應用隨機過程

2/5/20231第二章隨機過程的概念隨機過程的定義隨機過程的分布與數字特征隨機過程的分類2.1隨機過程的定義

隨機過程的研究對象是隨時間演變的隨機現象，它是從多維隨機變量向一族(無限多個)隨機變量的推廣。給定一隨機試驗E，其樣本空間S={e}，將樣本空間中的每一元作如下對應，便得到一系列結果：

一維、二維或一般的多維隨機變量的研究是概率論的研究內容，而隨機序列、隨機過程則是隨機過程學科的研究內容。從前面的描述中看到，它的每一樣本點所對應的，是一個數列或是一個關于t的函數。定義2.1.1設隨機試驗E，其樣本空間S={e}，若對每個參數都有定義在S上的隨機變量，則稱一簇隨機變量為隨機過程。簡記為由定義可看出，隨機過程是兩個變量e和t的函數。理解：對于固定的樣本點eo，就是定義在T上的一個函數，稱之為的一條樣本路徑或一個樣本函數；對于固定的時刻to，是樣本空間S上的一個隨機變量；對于固定的t=t0，e=e0時X(e0,t0)=x0，則稱該過程在t0時刻處于狀態x0，簡記X(t0)=x0。X(t,e)的全體取值的集合稱為該隨機過程的狀態集或狀態空間。

例1：拋擲一枚硬幣的試驗，樣本空間是S={H,T}，現定義：其中P{H}=P{T}=1/2。則是一隨機過程。圖形如下：1234例２考慮是正常數，這是一個隨機過程。稱之為隨機相位正弦波。例5：考慮拋擲一顆骰子的試驗：2.2隨機過程的分布與數字特征若，滿足條件則稱為隨機過程的一維概率分布（分布律），且易知例1：拋擲一枚硬幣的試驗，定義一隨機過程：若存在非負可積函數，使得滿足則稱為隨機過程的一維概率密度。若存在非負可積函數，使得滿足則稱為隨機過程的n維概率密度。書本例2.2.1—2.2.3Kolmogorov研究了隨機過程X(t)與其有限維分布分布族的關系，證明了關于有限維分布函數族的重要性的定理：定理2.2.1(存在定理)為滿足下述性質的有限維分布族：（１）對稱性：對于的任一排列有設（２）相容性：對于任意自然數m<n，隨機過程的m維分布函數與n維分布函數之間有關系：則F必為某個隨機過程的有限維分布族。例3設隨機過程X(t)=A+Bt，其中A和B是相互獨立的標準正態分布的隨機變量。試求X(t)的n維分布函數。解：利用正態分布的可加性，知X(t)服從一維正態分布。故服從n維正態分布。則的概率密度為其中協方差矩陣下面介紹一種利用特征函數求概率密度的方法。例4若正弦波隨機過程X(t)取如下形式：其中A，B是常數，隨機變量，即求在t時刻隨機過程X(t)的概率密度。解：根據特征函數的定義，有（1）此外，又有（2）比較(1)和(2)，得(二)隨機過程的數字特征例5設A,B是隨機變量，求X(t)=At+B的均值函數和自相關函數；進一步，若A,B獨立，且A~N(0,1)，B~N(1,2)問X(t)的均值函數和自相關函數。當A~N(0,1)，B~N(0,2)時解：例6設g(t)是以t為周期的矩形波函數,X為服從兩點分布的隨機變量,其分布律為P{X=-1}=P{X=1}=1/2,令隨機過程Y(t)=g(t)X,求0LLtg(t)矩形波解：所以隨機過程的特征函數當X(t)為連續形隨機過程，其密度為當X(t)為離散形隨機過程，其分布律為n維隨機過程的特征函數若隨機過程的n維概率密度為則1-1(三)二維隨機過程的分布函數和數字特征(四)復隨機過程的分布函數和數字特征X(t),Y(t)是兩個實隨機過程—復隨機過程對于任意給定的即的聯合分布函數為Z(t)的分布函數。Z(t)的數字特征如下：—Z(t)的均方值函數—方差函數—自相關函數—自協方差函數Z(t)的數字特征可由X(t)、Y(t)的數字特征表示：見書本例2.2.102.3隨機過程的分類一、按參數集與狀態集分類1.離散參數集，離散狀態集隨機過程２.離散參數集，連續狀態集隨機過程３.連續參數集，離散狀態集隨機過程４.連續參數集，連續狀態集隨機過程注：稱狀態空間離散的隨機過程為鏈，參數空間離散的隨機過程為隨機（時間）序列。二、按概率結構分類例:隨機過程在下列兩種情況下是否是二階矩過程。（1）是常數（2）具有概率密度解：所以是二階矩過程。（1）（2）所以不是二階矩過程。正態過程的判別方法：是正態過程見書本例2.3.6定義：設為一隨機過程。n個隨機變量相互獨立，則稱為獨立過程。性質：定義：設為一隨機過程。稱為在處的增量。若增量相互獨立，則稱為獨立增量過程（可加過程）。直觀地說：在互不重疊的區間上，獨立增量過程狀態的增量相互獨立。特別地例：設為一獨立過程，則相互獨立，，則易知則相互獨立即為獨立增量過程。令獨立增量過程則為獨立增量過程。證明：為獨立增量過程。所以有以下性質：設增量的分布函數為，則對于有證明：而相互獨立由X(t)獨立增量過程保證則獨立r.v.和的分布函數為其各自分布的卷積定義：設為一隨機過程，若對于存在，且對于任意的滿足：則稱為不相關增量過程若則稱為正