第十五章虛位移原理第十五章虛位移原理虛位移原理與達朗伯原理相結合，就可得到一個解答動力學問題的動力學普遍方程。在靜力學中，從靜力學公理出發，通過力系的簡化，得出剛體的平衡條件，用來研究剛體及剛體系統的平衡問題。在本章，從位移和功的概念出發，得出虛位移原理——研究平衡問題的最一般原理，可以討論任意質點系的平衡。平衡杠桿在約束許可的條件下，由水平位置緩慢轉動一個很小的角度，問題的引入：杠桿的平衡條件：a、b為兩個力的力臂。杠桿可以在任意位置保持平衡。BabAC另一角度：杠桿在新位置仍保持平衡：BabAC1s2s杠桿平衡時，各個作用力在平衡位置附近的約束許可的位移上作功總和為零。則A、B端的位移對于一般質點系也能寫出類似的式子作為平衡條件。§15-1約束虛位移虛功約束方程——約束限制條件的數學方程。

一、約束及其分類約束——限制質點或質點系位置和運動的各種條件。根據約束的形式和性質，可將約束劃分為不同的類型，通常按如下分類：1、幾何約束和運動約束幾何約束——限制質點或質點系在空間幾何位置的條件。xyzOM平面單擺lxy(x,y)曲柄連桿機構rlOyxA(xA

,yA)B(xB

,yB)借助其它物體來完成。純滾動：運動約束——限制質點系運動情況的運動學條件。rAyCxO幾何約束：運動約束1、幾何約束和運動約束幾何約束——限制質點或質點系在空間幾何位置的條件。

2、定常約束和非定常約束例如：重物M由一條穿過固定圓環的細繩系住。初始時擺長l0,勻速v拉動繩子。x2+y2=(l0-vt)2

約束方程中顯含時間t非定常約束——約束條件隨時間變化的約束。定常約束——約束條件不隨時間改變的約束。前面的例子中約束條件皆不隨時間變化，它們都是定常約束。MlyxO如果在約束方程中含有坐標對時間的導數（如運動約束）而且方程不能積分為有限形式，這類約束稱為非完整約束。非完整約束方程只能以微分形式表達。3、完整約束和非完整約束如果約束方程中不含有坐標對時間的導數，或者約束方程中雖有坐標對時間的導數，但可以經過積分運算化為有限形式，則這類約束稱為完整約束。例如：車輪沿直線軌道作純滾動，是微分方程，但經過積分可得到（常數），該約束仍為完整約束。在兩個相對的方向上同時對質點或質點系進行運動限制的約束稱為雙面約束。4、單面約束和雙面約束只能限制質點或質點系單一方向運動的約束稱為單面約束。雙面約束的約束方程為等式，單面約束的約束方程為不等式。x2+y2=l2MlOyx剛桿x2+y2l2MlyxO繩OAB只討論質點或質點系受定常、雙面、完整約束的情況，其約束方程的一般形式為（s為質點系所受的約束數目，n為質點系的質點個數）OABMF在某瞬時，質點系中的質點在約束允許的條件下，可能實現的任何無限小的位移稱為虛位移。虛位移可以是線位移，也可以是角位移。通常用變分符號表示虛位移。二、虛位移rA

rBrBrA

FOABrBrAM虛位移是線位移時，為矢量，沿點可能軌跡的切線方向。10虛位移與真正運動時發生的實位移不同。實位移具有確定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虛位移則是微小位移，視約束情況可能有幾種不同的方向。實位移是在一定的力作用下和給定的初條件下運動而實際發生的；虛位移是在約束允許的條件下可能發生的。FOABrBrAMOrA

ABrBMF11在定常約束下，微小的實位移必然是虛位移之一。在非定常約束下，微小實位移不再是虛位移之一。實位移是在一定的時間內發生的；虛位移只是純幾何的概念，完全與時間無關。OABdrBrBMvv質點系中各質點的虛位移之間存在著一定的關系,確定這些關系通常有兩種方法：因此可以用分析速度的方法分析各點虛位移之間的關系。(一)幾何法。由運動學知，質點的位移與速度成正比，即13(二)解析法質點系中各質點的位置矢徑：各質點的虛位移在直角坐標上的投影可以表示為：質點系各個質點坐標的變分計算與微分計算一樣。14d設OA桿與x軸夾角為。1、幾何法[例1]分析圖示機構在圖示位置時，點C、A與B的虛位移。(已知OC=BC=a，OA=l)BOACBrrdArrdPP為BC的速度瞬心。Crrd2解：圖中畫出各點虛位移，根據圖中虛位移方向確定投影的符號。15將C、A、B點的坐標表示成(廣義坐標)的函數，得2、解析法對求變分，得各點虛位移在相應坐標軸上的投影：BOAC建立固定坐標系，圖中不畫各點的虛位移xy16力在虛位移上所作的功稱為虛功，記為。3、虛功OABMF機構處于靜止的平衡狀態，M、F力都不作實功，但，都可作虛功。解析式174、理想約束如果在質點系的任何虛位移上，質點系的所有約束反力的虛功之和等于零，則稱這種約束為理想約束。理想約束的數學表達式：3．不可伸長的繩索理想約束：1、光滑固定面約束5．剛性無重二力桿4．聯接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）6．固定端2．活動鉸支座、固定鉸支座和向心軸承7、剛體在粗糙面上的純滾動18即設質點系處于平衡，對于第i個質點：或記為虛位移原理或虛功原理:§

15-2虛位移原理

對于具有理想約束的質點系，其平衡的充分必要條件是：作用于質點系的所有主動力在任何虛位移中所作的虛功的和等于零。解析式為NiFriFrmiirrd虛功方程平面問題：對于質點系：(1)必要性：即質點系處于平衡時，必有∵質點系處于平衡∴選取任一質點Mi也平衡。對質點Mi的任一虛位移，有由于是理想約束所以對整個質點系：證明：20(2)充分性：即當質點系滿足，質點系一定平衡。在方向上產生實位移，取，則對質點系：與前題條件矛盾(理想約束：)若，質點系不平衡，則至少有第i個質點不平衡。故時質點系必處于平衡。所以：212、求系統在已知主動力作用下平衡時的約束反力；1、系統在給定位置平衡時，求主動力之間的關系；二、虛位移原理的應用3、如果系統有摩擦，將其視為主動力，可利用虛位移原理求解22研究對象：手柄、螺桿和壓板與s滿足如下關系：因是任意的，故解：例15-1如圖所示,在螺旋壓榨機的手柄AB上作用一在水平面內的力偶(F,F’),其力矩M=2Fl，螺桿的導程為h。求：機構平衡時加在被壓物體上的力。FF’2l虛位移：手柄轉過，壓板下移s不計摩擦，理想約束主動力：

M=2Fl和FNFNsACDBGEFr例15-2圖示結構，各桿自重不計，在G點作用一鉛直向上的力F，AC=CE=CD=CB=DG=GE=l。求：支座B的水平約束力。

解：在外力作用下，結構的形狀和位置都不發生變化。——不會產生剛體位移。為求B的水平約束力，解除B點水平約束。用相應的約束力FBx來表示。除AE桿外，各個桿均作平面運動，不易建立幾何關系，因此采用解析法。ACDBGEFrBxFr結構→→機構，可有位移。約束力FBx→→機構上的主動力。例15-2AC=CE=CD=CB=DG=GE=l。求：支座B的水平約束力。

解：ACDBGEFrBxFrxy帶入虛功方程

ACDBGEFr研究對象：解除約束后的系統解析法：參考坐標系必須固定不動！建立參考坐標系Axy例15-2已知結構受鉛直力F，AC=CE=CD=CB=DG=GE=l。彈簧的剛度系數k，伸長量為0。求：支座B的水平約束力。

解：在外力作用下，結構的形狀和位置都不發生變化。——不會產生剛體位移。為求B的水平位移，解除B點水平約束。用相應的約束力FBx來表示。彈簧是非理想約束，彈力屬內力，且作功。故去除彈簧，彈力→→機構上的主動力。結構→→機構，可有位移。約束力FBx→→機構上的主動力。ACDBGEFrACDBGEFrBxFrCFrGFr例15-2已知：力F，AC=CE=CD=CB=DG=GE=l。彈簧：k,0求：支座B的水平約束力。

解：xy帶入虛功方程

采用解析法建立參考坐標系AxyACDBGEFrACDBGEFrBxFrCFrGFr研究對象：解除約束和彈簧后的系統例15-3圖所示橢圓規機構中，連桿AB長為l，滑塊A，B與桿重均不計，忽略各處摩擦，機構在圖示位置平衡。求：主動力FA與FB之間的關系。解:

研究對象：滑塊A，B與桿組成的系統代入虛功方程：即在A、B

連線上投影相等受力分析：主動力FA、FBArrdBrrd幾何法：應用幾何法，必須畫出虛位移。虛位移之比是大小之比，虛功的正負，由主動力和虛位移的方向來定。例15-3圖所示橢圓規機構中，連桿AB長為l，滑塊A，B與桿重均不計，忽略各處摩擦，機構在圖示位置平衡。求：主動力FA與FB之間的關系。解:

研究對象：滑塊A，B與桿組成的系統代入虛功方程：即受力分析：主動力FA、FBArrdBrrd幾何法：AB的瞬心PPAB的虛角速度滑塊A的虛速度滑塊B的虛速度ABxy例15-3圖所示橢圓規機構中，連桿AB長為l，滑塊A，B與桿重均不計，忽略各處摩擦，機構在圖示位置平衡。求：主動力FA與FB之間的關系。解:

研究對象：滑塊A，B與桿組成的系統受力分析：主動力FA、FB解析法：建立坐標系得代入虛功方程ABxy例15-3圖所示橢圓規機構中，連桿AB長為l，滑塊A，B與桿重均不計，忽略各處摩擦，機構在圖示位置平衡。求：主動力FA與FB之間的關系。解:

研究對象：滑塊A，B與桿組成的系統受力分析：主動力FA、FB解析法：建立坐標系AB得代入虛功方程OABC例15-4如圖所示機構，不計各構件自重與各處摩擦，求機構在圖示位置平衡時，主動力偶矩M與主動力F之間的關系。hMFra

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