空間曲面和曲線的概念

旋轉面、柱面和錐面

旋轉面

柱面

錐面

本節討論幾種特殊曲面的方程.這些曲面的參數方程容易得到,目的是建立它們的一般方程.

建立幾何圖形的一般方程,先要找出圖形上點的幾何特征,然后把它轉化為坐標所要滿足的條件即可.

討論中所采用的坐標系視是否涉及度量而定.具體地講,旋轉面必須在直角坐標系中討論,

而

柱面和錐面可以在仿射坐標系中討論.旋轉面、柱面和錐面

旋轉面

定義與幾何特征定義

由空間的一條曲線

繞某一直線l旋轉而得到的曲面稱為旋轉面.l

稱為它的軸線,

為它的母線.

由母線上的每一點旋轉而得的圓稱為緯圓,它是以l為軸的圓,但如果此點是母線與軸線的交點時,就退化為一點.

例如,地球的表面是一個旋轉面,連結南北極的直線是軸線,任何一條經線都可作為母線,其緯圓是地理學中的緯線或退化為北極和南極.

又如,以一個圓為母線,一條與它共面且相離的直線為軸線的旋轉面是環面.

旋轉面

球面是旋轉面,每條直徑所在的直線都可作為軸線.

平面也可看作旋轉面,它是一條直線繞與它垂直的軸線旋轉的結果,并且任何一條法線都可作為軸線.

旋轉面注:

除了球面和平面等特殊情形,一般的旋轉面的軸線是唯一的,但是母線則很多,旋轉面上每一條和每個緯圓都相交的曲線都可作為母線.特別地,以軸線為界的半平面與旋轉面的交線是母線,把它們稱為旋轉面的經線或子午線.下面建立以l為軸,為母線的旋轉面S

的方程.先分析S上點的幾何特征.設直線l過點M0,平行于向量u

.

旋轉面l

上存在一點M,使得它的緯圓經過M,即SMMM0①

MM與l垂直②

M

與M到l的距離相等點M在S上

M繞軸線旋轉而得的圓和有交點.M,MMu0=0,|M0M|=|M0M|.而M與M到l的距離相等|M0M|=|M0M|.于是

MS

旋轉面方程

求直線繞直線旋轉一周所得旋轉曲面的方程。例解下面特殊的旋轉曲面曲線CCy

zo繞z軸曲線CxCy

zo繞z軸.曲線

C旋轉一周得旋轉曲面

SCSMNzPy

zo繞z軸.f(y1,z1)=0M(x,y,z).xS曲線C旋轉一周得旋轉曲面

SxCSMNzP.繞z軸..f(y1,z1)=0M(x,y,z)f(y1,z1)=0f(y1,z1)=0.y

zoS建立旋轉曲面的方程：如圖將代入得方程方程

結論（規律）：

當坐標面上的曲線Γ繞此坐標面上的一個坐標軸旋轉，求此旋轉曲面的方程，只需將Γ在此坐標面里的方程改變即得，改變的方法是：保留與旋轉軸同名的坐標，而以其他兩個坐標的平方和的平方根代替方程中的另一坐標。旋轉橢球面xyzxyzx0y2

旋轉雙葉雙曲面繞x

軸一周x0zy.繞x

軸一周2旋轉雙葉雙曲面x0zy.2

旋轉雙葉雙曲面.繞x

軸一周axyo3

旋轉單葉雙曲面上題雙曲線繞y

軸一周axyoz.上題雙曲線繞y

軸一周3

旋轉單葉雙曲面a.xyoz..3

旋轉單葉雙曲面上題雙曲線繞y

軸一周4

旋轉錐面兩條相交直線繞x

軸一周x

yo.兩條相交直線繞x

軸一周x

yoz4

旋轉錐面x

yoz.兩條相交直線繞x

軸一周得旋轉錐面.4

旋轉錐面yoz5

旋轉拋物面拋物線繞z

軸一周yoxz.拋物線繞z

軸一周5

旋轉拋物面y.oxz生活中見過這個曲面嗎？.5

旋轉拋物面拋物線繞z

軸一周得旋轉拋物面6環面yxorR繞y軸旋轉所成曲面5環面z繞y軸旋轉所成曲面yxo.5環面z繞y軸旋轉所成曲面環面方程.生活中見過這個曲面嗎？yxo..

以直線為母線的旋轉面母線和軸線共面時圓柱面

(母線和軸線平行)圓錐面

(母線和軸線相交而不垂直)平面

(母線和軸線正交)下面討論母線和軸線異面時的情形,假定直母線與軸線不垂直.旋轉面

取直角坐標系,使得z軸為軸線,原點在母線l與軸線的公垂線上,x

軸就是公垂線,并且l在其正向.此時l

在平面x=d

上(d

為l與z軸的距離).設其一般方程為其中k0(否則l與z軸垂直).l

z

O

x

y

旋轉面求旋轉面的方程為:于是旋轉面的方程為即這是一個以z軸為軸線的旋轉單葉雙曲面.的點M

的坐標為對任意一點M(x,y,z),l上滿足MM

垂直于z軸

旋轉面反過來,一般的一個旋轉單葉雙曲面

是由直線或繞z軸旋轉得到的旋轉面.注:

旋轉單葉雙曲面是由許多直線構成的,這種直線稱為它的直母線,每一條直母線都是由l1

或l2

旋轉一個角度得到的,因此有兩組直母線.旋轉面

由直線繞與它平行的軸線旋轉所得的旋轉面稱為圓柱面.母線與軸線的距離稱為它的半徑.注:(1)圓柱面由軸線和半徑所決定,是到軸線的距離等于半徑的點的軌跡.(2)這里定義的圓柱面是向兩側無限伸展的,不同于中學的有限圓柱體的側面.圓柱面如果軸線經過點M0,平行于向量u,半徑為r,則點M在圓柱面上

即|M0Mu|=r|u|.

(2.10)上述稱為圓柱面的向量式方程.如果已知軸線過點M0,平行于向量u,并且M1

在圓柱面上,則(2.11)

代入(2.10),得|M0Mu|=|M0M1

u|.

圓柱面例

已知圓柱面的軸線的方程點M1(1,2,1)

在圓柱面上,求圓柱面方程.解:平行于軸線的向量

u

=(2,1,0)(2,0,1)=(1,2,2).軸線上一點M0(0,1,3).

根據(2.11)得(2y+2z+4)2+(2x

z

3)2+(2x

+y

1)2

=65.整理得8x2

+5y2

+5z2

4xy+4xz+8yz+16x+14y+22z39=0.圓柱面例經過曲線的圓柱面有幾個?寫出它們的方程.解:易見圓柱面的軸線過橢圓中心M0(0,0,0).設其軸線平行于向量

u

=

(l,m,n),先確定u的坐標.M1(0,1,0),M2(2,0,0),易求得橢圓上三點因此它們在圓柱面上,從而|M0M1

u|=|M0M2

u|=|M0M3

u|.

圓柱面解得代入坐標得到于是可取或,

圓柱面即當時,根據(2.11)得當時,根據(2.11)得即

圓柱面練習:

在空間直角坐標系中,球面S

的半徑為2,球心坐標為(0,1,1).求S的平行于向量u(1,1,1)的外切圓柱面的方程.解:由題意知平行于軸線的向量

u

=

(1,1,1).軸線上一點可取為球心

(0,1,1).

圓柱面的半徑即為球面半徑2.于是根據(2.10)得(y

z

2)2+(x+

z+

1)2+(x

y

+1)2

=12.整理得x2

+

y2

+

z2

xy

xz

yz3y+3z3=0.

圓柱面定義

由一族互相平行的直線構成的曲面稱為柱面.這些直線為它的直母線.柱面上的一條曲線如果和每一條直母線都相交,就稱它為柱面的一條準線.例如:圓柱面是柱面,它的直母線平行于軸線.平面是柱面,其上每條直線都是直母線.

柱面

定義與幾何特征母線準線注:(1)一般柱面的直母線方向確定,稱為柱面的方向,可用非零向量u

規定,稱柱面平行于u.(2)柱面由柱面的方向和它的一條準線確定.既可以看成準線沿著柱面的方向平行移動的軌跡,也可看成直母線沿著準線平行移動的軌跡.

若柱面S平行于向量u,有一條準線

,則點M在

S上M在某一條母線上.柱面設在一個仿射坐標系中,柱面方向為u(k,m,n),

準線的方程為則點M(x,y,z)S

存在實數t,使得從其中一式解出t

代入另一式,即得S一般方程.(2.14)

方程的建立

柱面常用的情形是為平面曲線,并設F(x,y,z)=0

是平面的一般方程Ax+By+Cz+D=0,

則由A(x+tk)+B(y+tm)

+C(z+tn)+D=0,

解得代入G(x+tk,y+tm,z+tn)=0,得到S的一般方程

柱面例

在一個仿射坐標系中,柱面平行于向量u(1,1,1),一條準線方程為求柱面的方程.

柱面解:從的第一式得代入第二式:整理得柱面的方程為5x2

+5y2

+2z2

8xy

2xz

2yz

+20x+20y

40z

16=0.

柱面若給出準線的參數方程:同理可得出柱面的參數方程:a

b,<t<+.

例如以z

軸為軸線,r為半徑的圓柱面的參數方程:0

<2,<t<+.

柱面例

在一個直角坐標系中,柱面平行于向量u(1,1,1),一條準線方程為求柱面的參數方程,再化成一般方程.解:準線方程可化為這是平面z=2

上的一個圓,故有參數方程

柱面0

<2.

從而柱面的參數方程為:0

<2,<t<+.

消去參數,t得柱面的一般方程為:(x

+

z

2)

2+(y

z

+2)2=1.

柱面練習:

已知柱面準線的參數方程為:母線方向為(1,2,1),求柱面的參數方程.解:

柱面的參數方程為:

柱面則柱面的方程為(1)

準線在某個坐標面上.譬如柱面平行于u(k,m,n),

準線在xy

平面上,方程為

特殊情形

柱面練習:在一個仿射坐標系中,柱面平行于向量u(1,

1,1),一條準線方程為求柱面的一般方程.解:準線方程可化為因此柱面的一般方程為:(x

z)2+(y

+z)2=3.

柱面(2)如果柱面平行于某個坐標軸,譬如z軸,假設柱面和xy面的交線為則此時柱面的方程就是f(x,y)=0.事實上,有定理:

若一個柱面的母線平行于z

軸

(或x

軸,或y

軸),則它的方程中不含z(或x,或y);反之,一個三元方程若不含z(或x,或y),則它一定表示一個母線平行于z

軸

(或x

軸,或y

軸)的柱面.

柱面證明:()設一個柱面的母線平行于z

軸,則這個柱面的每條母線必與xy面相交,從而其交線

可以作為準線,設的方程為

點M

在此柱面上

過M且平行于u

(0,0,1)

的直線與相交.因此,有柱面

因為參數t

可以取任意實數值,于是得到這個柱面的方程為f(x,y)=0.()任給一個不含z的三元方程g(x,y)=0.考慮以曲線:

為準線,以z

軸為方向的柱面,

由上面的討論可知,

這個柱面的方程為g(x,y)=0.因此g(x,y)=0表示一個母線平行于z

軸的柱面.

母線平行于x

軸,y

軸的情形可類似討論.

柱面例如,方程表示母線平行于z

軸的柱面,

因它與xy面的交線是一個橢圓,故這個柱面稱為橢圓柱面.類似地,方程分別表示母線平行于z

軸的雙曲柱面和拋物柱面.

柱面

橢圓柱面xyzO雙曲柱面拋物柱面平面拋物柱面方程：平面方程：

曲線的投影柱面(在直角坐標中)定義:

以空間曲線為準線,母線平行于z

軸

(或x

軸,或y

軸)的柱面稱為曲線的對于坐標面xOy

(或yOz

,或xOz)的投影柱面.

設準線

的方程為消去z

(或x,y),所得方程H1(x,y)=0(或H2(y,z)=0,H3(x,z)=0),即為投影柱面方程,而投影柱面與對應坐標面的交線稱為在這坐標面上的投影.

柱面例2求空間曲線:

對于三坐標面的投影柱面和投影曲線方程.解:把z=x+1

代入第一個方程,整理得對于xOy的投影柱面和投影曲線方程:投影柱面:

x2+y2

x1=0,投影曲線:

柱面對于xOz的投影柱面和投影曲線方程就是:投影柱面:

x

z+1=0,投影曲線:把x=z

1

代入第一個方程,整理得對于yOz的投影柱面和投影曲線方程:投影柱面:

y2+z23z+1=0,投影曲線:

柱面

由直線繞與它相交而不垂直的軸線旋轉所得的旋轉面稱為圓錐面.母線與軸線的交點稱為錐頂,夾角稱為半頂角.注:(1)圓錐面由軸線、錐頂和半頂角所決定.(2)這里定義的圓錐面是無限伸展的,并且分成連接在錐頂處的兩支,不同于中學的有限圓錐體的側面.

圓錐面

假設錐頂為

M0,半頂角為

,則圓錐面由M0

和所有使得M0M

與軸線的夾角等于的點M構成.它的向量式方程為|M0M

u|=|M0M||u|cos

.(2.12)

若已知圓錐面上一點M1,則代入(2.12),得方程(2.13)|M0M

u||M0M1|=|M0M1u||M0M|.

旋轉面例2.16

已知圓錐面軸線在I和VII卦限中,并且三條坐標軸都在此圓錐面上,求圓錐面的方程.解:顯然錐頂是原點,設向量u平行于軸線,并且坐標都是正數,則u

e1=ue2=ue3

點M1(0,0,1)在此圓錐面上,由(2.13)得(x+y+z)2=x2

+y2

+z2

即xy+yz+zx=0.即u的三個坐標相等,不妨設為(1,1,1).

旋轉面

錐面定義

由一族過同一點M0

的直線構成的曲面稱為錐面.這些直線稱為它的直母線.M0

稱為錐頂,錐面上不過錐頂的一條曲線如果和每一條直母線都相交,就稱為它的一條準線.例如:圓錐面是錐面.平面是錐面,其上每一點都可作為錐頂.共軸平面系中的兩個或多個平面一起也構成錐面,軸上的每一點都可看作錐頂.

定義與幾何特征注:(1)一般錐面的錐頂是確定的.(2)錐面由錐頂和準線確定.如果一個點M不是錐頂,則M在錐面上M和錐頂的連線和準線相交.

錐面則點M(x,y,z)錐面

存在實數t,使得從其中一式解出t

代入另一式,即得S的方程.(2.15)

注:當準線是平面曲線時,計算比較簡單.設在一個仿射坐標系中,錐面的錐頂M0(x0,y0,z0),準線的方程為

方程的建立

錐面例

在一個仿射坐標系中,錐頂為(0,2,5),準線的方程為求錐面的方程.解:根據(2.15),有

錐面根據第二式,得代入第一式,得此方程的圖像為錐面去掉錐頂.去分母,得81x2

+4(5x5y+3z5)2=36(xy+2)2

錐面整理后得145x2

+64y2

+36z2

128xy+120xz120yz344x+344y120z44=0.

而去分母增加方程的解,即為方程組的解(0,2,5),即錐頂坐標.因此,上述方程就是錐面的方程.

錐面注:

實用上常取坐標原點為錐頂,此時,如果準線在平行于坐標平面的一張平面上,譬如為則用上述方法得到方程它是去掉錐頂的錐面的方程.如果f(x,y)是n次多項式,則此方程可化為一個n次齊次方程

(即左邊多項式每一項都是n次項):

錐面的圖像多了錐頂.也可能增加了一些別的點.一般地,有定理:

x,y,z

的n

次齊次方程的圖像

(添上原點)一定是錐頂為原點的錐面;反之亦然.證明:設F(x,

y,

z)=0

是n

次齊次方程,