參數估計第四節參數的區間估計一、區間估計的基本概念前面，我們討論了參數點估計.它是用樣本算得的一個值去估計未知參數.但是，點估計值僅僅是未知參數的一個近似值，它沒有反映出這個近似值的誤差范圍，使用起來把握不大.區間估計正好彌補了點估計的這個缺陷.一、區間估計的基本概念1、置信區間定義滿足設是一個待估參數，給定X1,X2,…Xn確定的兩個統計量若由樣本和分別稱為置信下限和置信上限.則稱區間是的置信水平（置信度)為的置信區間.一、區間估計的基本概念這里有兩個要求:可見，對參數作區間估計，就是要設法找出兩個只依賴于樣本的界限(構造統計量).一旦有了樣本，就把估計在區間內.一、區間估計的基本概念可靠度與精度是一對矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.1.要求以很大的可能被包含在區間內，就是說，概率要盡可能大.即要求估計盡量可靠.

2.估計的精度要盡可能的高.如要求區間長度盡可能短，或能體現該要求的其它準則.一、區間估計的基本概念關于定義的說明一、區間估計的基本概念若反復抽樣多次(各次得到的樣本容量相等,都是n)按伯努利大數定理,在這樣多的區間中,一、區間估計的基本概念例如一、區間估計的基本概念在求置信區間時，要查表求分位點.2、置信區間的求法若X為連續型隨機變量,則有所求置信區間為一、區間估計的基本概念所求置信區間為由此可見，置信水平為的置信區間是不唯一的。同樣對于一、區間估計的基本概念~N(0,1)求參數的置信度為的置信區間.

例

設X1,…Xn是取自

的樣本，明確問題,是求什么參數的置信區間?置信水平是多少？尋找未知參數的一個良好估計.選

的點估計為,解尋找一個待估參數和統計量的函數，要求其分布為已知.有了分布，就可以求出U取值于任意區間的概率.一、區間估計的基本概念對給定的置信水平查正態分布表得對于給定的置信水平,根據U的分布，確定一個區間,使得U取值于該區間的概率為置信水平.使為什么這樣取？一、區間估計的基本概念一、區間估計的基本概念這樣的置信區間常寫成其置信區間的長度為一、區間估計的基本概念

從例1解題的過程，我們歸納出求置信區間的一般步驟如下:1.明確問題,是求什么參數的置信區間?置信水平

是多少?2.尋找參數的一個良好的點估計

3.尋找一個待估參數和估計量T的函數U(T,),且其分布為已知.T(X1,X2,…Xn)一、區間估計的基本概念

4.對于給定的置信水平

，根據U(T,)的分布，確定常數a,b，使得P(a<U(T,)<b)=

5.對“a<S(T,)<b”作等價變形,得到如下形式即于是就是的100(

)％的置信區間.一、區間估計的基本概念可見，確定區間估計很關鍵的是要尋找一個待估參數和估計量T的函數U(T,),且U(T,)的分布為已知,不依賴于任何未知參數.而這與總體分布有關，所以，總體分布的形式是否已知，是怎樣的類型，至關重要.一、區間估計的基本概念需要指出的是，給定樣本，給定置信水平，置信區間也不是唯一的.對同一個參數，我們可以構造許多置信區間.

1.在概率密度為單峰且對稱的情形，當a=-b時求得的置信區間的長度為最短.

2.即使在概率密度不對稱的情形，如分布，F分布，習慣上仍取對稱的分位點來計算未知參數的置信區間.二、單正態總體的區間估計統計量二、單正態總體的區間估計二、單正態總體的區間估計二、單正態總體的區間估計二、單正態總體的區間估計二、單正態總體的區間估計二、單正態總體的區間估計二、單正態總體的區間估計二、單正態總體的區間估計二、單正態總體的區間估計二、單正態總體的區間估計二、單正態總體的區間估計二、單正態總體的區間估計二、單正態總體的區間估計二、單正態總體的區間估計二、單正態總體的區間估計二、單正態總體的區間估計二、單正態總體的區間估計二、單正態總體的區間估計二、單正態總體的區間估計二、單正態總體的區間估計二、單正態總體的區間估計三、矩估計法矩估計法是英國統計學家K.皮爾遜最早提出來的.由辛欽大數定理,若總體的數學期望有限,則有其中為連續函數.三、矩估計法

這表明,當樣本容量很大時

,在統計上,可以用用樣本矩去估計總體矩.這一事實導出矩估計法.定義用樣本原點矩估計相應的總體原點矩,又用樣本原點矩的連續函數估計相應的總體原點矩的連續函數,這種參數點估計法稱為矩估計法

.

理論依據:

大數定律矩估計法的具體做法如下：那么它的前k階矩,一般都是這k個參數設總體的分布函數中含有k個未知參數,那么用諸的估計量Ai分別代替上式中的諸,即可得諸的矩估計量：三、矩估計法i=1,2,…,k從這k個方程中解出j=1,2,…,kj=1,2,…,k矩估計量的觀察值稱為矩估計值.的函數,記為：三、矩估計法三、矩估計法三、矩估計法三、矩估計法三、矩估計法三、矩估計法三、矩估計法三、矩估計法

矩法的優點是簡單易行,并不需要事先知道總體是什么分布.

缺點是，當總體類型已知時，沒有充分利用分布提供的信息.一般場合下,矩估計量不具有唯一性.其主要原因在于建立矩法方程時，選取那些總體矩用相應樣本矩代替帶有一定的隨意性.四、極大似然估計它是在總體類型已知條件下使用的一種參數估計方法.它首先是由德國數學家高斯在1821年提出的.GaussFisher然而,這個方法常歸功于英國統計學家費歇.費歇在1922年重新發現了這一方法，并首先研究了這種方法的一些性質.四、極大似然估計極大似然估計法的思想

極大似然估計法，是建立在最大似然原理的基礎上的求點估計量的方法。最大似然原理的直觀想法是：在試驗中概率最大的事件最有可能出現。因此，一個試驗如有若干個可能的結果A,B,C,…,若在一次試驗中，結果A出現，則一般認為A出現的概率最大。四、極大似然估計極大似然估計定義：當給定樣本X1,X2,…Xn時，定義似然函數為：設X1,X2,…Xn是取自總體X的一個樣本，樣本的聯合密度(連續型）或聯合分布律(離散型)為

f(x1,x2,…,xn;)這里x1,x2,…,xn

是樣本的觀察值.四、極大似然估計似然函數：f(x1,x2,…,xn;)極大似然估計法就是用使達到最大值的去估計.即稱為的極大似然估計值.而相應的統計量稱為的極大似然估計量.看作參數的函數，它可作為將以多大可能產生樣本值x1,x2,…,xn

的一種度量.四、極大似