山西省臨汾市隰縣第二中學2021年高三數學理聯考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設是銳角，若，則的值為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B2.已知是復數，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A3.已知變量滿足約束條件

則的最小值為()A.11

B.12

C.8

D.3參考答案：C由約束條件作出可行域如圖，聯立，解得A(2,2)，化目標函數z=3x+y為y=?3x+z，由圖可知，當直線y=?3x+z過A時，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為z=3×2+2=8．故選C.4.已知A，B，C，D，E為拋物線上不同的五點，拋物線焦點為F，滿足，則A

5

B

10

C

D

參考答案：B5.函數的最小正周期等于（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：考點：二倍角公式；三角函數的周期.6.在鈍角中，已知，，，則的面積是

參考答案：B略7.若復數z＝（3+bi）（1+i）是純虛數（其中b∈R，i為虛數單位），則b＝（

）A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：C【分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由實部為0且虛部不為0列式求解．【詳解】∵z＝（3+bi）（1+i）＝（3﹣b）+（b+3）i是純虛數，∴，即b＝3．故選：C．【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，是基礎題．8.若函數f（x）是定義在R上的偶函數，在（﹣∞，0]上是減函數，且f（2）=0，則使得f（x）＜0的x的取值范圍是(

)A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，2）參考答案：D【考點】偶函數．【專題】壓軸題．【分析】偶函數圖象關于y軸對稱，所以只需求出（﹣∞，0]內的范圍，再根據對稱性寫出解集．【解答】解：當x∈（﹣∞，0]時f（x）＜0則x∈（﹣2，0]．又∵偶函數關于y軸對稱．∴f（x）＜0的解集為（﹣2，2），故選D．【點評】本題考查了偶函數的圖象特征．在解決函數性質問題時要善于使用數形結合的思想．9.給定性質：①最小正周期為；②圖像關于直線對稱，則下列四個函數中，同時具有性質①、②的是(

)A．

B．C．

D．參考答案：C10.如圖是某學校的教研處根據調查結果繪制的本校學生每天放學后的自學時間情況的頻率分布直方圖：根據頻率分布直方圖，求出自學時間的中位數和眾數的估計值（精確到）分別是（

）A.2.20，2.25 B.2.29，2.20C.2.29，2.25 D.2.25，2.25參考答案：C【分析】根據中位數左邊的矩形面積之和為可求得中位數，利用最高矩形底邊的中點值可得出眾數.【詳解】由頻率分布直方圖得，自學時間在的頻率為，自學時間在的頻率為，所以，自學時間的中位數為，眾數為.故選：C.【點睛】本題考查中位數、眾數的求法，考查頻率分布直方圖的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，滿足約束條件，則的最大值是___________.參考答案：0略12.若函數上有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍為__________.參考答案：13.已知的展開式中，x3項的系數是a，則=

．參考答案：ln【考點】67：定積分；DB：二項式系數的性質．【分析】先求出二項式展開式的通項公式，再令x的冪指數等于3，求得r的值，即可求得展開式中的含x3項的系數a的值，再求定積分，可得要求式子的值．【解答】解：的展開式的通項公式為Tr+1=C5r（）rx5﹣2r，令5﹣2r=3則r=1∴x3的系數為，∴dx=lnx|=ln，故答案為：ln14.設函數，若為奇函數，則當時，的最大值為

參考答案：略15.設曲線軸以及直線圍成的封閉圖形的面積為a，函數成立的取值范圍是參考答案：16.用系統抽樣法從160名學生中抽取容量為20的樣本,將學生隨機地從1~160編號，按編號順序平均分成20組(1-8,9-16...153-160)若第16組得到的號碼為126,則第1組中用抽簽的方法確定的號碼是

．參考答案：617.用數學歸納法證明時，當時，其形式是

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數，（1）已知e為自然對數的底數，求函數在處的切線方程；（2）當時，方程有唯一實數根，求a的取值范圍．參考答案：(1)(2)【分析】（1）求得函數的導數，得到，，利用直線的點斜式方程，即可求解切線的方程；（2）當時，方程，即，令，求得，令，分類討論利用導數求得函數的單調性與最值，即可求解．【詳解】（1）由題意，函數，定義域，則，所以，函數在處的切線方程為，整理得，即函數在處的切線方程．（2）當時，方程，即，令，有，，令，因為，所以在單調遞減，①當即時，，即在單調遞減，所以，方程無實根．②當時，即時，存在，使得時，，即單調遞增；時，，即單調遞減；因此，取，則，令，，由，則，，所以，即在時單調遞減，所以．故存在，．綜上，的取值范圍為.【點睛】本題主要考查導數在函數中的綜合應用，以及方程的有解問題，著重考查了轉化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍；也可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．19.如圖，在四棱錐中，側面底面，底面為矩形，為中點，，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.參考答案：（Ⅰ）設與的交點為，連結.因為為矩形，所以為的中點.在中，由已知為中點，所以.又平面，平面，所以平面.（Ⅱ）在中，，，所以，即.因為平面平面，平面平面，，所以平面，故.又因為，平面，所以平面，故就是直線與平面所成的角.在直角中，，所以.即直線與平面所成角的正弦值為.20.（本小題滿分12分）已知，函數（Ⅰ）求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；（Ⅱ）當x[0，2]時，求|f(x)|的最大值．參考答案：21.（本小題滿分10分）選修4—4：坐標系與參數方程在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為（為參數），直線l經過點P（2,2），傾斜角。（1）寫出圓的標準方程和直線l的參數方程；（2）設l與圓C相交于A、B兩點，求的值。參考答案：（Ⅰ）圓的標準方程為.

直線的參數方程為，即（為參數）

……5分（Ⅱ）把直線的方程代入，

得，，

所以，即．

……10分

22.（14分）設函數．（1）求函數f（x）的值域；（2）當實數x∈[0，1]，證明：．參考答案：【分析】（1）由已知條件可以推知，結合該函數的單調性求解；（2）把證明不等式成立問題轉化為判斷函數單調性問題解決，利用（1）的結論即可得出結論．【解答】解：（1）由題意知，函數f（x）的定義域是[﹣1，1]，∵，當f'（x）≥0時，解得x≤0，∴f（x