第二章

點、線、面的投影

第2章點、線、面的投影

投影的基本概念2.1點的投影

2.2直線的投影2.3點與直線以及兩直線的相對位置

2.4直角投影定理2.5平面的投影2.6平面、直線與點的相對位置

2.7圓的投影

2.82.1投影的基本概念

2.1.1投影法的概念

2.1.2投影的基本特性

1.投影法研究空間物體與投影之間關系的方法，稱為投影法。投影法的概念如圖2-1所示。2.投影的分類根據投射線是否交于一點，將投影分為兩種：平行投影和中心投影。2.1.1投影法的概念

圖2-1

投影法

1.相仿性2.度量性3.積聚性4.定比性直線上兩線段長度之比等于它們的投影長度之比。2.1.2投影的基本特性

2.2點的投影

2.2.1點在三投影面體系中的投影

2.2.2點的三面投影規律

2.2.3兩點間的相對位置2.2.4重影點及其可見性

2.2.5特殊位置點的投影如圖2-2所示的點的三面投影圖中，空間的點用大寫字母表示，點的投影用小寫的字母表示。為了區別在不同投影面上的投影，在V平面的投影加一撇，W平面的投影加兩撇。2.2.1點在三投影面體系中的投影

圖2-2

點的三面投影圖

（1）a到OX軸距離等于a?到OZ軸的距離。（2）點的正面投影與水平投影的連線垂直于OX軸。（3）點的正面投影與側面投影的連線垂直于OZ軸。2.2.2點的三面投影規律

（1）距W面遠者在左（x坐標大）；近者在左（x坐標小）；（2）距V面遠者在前（y坐標大）；近者在后（y坐標小）；（3）距H面遠者在左（z坐標大）；近者在左（z坐標小）。2.2.3兩點間的相對位置

當空間兩點的某兩個坐標值相等時，該兩點處于某一投影面的同一投射線上，則這兩點對該投影面的投影重合于一點。空間兩點的同面投影重合于一點的性質，稱為重影性，該兩點稱為重影點。2.2.4重影點及其可見性

1.在原點上的空間點在原點上的空間點的三個投影必定都在原點上，即三個坐標都為0。2.在投影面上的點投影面上的點必有一個坐標為零，即有兩個投影在投影軸上，另一個投影和其空間點本身重合。2.2.5特殊位置點的投影

3.在投影軸上的點投影軸上的點必有兩個坐標為零，即有一個投影在原點上，另兩個投影和其空間點本身重合。2.3直線的投影

2.3.1直線的分類

2.3.2直線的投影

在三投影面體系中，根據直線與投影面的相對位置，可以分為以下三種：1.投影面平行線平行于一個投影面，而與另外兩個投影面傾斜的直線，稱為投影面的平行線。2.3.1直線的分類

2.投影面垂直線垂直于一個投影面，而與另外兩個投影面平行的直線，稱為投影面的垂直線。3.一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線，稱為一般位置直線。直線的投影特性如圖2-3所示：圖2-3直線的投影特性2.3.2直線的投影

1.正平線2.水平線3.側平線4.正垂線5.鉛垂線6.側垂線7.一般位置直線2.4點與直線以及兩直線的相對位置

2.4.1點與直線的相對位置

2.4.2兩直線的相對位置

1.點在直線上如果點在直線上，則點的投影必在直線的同名投影上。直線AB上有一點C，則C點的三面投影c、c′、c″必定分別在該直線AB的同面投影ab、a′b′、a″b″上，并將線段的同名投影分割成與空間相同的比例。2.4.1點與直線的相對位置

2.點不在直線上如果點的投影有一個不在直線的同名投影上，則該點一定不在這條直線上，如圖2-4所示。圖2-4點不在直線上應掌握兩直線相對位置的投影圖及判斷條件。2.4.2兩直線的相對位置

2.5直角投影定理

2.5.1直線平行投影面的垂直相交兩直線的投影

2.5.2一直線平行投影面的交叉垂直兩直線的投影

一邊平行投影面的直角投影定理：兩直線在空間成垂直相交（或交叉），若其中一條邊與某投影面平行，則兩直線在該投影面上的投影仍保持垂直關系。2.5.1直線平行投影面的垂直相交兩直線的投影

垂直交叉的兩直線，當其中一條直線為投影面平行線時，則兩直線在該投影面上的投影也必定互相垂直。反之，若交叉兩直線在某一投影面上的投影互相垂直，且其中有一條直線為該投影面的平行線，則這兩直線在空間也必定互相垂直。2.5.2一直線平行投影面的交叉垂直兩直線的投影

2.6平面的投影

2.6.1平面的分類

2.6.2平面的投影

在三投影面體系中，根據平面與投影面的相對位置，可以分為以下三種：1.投影面平行面平行于一個投影面，而與另外兩個投影面垂直的平面，稱為投影面的平行面。2.6.1平面的分類

2.投影面垂直面垂直于一個投影面，而與另外兩個投影面傾斜的平面，稱為投影面的垂直面。3.一般位置平面與三個投影面都傾斜的平面，稱為一般位置平面。1.正平面2.水平面3.側平面4.正垂面5.鉛垂面6.側垂面7.一般位置平面。2.6.2平面的投影

2.7平面、直線與點的相對位置

2.7.1平面上的點

2.7.2平面上的直線

2.7.3平面與平面的位置關系判斷點在平面上的幾何依據是：點在平面內的一直線上，則該點必在平面上。因此在平面上取點，必須先在平面上取一直線，然后再在該直線上取點。2.7.1平面上的點

1.直線在平面內判斷直線在平面上的幾何依據是：（1）若一條直線通過平面上的兩個點，則此直線必定在該平面上。（2）若一條直線通過平面上的一點并平行于平面上的另一直線，則此條直線必定在該平面上。2.7.2平面上的直線

2.直線與平面平行直線與平面平行的判定定理：直線平行與平面內的一條已知直線。過空間一點可以作無數條直線和已知平面平行，但過空間一點作已知平面的投影面平行線只能作一條。3.直線與平面相交直線和平面相交時，交點為直線和平面的公共點，直線和平面兩者中有一個對投影面處于垂直位置,則交點可直接求出。1.平面和平面平行若在一個平面內能作出兩條相交直線平行于另一個平面，則兩平面平行。2.平面和平面相交平面與平面相交時，其交線為兩平面的公共線。2.7.3平面與平面的位置關系

2.8圓的投影

2.8.1水平圓的投影

2.8.2正垂圓的投影

根據投影面平行面的投影特性可知，水平線圓的水平線投影反映真形；正面投影和側面側面投影分別積聚成水平線，其長度都等圓面積的直徑。當圓傾斜于投影面時，其在投影面上的投影是橢圓。圓的每一對互相垂直的直徑都投射成橢