山西省忻州市育才中學2023年高三數學文上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若集合有且只有一個元素，則實數的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D∵集合有且只有一個元素，∴，∴實數的取值范圍為.故選：D2.計算可采用如圖所示的算法，則圖中①處應填的語句是（

）A． B． C． D．參考答案：B試題分析：本題關鍵是的理解，，因此應該選B．考點：程序框圖．3.為圓內異于圓心的一點，則直線與該圓的位置關系為（

）A．相離

B．相交

C．相切

D．相切或相離參考答案：【知識點】點到直線的距離H2A解析：點M在圓內，故，圓心到直線的距離為：，即，故直線與圓相離．所以選A．【思路點撥】利用點到直線的距離公式求出，判斷與的大小關系即可.4.如圖，網格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（

）

參考答案：B5.函數f（x）是周期為4的偶函數，當x∈[0，2]時，f（x）=x﹣1，則不等式xf（x）＞0在[﹣1，3]上的解集為（）A．（1，3） B．（﹣1，1） C．（﹣1，0）∪（1，3） D．（﹣1，0）∪（0，1）參考答案：C【考點】3Q：函數的周期性．【分析】根據函數的周期性和奇偶性，求出當x∈[﹣1，3]上的解析式，結合圖象將不等式轉化為或，利用數形結合即可得到結論．【解答】解：若x∈[﹣2，0]，則﹣x∈[0，2]，∵當x∈[0，2]時，f（x）=x﹣1，∴f（﹣x）=﹣x﹣1，∵f（x）是偶函數，∴f（﹣x）=﹣x﹣1=f（x），即當x∈[﹣2，0]時，f（x）=﹣x﹣1，即在一個周期[﹣2，2]內，f（x）=，若x∈[2，4]，則x﹣4∈[﹣2，0]，即f（x）=f（x﹣4）=﹣（x﹣4）﹣1=﹣x+3，x∈[2，4]，作出函數f（x）在[﹣2，4]上的圖象如圖：則當x∈[﹣1，3]時，不等式xf（x）＞0等價為或，即1＜x＜3或﹣1＜x＜0，即（﹣1，0）∪（1，3），故選：C6.對一個容量為N的總體抽取容量n的樣本，當選取簡單隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣三種不同方法抽樣時，總體中每個個體被抽中的概率分別為，則

A.

B.

C.

D.參考答案：D略7.（09年宜昌一中10月月考文）設函數，對任意的實數﹑，有，且當時，，則在區間上

（

）

A．有最大值

B．有最小值

C．有最大值

D．有最小值參考答案：A8.已知雙曲線的左、右焦點分別是，正三角形的一邊與雙曲線左支交于點，且，則雙曲線的離心率的值是A．

B．

C．

D．參考答案：B略9.下列命題推斷錯誤的是（）A．命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題為真命題B．若p且q為假命題，則p，q均為假命題C．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要條件D．命題p：存在x0∈R，使得，則非p：任意x∈R，都有參考答案：B【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】利用原命題與逆否命題的真假關系判斷A的正誤；復合命題的真假判斷B的正誤；充要條件判斷C的正誤；命題的否定判斷D的正誤；【解答】解：對于A，命題“若x=y，則sinx=siny”是真命題，它的逆否命題為真命題，所以A正確；對于B，若p且q為假命題，則p，q均為假命題，只要一個命題是假命題，命題就是假命題，所以B不正確；對于C，“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要條件，滿足充要條件，正確；對于D，命題p：存在x0∈R，使得，則非p：任意x∈R，都有．滿足命題的否定形式，正確；故選：B．10.若是兩條異面直線外的任意一點，則（

）

A．過點有且僅有一條直線與都平行

B．過點有且僅有一條直線與都垂直

C．過點有且僅有一條直線與都相交

D．過點有且僅有一條直線與都異面參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線l：y=kx+4（k≠±4）交雙曲線C：x2﹣=1于A，B兩點，交x軸于Q，交y軸于P，若，且，則k2=

．參考答案：4【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】設及A、B兩點的坐標，求得P，Q的坐標，利用，找到λ1和λ2與A、B兩點的坐標和直線l的斜率的關系，再利用A、B兩點是直線和雙曲線的交點以及λ1+λ2=﹣，聯立直線方程和雙曲線的方程，運用韋達定理和代入法，化簡整理，即可求出直線l的k2．【解答】解：l的方程：y=kx+4（k≠±4，且k≠0），設A（x1，y1），B（x2，y2），則Q（﹣，0），P（0，4），∵，∴（﹣，﹣4）=λ1（x1+，y1）=λ2（x2+，y2），∴λ1==﹣，同理λ2=﹣，所以λ1+λ2=﹣﹣=﹣．即2k2x1x2+5k（x1+x2）+8=0．（*）又y=kx+4以及x2﹣=1，消去y得（3﹣k2）x2﹣8kx﹣19=0．當3﹣k2=0時，則直線l與雙曲線得漸近線平行，不合題意，3﹣k2≠0．由韋達定理有：x1+x2=，x1x2=﹣，代入（*）式得，2k2（﹣）+5k（）+8=0，解得k2=4，故答案為：4．12.已知圓截直線所得的弦的長度為為，則參考答案：2或6【考點】直線與圓的位置關系圓的標準方程與一般方程【試題解析】由題知：圓心（a，0），半徑為2．

圓心到直線的距離為

又因為圓截直線所得的弦的長度為為，

所以或13.小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內投擲一點，若此點到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書．則小波周末不在家看書的概率為______．參考答案：略14.關于函數（a為常數，且a>0）對于下列命題：①函數f(x)的最小值為-1；

②函數f(x)在每一點處都連續；③函數f(x)在R上存在反函數； ④函數f(x)在x=0處可導；⑤對任意的實數x1<0,x2<0且x1<x2，恒有.其中正確命題的序號是_____________.參考答案：答案：①②⑤15.設函數（為常數，且）的部分圖象如圖所示，則的值是________.參考答案：【分析】先由周期求出ω，再由五點法作圖求出φ的值．【詳解】根據函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ為常數，且A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象，可得?=+，∴ω=2．再根據五點法作圖可得2×（﹣）+φ=0，∴φ=，故答案為：．【點睛】本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由周期求出ω，由五點法求出φ的值，屬于基礎題．16.已知函數，當時，函數的最大值為_______.參考答案：【分析】對函數進行求導，判斷單調性，求出函數的最大值。【詳解】因為，所以函數是上的增函數，故當時，函數的最大值為。【點睛】本題考查了利用導數判斷函數的單調性，求函數的最大值問題。17.已知，是虛數單位，，．若是純虛數，則

，的最小值是

．參考答案：－1,2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖所示，在直角梯形中，是的中點，，，，．梯形（及其內部）繞所在的直線旋轉一周，形成一個幾何體．（Ⅰ）求該幾何體的體積；（Ⅱ）設直角梯形繞底邊所在的直線旋轉角（）至.①當時，求二面角的正切值大小；②是否存在，使得若存在，求角的值，若不存在，請說明理由．參考答案：（1）；

（2）①取BC，DE的中點分別為F，G，旋轉后有

，，

是所求二面角的平面角，求得②連，可證，中，

若，則，從而

解得，矛盾，故不存在.略19.已知橢圓W：（a＞b＞0）的上下頂點分別為A，B，且點B（0，﹣1）．F1，F2分別為橢圓W的左、右焦點，且∠F1BF2=120°．（Ⅰ）求橢圓W的標準方程；（Ⅱ）點M是橢圓上異于A，B的任意一點，過點M作MN⊥y軸于N，E為線段MN的中點．直線AE與直線y=﹣1交于點C，G為線段BC的中點，O為坐標原點．求∠OEG的大小．參考答案：解：（Ⅰ）依題意，得b=1．又∠F1BF2=120°，在Rt△BF1O中，∠F1BO=60°，則a=2．∴橢圓W的標準方程為．（Ⅱ）設M（x0，y0），x0≠0，則N（0，y0），E（，y0）．由點M在橢圓W上，則．即．又A（0，1），則直線AE的方程為．令y=﹣1，得C．又B（0，﹣1），G為線段BC的中點，則G．∴，．∵=1﹣y0﹣1+y0=0，∴．則∠OEG=90°．20.（本小題滿分12分）

已知函數．（1）若函數在（，1）上單調遞減，在（1，＋∞）上單調遞增，求實數a的值；（2）是否存在正整數a，使得在（，）上既不是單調遞增函數也不是單調遞減函數？若存在，試求出a的值，若不存在，請說明理由．參考答案：解（1）∵在（，1）上單調遞減，在（1，＋∞）上單調遞增，∴f′（x）＝3x2＋2ax－2，

……………2分f′（1）＝0，∴a＝－．………………6分（2）令f′（x）＝3x2＋2ax－2＝0．15分∵a是正整數，∴a＝2．…………………16分21.已知點點依次滿足,.（1）求點的軌跡；（2）過點作直線與以為焦點的橢圓交于兩點，線段的中點到軸的距離為，且直線與點的軌跡相切，求該橢圓的方程．參考答案：解：（1）設，，則，，由，得即代入得故點的軌跡是以原點為圓心，1為半徑的圓.（2）根據題意知，直線的斜率存在，設直線的方程為①由題意設橢圓方程為②由直線與圓相切得，解得將①代入②得，設點的坐標為，點的坐標為，由根與系數的關系得又線段的中點到軸的距離為，所以即解得則橢圓方程為

略22.已知橢圓的離心率，過焦點且垂直于x軸的直線被橢圓截得的線段長為3．（1）求橢圓的方程；（2）動直線與橢圓交于A,B兩點，在平面上是否