2．空間兩點間的距離如下圖所示，一只小螞蟻站在水泥構件點O處，在A，B，C，D，E處放有食物，建立適當的空間直角坐標系，可以告訴小螞蟻食物的準確位置．你能告訴它怎樣才能在最短的時間內取到食物嗎？1．若在空間直角坐標系Oxyz中點P的坐標是(x，y，z)，則P到坐標原點O的距離OP＝eq\r(x2＋y2＋z2)．2．在空間直角坐標系Oxyz中，設點P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，則P1與P2之間的距離P1P2＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（z1－z2）2)．3．在空間直角坐標系Oxyz中，點P(x0，y0，z0)到平面xOy的距離為|z0|，到x軸的距離為eq\r(y20＋z20)．空間兩點間的距離公式(1)已知空間中兩點A、B的坐標為A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則這兩點間的距離為AB＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（z1－z2）2).特別地點A(x，y，z)到原點的距離為：OA＝eq\r(x2＋y2＋z2).記憶上述公式時可以類比平面解析幾何中兩點間的距離公式．(2)空間兩點間的距離公式的推導思路．思路一：當兩點連線與坐標平面不平行時，過兩點分別作三個坐標平面的平行平面，轉化為求長方體的對角線長，從而只要寫出交于一個頂點的三條棱長即可，而棱長可在平面內用平面上兩點間的距離公式求得．思路二：作線段在三個坐標平面上的正投影，把空間問題轉化為平面問題加以解決．(3)坐標法求解立體幾何問題時的三個步驟：a.在立體幾何圖形中建立空間直角坐標系；b.依題意確定各相應點的坐標；c.通過坐標運算得到答案．eq\x(基)eq\x(礎)eq\x(鞏)eq\x(固)知識點一空間中兩點間的距離公式1．點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(3),3)，\f(\r(6),6)))到原點的距離是________．解析：由兩點間距離公式可得．答案：12．在x軸上與點A(－4，1，7)和點B(3，5，－2)等距離的點的坐標為________．解析：設x軸上的點的坐標為(x，0，0)，則由距離公式得：(x＋4)2＋|－1|2＋(－7)2＝(x－3)2＋(－5)2＋22.解得x＝－2.答案：(－2，0，0)3．已知點P在z軸上，且滿足PO＝1(O是坐標原點)，則點P到A(1，1，1)的距離是________．解析：設P(0，0，c)，∵PO＝1，∴c＝±1.當c＝1時，PA＝eq\r(2)；當c＝－1時，PA＝eq\r(6).答案：eq\r(2)或eq\r(6)知識點二空間中兩點間距離公式的簡單應用4．點B是點A(1，2，3)在坐標平面yOz內的射影，則OB等于________．解析：∵A(1，2，3)在平面yOz內的射影為B(0，2，3)，∴OB＝eq\r(13).答案：eq\r(13)5．設A(3，3，1)、B(1，0，5)、C(0，1，0)，AB的中點M，則CM＝________．解析：由中點公式得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)，3))，∴CM＝eq\r(（2－0）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))\s\up12(2)＋（3－0）2)＝eq\f(\r(53),2).答案：eq\f(\r(53),2)6．已知空間三點A(0，0，3)、B(4，0，0)、C(4，5，0)，求△ABC的周長．解析：∵AB＝eq\r(（0－4）2＋02＋（3－0）2)＝5，BC＝eq\r(（4－4）2＋（0－5）2＋02)＝5，AC＝eq\r(（0－4）2＋（0－5）2＋（3－0）2)＝5eq\r(2)，∴△ABC的周長為10＋5eq\r(2).eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(級)綜合點一空間中有關距離的計算問題7．在空間直角坐標系中，點A(－3，4，0)與點B(x，－1，6)的距離為eq\r(86)，則x等于________．解析：由eq\r(（x＋3）2＋（－1－4）2＋（6－0）2)＝eq\r(86)，∴x＝2或－8.答案：2或－88．已知點A(－3，1，4)關于原點的對稱點為B，則線段AB的長為________．解析：AB＝2OA＝2eq\r(（－3）2＋12＋42)＝2eq\r(26).答案：2eq\r(26)綜合點二兩點間距離公式的綜合應用9．在空間直角坐標系中，一定點到三個坐標軸的距離都是1，則該點到原點的距離是________．解析：設點P(a，b，c)，則它在三個坐標軸上的射影為P1(a，0，0)、P2(0，b，0)、P3(0，0，c)，由已知得：b2＋c2＝1，c2＋a2＝1，a2＋b2＝1.∴2(a2＋b2＋c2)＝3.故PO＝eq\r(a2＋b2＋c2)＝eq\r(\f(3,2))＝eq\f(\r(6),2).答案：eq\f(\r(6),2)10．已知A(1－t，1－t，t)、B(2，t，t)，則AB的最小值為________．解析：∵AB＝eq\r(（2－1＋t）2＋（t－1＋t）2＋（t－t）2)＝eq\r(（t＋1）2＋（2t－1）2)＝eq\r(5t2－2t＋2)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,5)))\s\up12(2)＋\f(9,5))，∴當t＝eq\f(1,5)時，ABmin＝eq\f(3\r(5),5).答案：eq\f(3\r(5),5)11．在空間直角坐標系中，已知A(0，0，3)、B(2，0，0)、C(0，2，0)，則△ABC的面積是多少？解析：AB＝eq\r(（0－2）2＋（0－0）2＋（3－0）2)＝eq\r(13)，BC＝eq\r(（2－0）2＋（0－2）2＋（0－0）2)＝2eq\r(2)，AC＝eq\r(（0－0）2＋（0－2）2＋（3－0）2)＝eq\r(13)，∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．則BC邊上的高h＝eq\r(（\r(13)）2－（\r(2)）2)＝eq\r(11)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·h＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(11)＝eq\r(22).綜合點三應用距離解決角度問題12．如圖，已知三棱錐PABC在某個空間直角坐標系中，B(eq\r(3)m，m，0)、C(0，2m，0)、P(0，0，2n)．(1)畫出這個空間直角坐標系，并指出AB與Ox軸的正方向的夾角；(2)若M為BC的中點，n＝eq\f(\r(3),2)m，求直線AM與其在平面PBC內的投影所成的角．解析：(1)如圖，以A為坐標原點O，以AC為Oy軸，以AP為Oz軸，建立空間直角坐標系，此時AB與Ox軸的正