高等數學A（下）總復習第十二章無窮級數一、知識結構圖常數項級數函數項級數正項級數任意項級數冪級數二、數項級數的審斂法1.利用部分和數列的極限判別級數的斂散性2.正項級數審斂法必要條件不滿足發散滿足比值審斂法收斂發散不定比較審斂法用它法判別部分和極限(比較審斂法)設。若級數則級數若級數則級數收斂,也收斂;發散,也發散.是兩個正項級數，且

(比較審斂法的極限形式)是兩個正項級數，且

兩個級數同時收斂或發散;(2)當

l=

0

(3)當

l=∞

(1)當0<l<∞

時,則

常用比較級數等比級數：調和級數：P-級數：發散。3.任意項級數審斂法為收斂級數Leibniz審斂法:若且則交錯級數收斂。概念:若收斂,稱絕對收斂若發散,稱條件收斂P328題6.討論下列級數的絕對收斂性與條件收斂性:提示:(1)p>1

時,絕對收斂;0<p≤1

時,條件收斂;p≤0

時,發散.(2)故原級數絕對收斂.但單調遞減,且由于所以原級數僅條件收斂

.由Leibniz審斂法知級數收斂;由比較審斂法知級數發散;因所以原級數絕對收斂.三、求冪級數收斂域的方法?

標準形式冪級數:再討論?非標準形式冪級數通過換元轉化為標準形式直接用比值法或根值法處的斂散性.注意收斂區間和收斂域的區別先求收斂半徑R:例：求下列冪級數的收斂域:解該級數收斂;該級數發散.所以收斂半徑當時,級數成為當時,級數成為從而所求收斂域為例：求下列冪級數的收斂域:解令原級數化為因為所以收斂半徑收斂區間為即該級數發散;當時,級數成為當該級數收斂.從而所求收斂時,級數成為域為第八章向量代數

與空間解析幾何一、知識結構圖向量代數定義定義與運算的幾何表達在直角坐標系下的表示向量有大小、有方向.記作

或

模向量

的模記作

方向余弦設

與

軸的夾角分別為

，則方向余弦分別為

點乘（數量積）

，

為向量a與b的夾角叉乘（向量積）

向量

c與a，b都垂直定理與公式垂直平行交角余弦兩向量夾角余弦

投影向量

在非零向量

上的投影幾何表達在直角坐標系下的表示平面直線法向量

點

方向向量

點

方程名稱方程形式及特征方程名稱方程形式及特征點法式點向式截距式參數式面面垂直線線垂直面面平行線線平行面面夾角線線夾角

空間曲線

：切向量切“線”方程：

法平“面”方程：空間曲面法向量切平“面”方程：法“線“方程：或切平“面”方程：法“線“方程：旋轉曲面繞誰誰不變缺啥就補啥例1.

設一平面平行于已知直線且垂直于已知平面求該平面法線的的方向余弦.提示:已知平面的法向量求出已知直線的方向向量取所求平面的法向量所求為二、例題例2.

求旋轉拋物面上點（3，-1，0）處的切平面方程。解:令則點（3，-1，0）則點（3，-1，0）處的切平面為即處的法向量為例3.

證明：曲面上任意點。

證明：將曲面改寫為則，曲面上任意點的切平面為

或，于是四面體的體積的切平面與三個坐標面圍成的四面體的體積是常數第九章多元函數微分法及其應用多元函數的基本概念多元函數的偏導數、微分與方向導數多元函數微分法多元函數微分學的幾何應用多元函數的極值和最值一.多元函數的基本概念1.多元函數的定義、極限、連續

定義域及對應規律

判斷極限不存在及求極限的方法

函數的連續性及其性質注1：多元函數的極限與一元函數極限的差異為：一元函數在某點的極限存在的充要條件是左右極限存在且相等；而多元函數必須是點P在定義域內以任何方式和途徑趨近于P0時；f(P)都有極限，且相等。注2：函數解:原式例1.求二.多元函數的偏導數、微分與方向導數1.多元函數的偏導函數

求fx

(x,y)時,只須將y

看作常數,用一元函數求導公式求即可.求fy

(x,y)時,只須將x

看作常數,用一元函數求導公式求即可.2.求一點處偏導數的方法先代后求:先求后代:利用定義:例如：分段函數分段點例如：初等函數定義區域的內點例如：上述兩種例子情況均可、函數式復雜（了解即可）例.

求解法1解法2在點(1,2)處的偏導數.先求后代先代后求（了解）3.

求高階偏導數的方法逐次求導法注:混合偏導數在連續的條件下相等.例.

求函數解

:的二階偏導數例.計算函數在點(2,1)處的全微分.解:4.微分5.方向導數與梯度?

三元函數在點方向導數為:?

二元函數在點梯度為:方向導數為:梯度為:?

關系:沿方向l(方向角沿方向l(方向角為這說明方向：f變化率最大的方向模:

f的最大變化率之值方向導數取最大值：例1.求函數

在點

P(1,1,1)沿向量3)的方向導數.解:

向量

l

的方向余弦為6.重要關系:偏導存在函數可微偏導數連續函數連續方向導數存在偏導數存在?可微三.多元函數微分法1.多元復合函數的求導法則2.隱函數微分法自變量個數=變量總個數–方程總個數自變量與因變量由所求對象判定注:一定要分清楚誰是自變量1.多元復合函數的求導法則(1).根據函數結構的示意圖分析復合結構,確定自變量、中間變量及其關系(2).正確使用鏈式法則,寫出求導公式“分段用乘,分叉用加,單路全導,叉路偏導”(3).注意正確使用求導符號

例.設解:例.設

為可導函數，驗證解:隱函數求導方法：方法1.利用復合函數求導法則方程兩邊直接關于自變量求導,要把因變量看成自變量的函數方法2.利用隱函數定理的求導公式3.隱函數微分法注：兩種求導方法中方程所確立的隱函數中因變量的地位是不一樣的例.設解法1利用隱函數求導再對x

求導解法2

利用公式設則兩邊對x求偏導例.

設解:方程組兩邊對x求導，并移項得求由題設故有1.函數的極值問題第一步利用必要條件在定義域內找駐點.即解方程組第二步利用充分條件判別駐點是否為極值點.例如對二元函數五.多元函數的極值和最值2.最值應用問題

最值可疑點:

駐點和邊界上的最值點特別,當區域內部最值存在,且只有一個極值點P時,為極小值為最小值(大)(大)第二步根據問題的實際意義確定最值:唯一的駐點一定是最值點第一步找目標函數,確定定義域(及約束條件)實際問題的最值:3.函數的條件極值問題(1)簡單問題用代入法轉化為無條件極值問題.(2)一般問題用拉格朗日乘數法求一元函數的無條件極值問題求法：引入輔助函數輔助函數F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數.利用拉格則極值點滿足:朗日函數求極值的方法稱為拉格朗日乘數法.拉格朗日乘數法.例如,例.要設計一個容量為則問題為求x,y,令解方程組解:

設x,y,z分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z使在條件水箱長、寬、高等于多少時所用材料最省？的長方體開口水箱,試問得唯一駐點由題意可知合理的設計是存在的,長、寬為高的2倍時，所用材料最省.因此,當高為一定要合理轉換目標函數:

非負可平方、可取倒數等要注意解方程組的技巧：一般先得出自變量的關系再代入約束條件使用拉格朗日乘數法特別要注意：第十章重積分

二重積分的計算三重積分的計算重積分的運用一.二重積分的計算1.二重積分的性質則2).若在D上例.設D

是第二象限的一個有界閉域,且0<y<1,則的大小順序為()提示:因0<y<1,故故在D上有例.

比較下列積分的大小:其中解:

積分域D的邊界為圓周它在與x軸的交點(1,0)處與直線從而而域D位于直線的上方,故在D上2.二重積分的計算(1)利用二重積分的基本性質（幾何意義、對積分區域可加性、對稱性質、坐標輪換性質）對稱性質:當區域關于y軸對稱,函數關于x有奇偶性時,仍有類似結果.(2)利用直角坐標計算二重積分若D為

X–型區域

則若D為Y–型區域則(3)利用極坐標計算二重積分注：若積分區域為圓域、扇形域、環形域、或由極坐標曲線圍成的區域，可考慮選擇極坐標;例1.

計算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區域.解法1.

將D看作X-型區域,則解法2.

將D看作Y-型區域,

則例2.計算其中解:

在極坐標系下原式故二.三重積分的計算1、投影法(“先單后重”“先一后二”)2、截面法(“先重后單”“先二后一”)3、柱坐標代換4、利用三重積分的對稱性關鍵：正確的判斷上、下曲面;找對投影區域.1、投影法

(“先單后重”“先一后二”)方法一:根據圖形:方法二:根據方程:②投影區域可由含z的某曲面與其它曲面交線的投影曲線所圍。即：可選定一個含z的方程然后再和其它所有方程（包含柱面方程和另一個含z的方程）相交。①利用平行于z軸的直線穿曲面，穿出和穿入點就對應上、下曲面，注：中間所夾立體的邊界應為柱面。②投影點的全體即為投影區域。①已給邊界曲面方程中含z的若只有兩個，則其必分別為上、下曲面,其它不含z的方程必對應柱面。例.計算積分其中由曲面法一:

積分域為原式及平面所圍.例.計算積分其中由曲面法二:原式及平面所圍.找上下半曲面：找投影區域：其中

為三個坐標例.

計算三重積分所圍成的閉區域.解:面及平面①柱面坐標本質：投影法中的二重積分利用了極坐標計算3、柱坐標代換②柱面坐標適用范圍：例.

計算三重積分解:

在柱面坐標系下所圍成.與平面其中由拋物面原式=4、

利用三重積分的對稱性（了解即可）當區域關于yoz軸對稱,函數關于x有奇偶性時,當區域關于xoz軸對稱,函數關于y有奇偶性時,仍有類似結果.重積分計算的基本方法1.畫出積分區域2.選擇坐標系標準：區域邊界應盡量多為坐標軸，被積函數關于坐標變量易分離3.確定積分次序原則：積分區域分塊少，累次積分好算為妙4.確定積分限方法：圖示法先積一條線，后掃積分域5.計算要簡便注意：充分利用對稱性，奇偶性——

累次積分法小結：曲線積分曲面積分：1.第一類曲線積分2.第二類曲線積分3.第一類曲面積分（曲面薄板質量）（曲線構件質量）（變力作功）第十一章曲線積分與曲面積分1.第一類曲線積分的計算?對光滑曲線弧利用參數方程化為定積分?對光滑曲線弧注：因此積分限必須滿足例.

計算其中L是拋物線與點

B(1,1)之間的一段弧.解:上點O(0,0)?對有向光滑弧?

對有向光滑弧2．第二類曲線積分的計算(1)利用參數方程化為定積分例.計算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式(2)格林公式