廠商同時發(fā)現(xiàn)一個市場機會，但這個市場的容量并不大，如果只有一個廠商進入該市場，能掙到100個單位的利潤，但如果兩廠商同時進入該市場，則他們不僅掙不到錢而且要虧損50個單位。如果在這兩個廠商之間沒有溝通和協(xié)商解決的有效辦法，試確定上述博弈是否有純策略的納什均衡，是否唯一，否則求出其混合策略的納什均衡，并分析所得到的結果。分析：廠商2進不進博弈的矩陣形式廠商1進不進-50，-50100，00，1000，0例6：市民責任博弈李四旁觀報警張三旁觀報警0，010，77，107，7第四節(jié)多重納什均衡分析

一、納什定理（NASH1950）

在一個有n個博弈方的博弈G=（S1，S2，…，Sn；u1，u2，…，un）中，如果n是有限的，且Si都是有限集（i=1，2，…，n），則該博弈至少存在一個納什均衡，但可能包含混合策略。一、帕累托上策均衡在一個多重納什均衡的博弈中，如果這些納什均衡有明顯的優(yōu)劣關系，并且所有的博弈方都偏好其中的某一個納什均衡，也就是說，這個納什均衡給所有博弈方帶來的得益，大于其他納什均衡給所有博弈方帶來的得益，稱該納什均衡為帕累托上策均衡。帕累托上策均衡舉例國家2戰(zhàn)爭和平國家1戰(zhàn)爭和平-5，-58，-10-10，810，10“戰(zhàn)爭與和平”從國家和人民總體的長遠利益出發(fā)進行客觀分析，戰(zhàn)爭通常對任何一方都是有害無益的。選擇戰(zhàn)爭比選擇和平有利的唯一情況是對方已經選擇了戰(zhàn)爭，因為這時候不奮起反擊就會任人宰割。二、“廉價磋商”在一個多重納什均衡博弈中，博弈方為保證某一個納什均衡出現(xiàn)，可以在博弈開始之前進行不花成本或低成本的“廉價磋商”，這樣的磋商即使不能達成協(xié)議，但可以使某一個納什均衡實際上出現(xiàn)。廉價磋商舉例博弈方BLR博弈方AUD9，90，00，01，1三、風險上策均衡在多重納什均衡的博弈中，各個博弈方從風險的角度上，通常比較傾向于接受預測風險較小的策略組合博弈方BLR博弈方AUD9，90，88，07，7風險上策均衡舉例獵鹿博弈：兩個人同時發(fā)現(xiàn)1頭鹿和兩只兔子，如果兩人合力抓鹿，則可以把這頭價值10個單位的鹿抓住，當然兔子是抓不到了；如果兩人都去抓兔子，則各可以抓到一只價值3單位的兔子，鹿就會跑掉；但如果一個人選擇抓兔子而另一個人選擇抓鹿，那么選擇抓兔子的能抓到一只兔子，選擇抓鹿的人什么也抓不到。由于兩人的決策