Chapter2

數據表示及邏輯基礎Teacher:E-mail:Office:TEL:Overview數制碼制（編碼與文本）多媒體數據邏輯基礎2.1 概述—最初設計計算機的目的是計算計算需要數計算機中的數的表示是一個基礎性的問題數的表示也延伸到了數據的領域表示各種現實世界對象的“數據”不同應用需要的數據類型不同計算，處理數字其他實體對象，如圖形、圖像、視頻、音頻統一的數據表示方法基本形態是二進制為什么采用二進制？二進制數在物理上最容易實現可以用高、低兩個電平表示"1"和"0"，也可以用脈沖的有無或者脈沖的正負極性表示它們。二進制數用來表示的二進制數的編碼、計數、加減運算規則簡單。二進制數的兩個符號"1"和"0"正好與邏輯命題的兩個值"是"和"否"或稱"真"和"假"相對應，為計算機實現邏輯運算和程序中的邏輯判斷提供了便利的條件。562.2 數制數制（NumberSystem）是計數（或記數）體制多位數中每一位的構成方法以及實現從低位到高位的進位規則，也叫做進制數學家們研究數制的規則和規律計算機科學研究將數制規則和規律通過電路實現常用進制二、十、八、十六數制

常用進制R進制R個數碼，數碼從0到R-1數：每位數碼和該位的權系數的乘積權系數也叫做冪次或叫做權重（PowerWeight）逢R進1計數規則十進制（DecimalSystem）數碼：0～9，逢十進一數制(R進制)

數制（NumberSystem）：全稱為記數（計數）體制順序記數，例如：567.1多項式記數，例如：5102+6101+7100+110-1

9一般表達式：

n：整數位；m：小數位；

A：數碼0，1，...，R-1； R為基數；Ri權系數二進制BinarySystem位(比特，bit）是計算機處理的最小單位0和1兩個數碼，被組合成各種序列以適應計算機的運算和處理的數據類型選擇二進制的一個最簡單也是最實際的理由是它容易被物理器件實現二進制起源于中國——八卦多項式表示一個二進制數：101011012=1×27+0×26+1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20八進制and十六進制OctalSystem八個數碼：0、1、2、3、4、5、6、78=23

一位八進制對應于三位二進制HexadecimalSystem16個數碼：09，A、B、C、D、E、F字節（Byte，8個二進制位）=兩個十六進制數碼16=24：4位二進制和1位十六進制對應二進制的基本運算二進制加法0+0=00+1=11+0=11+1=10 （這里1是進位）二進制乘法00=001=010=011=1二進制和十進制轉換1．二進制轉換為十進制被轉換的二進制數按冪次展開，然后相加1101.012=123+122+021+120+012-1+12-2

=8+4+0+1+0+0.25

=13.25102．十進制轉換為二進制整數小數十進制整數轉換為二進制數17310=101011012十進制小數轉換為二進制0.812510=0.11012二進制與八進制轉換二進制與八進制存在對應的冪次關系BinaryOctol257.0648=010101111.0001101002二進制、十六進數轉換16=2410110101.001012=0B5.2816SeeTable2-2計算機中數的表示整數的表示正負數：用1位符號位，0表示正數，1表示負數+1011 01011-1011 11011

表示為機器數運算的數定義：原碼（OriginalCode）——解決乘法反碼（One’sComplement）補碼（Two’sComplement）——解決加法不同的運算使用不同的碼和不同的運算方法設計運算器計算機的數、存儲與計算原碼原碼即上述表示的機器數——n位二進制數，最高位被設置為符號位，其后的n-1位表示真值。原碼的特點簡單直觀用原碼可以比較方便地進行乘法運算：去符號的數相乘、符號位簡單相加法就可以得到乘積例子：2乘以-3

2*-3=-6+2原碼

00010-3原碼

10011Χ0010+0010

00110不考慮符號位相乘的結果是：0110符號位直接相加：0+1=1因此，最終的結果是10110，對應的是-6的原碼。符號為用兩個數的符號為相加的結果逐位相乘，按位相加，到符號位為止反碼反碼的定義是：一個正數的反碼就是它的機器數，負數的反碼其最高位（符號位）為1，其余各位按位求反例如，+1010010反碼為01010010

-

1010010反碼為10101101反碼和原數相加：結果為所有位都是1對1互補專業術語：One’sComplement20150929ABCD補碼

補碼的定義是：正數的補碼等于它的原碼，負數的補碼等于它的反碼加1（最低位加1，進位不改變符號位）例如，+1010010的補碼為01010010 -

1010010的補碼為10101110補碼一個有意思的特性是：補碼的補碼將還原為原碼專業術語：對2求補(Two’sComplement)存儲用補碼形式，將符號位與其他位可以統一處理補碼用于減法運算，即減法運算用加法處理補碼實現減法運算（減法變加法）Example：十進制的a=11和b=-10，用5位二進制

a補=a原=01011b原=11010，b反=10101，b補=10110使用補碼計算a和b之和01011a原碼，符號位為0+10110b補碼，符號位為11

00001產生的進位，丟掉定點數和浮點數實數的表示？0.13.14-5.888…數的兩種格式：定點數和浮點數計算機中的定點數二進制固定長度定點數：16位或32位小數點固定在某一個位置定點純小數、定點純整數浮點數—類似科學計數法，表示數范圍更大定點數定點純小數格式定點純整數格式1）定點純小數數的范圍：（m+1）位定點小數格式的數N：｜N｜≤1－2-m比例因子絕對值大于1，使用定點小數格式將產生“溢出（Overflow）”比例因子——原數據按比例縮小，計算結果再按該比例擴大得到實際的結果28

小數點固定在數值部分最高位的左邊

2）定點純整數小數點固定在數值部分最低位的右邊29數的范圍：（m+1）位定點整數格式的數N ｜N｜≤2m

－1絕對值大于該范圍的數，使用比例因子調整浮點數浮點數分階碼和尾數階碼：小數點位置——帶符號的整數——類似科學計數法中數的指數部分尾數表示數的有效數值：純整數或純小數32位浮點數的一般格式2.3編碼和文本數據還有另外一種表示：編碼（Code）編碼的目的是為了便于標記特定的對象設計編碼時需要按照一定的規則——“碼制（CodeSystem）”重要概念常用編碼：ASCII、漢字編碼、多媒體數據文本和文檔文本（Text）文本中的每一個符號包括字母、標點，都以一個唯一的二進制位序列表示在計算機中，文本就是位模式的二進制數據長串基礎的文本編碼就是ASCIIAmericanStandardCodeforInformationInterchange基于English文本編碼是計算機進行數據交換的基礎ASCII碼ANSI制定，后為ISO646適用于英文，兩種形式：7位碼和8位碼7位二進制ASCII碼單字節字符編碼方案，基本的文本數據8位碼是擴展ASCII碼，SeeAppendixA3435Unicode編碼通用多文種字符集表示幾乎世界上所有書寫語言的字符編碼標準——又稱：統一碼、單一碼、萬國碼可支持超過百萬個字符的編碼Unicode編碼國際標準ISO10646ISO采用的是32位模式用于世界范圍各種語言文字的文本形式的字符集，也收集了漢字Unicode編碼三個編碼方案

Uincode-8與ASCII保持一致Unicode-16用兩個字節表示一個字符Unicode-32使用4個字節對字符編碼漢字編碼漢字編碼的目的是為了計算機能夠處理、顯示、打印、交換漢字字符國家漢字編碼標準GB2312-1980簡化漢字6763個，7445個字符港澳臺地區使用繁體漢字BIG5碼1995年的GBK擴展漢字編碼標準GB2312-1980的擴展收錄了2.1萬多個漢字GBK支持ISO10646中的全部中、日、韓漢字2001年GB18030——GBK的升級160萬碼位，目前漢字約為2.6萬個漢字編碼cont

在漢字系統中，每個漢字對應兩個英文字符寬度在漢字的存儲、輸入和輸出中，處理的并不是漢字本身，而是漢字的編碼不同的環境下有不同的漢字編碼漢字交換碼(國標碼)漢字機內碼漢字輸入碼39存儲每個漢字的字型信息需要1616個二進制位，共2*16=32字節。2.4多媒體數據多媒體文本，圖形、音頻、視頻等多種數據表現形式，并使之在邏輯上建立聯系今天計算機和網絡都支持多媒體數據處理相比文本，多媒體數據相關的處理技術還不夠成熟

圖形和圖像圖形（Graphics）——幾何線條、幾何符號等形式表示物體的輪廓在數據表達上圖形和圖像也被認為是同類例如，Windows的“畫筆”程序，既可以畫幾何圖形，也可以對圖形著色使之成為圖像（Picture，Image）兩種技術：位圖和矢量圖位圖技術微軟公司提出又稱光柵圖（RasterGraphics）使用像素（Pixel）陣列，每一個像素是一個點（Dot），點數據的大小取決于分辨率位模式有1、4、8、16、24及32位等灰度圖像——每一像素需要更多的二進制位彩色圖形、圖像——RGB矢量圖技術任何圖像、圖形可以分解為曲線和直線的組合直線和曲線度都可以使用數學公式表示直線、曲線公式的組合作為圖形數據存儲起來，需要顯示或者打印圖形圖像數據時畫圖的公式被重新執行并根據給定的大小畫出（重現）圖形圖像矢量圖看上去更加平滑，不會產生紋波誤差音頻音頻（Audio）包含了聲音（Voice）和音樂（Music）計算機音頻就是研究在計算機中表示和處理聲音與音樂數據，目前沒有“數字音頻標準”視頻視頻（Video）是圖像的動態過程一幅幅（Frame）圖像數據連續播放，就成為了動態圖像也是一種位模式數據壓縮處理后存儲，播放時需要解壓MPEG制定的一系列視頻編碼和壓縮標準音頻/視頻的MPEG-1到MPEG-4MPEG是ISO指定的標準研究組織，它的最新工作是MPEG-21壓縮編碼文本的符號是等長編碼，如ASCII，是8位多媒體數據量大，需要不等長編碼技術即壓縮編碼，如霍夫曼編碼，RLE編碼，有損壓縮編碼霍夫曼編碼DavidHuffman，1952年提出的一種無損編碼技術，基本原理：

出現次數多的符號采用短碼字很少出現的字符采用長碼字參考：/Jezze/archive/2011/12/23/2299884.html霍夫曼編碼-舉例如有數據集，有5個符號，以A～E表示各符號出現次數見下表字符出現的次數等長碼的碼位霍夫曼碼字霍夫曼碼碼位A2575025B12361024C92711027D618111124E515111020霍夫曼編碼-舉例從上表可知，等長碼每個字符需要3位，所需總碼位171霍夫曼編碼需要的總碼位為120與等長碼相比，壓縮比0.7

RLE編碼行程長度編碼或游程編碼用于圖像編碼圖像中總有連續區域具有相同的顏色，此時只需要記錄一個像素的數據和這個像素的數目就行屬于無損編碼有損編碼思想：音、視頻及圖形、圖像數據不需要“完整無缺”。如果損失少量的數據，在人的視聽范圍內，無顯著影響，而能夠換來更高的壓縮效率，是可取的。照片（JPEG）數據、MPEG視頻數據、MP3音頻數據等都是采用了有損壓縮編碼2.5邏輯運算和電路用數學的方法研究關于推理、證明等問題的學科數理邏輯，也叫做符號邏輯英國數學家布爾——建立了布爾代數(邏輯代數)——計算機重要的科學基礎邏輯關系可以被解釋為因果關系“因”是條件條件之間的關系用邏輯連接詞進行組合根據不同的條件得到“結果”邏輯運算對應的實現電路，叫做門電路基本邏輯(運算)關系與（AND），或（OR），非（NOT）邏輯關系與只有決定結果的條件全部滿足，結果才成立，這種邏輯關系叫做邏輯與表示AANDBA●BAB把變量和邏輯關系的取值列表，就得出了真值表（TrueTable）ABAB000010100111邏輯關系或決定結果的條件中只要任何一個滿足，結果就成立。這種邏輯關系叫做邏輯或表示AORBA+B表2-3邏輯或真值表ABA+B000011101111邏輯關系非最簡單的描述就是結果對條件的“否定”表示NotA邏輯非的真值表1001AA邏輯關系異或與、或、非是基本邏輯關系

如果一個邏輯函數有多個基本邏輯關系，稱為復合邏輯關系

異或是復合邏輯關系異或的真值表ABAXORB000011101110邏輯表達式和函數通過代數學的方法研究邏輯關系通過變換、簡化或組合等方法進行邏輯設計邏輯代數：乘號“·”或省略代替AND加號“+”代替OR

A+A·BA+AB邏輯表達式和函數邏輯函數F=f（A，B，C，…）

反演定律，也叫做德·摩根定律

邏輯表達式和函數分配律吸收律

邏輯電路實現基本邏輯關系的電路是邏輯電路中的單元電路——叫門（Gate）電路基本的門電路有：與門或門非門異或門門電路的基本特點基本門電路用基本門電路可以組合成多種復合門電路（a）與門

F=AB（b）或門

F=A+B （c）非門

F=異或門基本門電路組合的異或門加法器用邏輯電路實現加法運算的電路叫做加法器（Adder）設A、B分別為一位二進制數S為A與B之和，C為A加B產生的進位加法的真值表表達式ABSC0000