--五年級小數除法一、小數除以整數的計算方法：按照整數除法的方法計算，商的小數點要與被除數的小數點對齊。例1、李師傅用17.5米布做了5套同樣的服裝，平均每套服裝用布多少米？訓練1、用豎式計算（并驗算）38.4 4= 64.8 18=二．被除數的整數部分不夠除的解決辦法：如果小數的整數部分不夠除，商0，點上小數點繼續除。例2、一瓶果汁1.2升，正好倒滿 6杯。每杯果汁多少升？訓練2、用豎式計算（并驗算）-----3.28 4= 7.37 67=三、除到被除數的末尾仍有余數的解決辦法：如果除到被除數的末尾仍有余數，要在后面添0繼續除。例3、一根彩帶的長度是15.6米，奶奶把這根彩帶平均剪成5小段，每小段的長度是多少米？訓練3、用豎式計算（并驗算）5.3 8= 12.45 6=四、一個數除以小數的計算方法：先去掉除數的小數點，看除數有幾位小數，被除數的小數點就向右移動幾位，然后按照除數是整數的計算法則計算。例4、國內長途話費每分鐘0.55元，媽媽打一個國內長途電話一共用去5.17元，媽媽共打了幾分鐘的電話？-----訓練4、用豎式計算（并驗算）16.8 3.5= 3.434 0.85=例5、用豎式計算下面各題12.6 0.12= 10 0.64=訓練5、計算并驗算14.4 0.18= 4 0.25-----例6、在（）里填上“<”、“>”或“=”。并總結規律。0.7250.6（）0.72512.85（）12.84.251（）4.25總結：訓練6、在（）里填上“<”、“>”或“=”。1.21.01（）1.22.041（）2.04420.7（）424.51.5（）4.53.081.1（）3.081.50.810.09（）0.8116.43.2（）6.40.32五、商的近似數：用“四舍五入”法取商的近似數——除到保留數位的下一位，這一位上的數字小于5，舍去；大于或等于5，向前一位進“1”。例7、媽媽在超市買了降價促銷的襪子3雙，共8.5元，一雙襪子大約多少錢？（總價數量=單價）訓練7、列豎式計算。（1）得數保留一位小數（2）得數精確到百分位（3）精確到0.012.53.55.247.23.817-----例8、求出下面各題的商。（結果保留兩位小數）（觀察余數求近似數的方法：除到要保留的數位，把余數和除數比較，余數大于或等于除數的一半，保留數位末位加1；余數小于除數的一半，舍去。）15.6 4.6 10 745.5 38訓練8、列豎式計算。（結果保留兩位小數）50 13 3.81 7 3.77 1.3206 62.5六、循環小數：一個小數，從小數部分的某一位起，一個數字或者幾個數字一次不斷地重復出現，這樣的小數叫做循環小數。循環節：一個循環小數的小數部分，一次不斷重復出現的數字，叫做這個小數的循環節。循環小數的簡便記法：可以只寫一個循環節，在這個循環節-----.的首位和末位個記上一個圓點。 例：5.333···可寫作：5.3，. .7.145145 ···寫作7.145例9、計算下面各題，哪些商是循環小數？循環小數指出循環節（有限小數和無限小數）5.7 9 5 8 119 111訓練9、計算下面各題，商是循環小數的用簡便方法表示出來。3.8 9 4.8 9 100 620.28 13例10、指出下列小數哪些是純循環小數，哪些是混循環小數。純循環小數：循環節從小數部分第一位開始的叫純循環小數。混循環小數：循環節不是從小數部分第一位開始的叫混循環小數。...3.0535353···5.37.145....1.321.3012

.1.32. . . . .例11、把1.32、1.3232、1.32、1.323這四個數字按照從大到小的順序排列起來。-----. . . . .訓練11、把0.743、0.74、0.74、0.743這四個數按從小到大的順序排列。例12、0.20314314···的小數部分第100個數字是多少？小數部分前100個數字的和是多少？. .訓練12、（1）13.6258的小數部分第 872 位上的數字是幾？小數部分前 872個數字之和是多少？2）13.258258···的小數部分第872位上的數字是幾？小數部分前872個數字之和是多少？-----七、解決問題（1）有特殊數量關系的連除問題例13、4臺電子計算機5秒可以完成1.7億次計算，每臺電子計算機每秒可以完成多少億次計算？分析：關鍵理解題意：已知條件是什么？ 所求的問題是什么？解決問題：方法1： 方法2：訓練13、一個運輸隊3輛汽車5天共節油40.5千克，平均每輛汽車每天節油多少千克？在解決實際問題時，求需要多少容器、布袋，車輛等物品的數量時，根據需要，求得的結果要用“進一法”取整數。如：例14、糧油店要把60千克的食物油裝入最多能裝油4.5千克的油桶里，至少要多少個油桶才能把這些油裝完？-----訓練14、一種炸藥的安全距離是70米開外，在點燃炸藥的導火索后王叔叔以8米每秒的速度跑開，已知導火索每秒燃燒的速度是0.3米每秒，那么導火索至少需要多少米才能確保安全？（得數保留一位小數）在解決實際問題時，計算的結果不一定都用“四舍五入”法，要根據實際需要取近似值。如包裝紙、包裝袋等，計算結果要用“去尾法”。如：例15、某印刷廠要將939張16開的白紙，裝訂成每本40張得記事本，這些白紙最多可以裝訂多少本這樣的記事本？訓練15、五（1）班班委會買來4跟長度均為10米的繩子，準備為同學們做跳繩，一根跳繩1.4米，最多能做幾根跳繩？-----五年級簡便計算練習：0.25×16.2×4 (1.25－0.125)×8 3.6×1023.72×3.5＋6.28×3.515.6×13.1－15.6－15.6×2.1 4.8×7.8＋78×0.524.8×100.156.5×9.9＋56.57.09×10.8－0.8×7.0918.76×9.9＋1.876-----320÷1.25÷83.52÷2.5÷0.45.6÷3.54.2÷3.59.6÷0.8÷0.4 17.8÷(1.78×4) 3.2×0.25×12.5 2.3×16+2.3×23+2.37.74×（2.8－1.3）＋1.5×2.260.8×（4.3×1.25）3.9÷（1.3×5）32.4×0.9＋0.1×32.415÷0.252.5×2.44.9÷1.4-----練習、1、填一填。（1）0.6里面有（）個十分之一，有（）0.01，有（）千分之一。（2）0.036去掉小數點后，這個數擴大到原來的（）倍。（3）兩個數的商是0.81，除數縮小到原來的1，被除數不10變，商是（）。（4）1.9964保留一位小數約是（），精確到0.01約是（），精確到千分位是（）。（5）在取近似數時，遇到保留的小數位數的末尾是0時，這個0（）去掉，因為它即滿足了題目的要求，有表示精確程度。（6）一個小數的小數點向右移動一位，所得的數比原來多24.66，原數是（）。2、解決問題。（1）某公司在電視臺的黃金檔插播一條15秒的宣傳廣告，每天播出一次，連續一周，共付人民幣87.5萬元，平均每秒約多少萬元？（得數保留兩位小數）（2）一個紡織廠有 48臺織布機，3.5 小時共織布 974.4-----米。平均每臺織布機每小時織布多少米？3）做一套兒童服裝需用布2.2米，50米布可以做多少套這樣的服裝？4）一堆煤有27.4噸，用載重5噸的卡車運輸，至少要運多少次才能運完？（5）一段高速公路長486千米。一輛客車4.5小時可行全程，一輛貨車5.4小時可行完全程，貨車的速度比客車的速度慢多少？（6）一種一次性紙杯最多能裝 0.17 升飲料，現在有一桶重升的飲料，如果倒在這種紙杯里，需要多少個紙杯才能全部裝完這桶飲料？-----（7）修路隊修一條路，計劃每天修3.2千米，45天修完，實際每天修3.6千米，比計劃提前幾天完工？8）一輛越野車在沙漠中行駛32.5千米耗油6.5升。①它要穿越總路程為1300千米的無人沙漠區，至少得準備多少升汽油？②走出無人沙漠區后，在120千米外的曙光村才有加油站，這時油箱里至少還有多少升汽油才能到達加油站？-----因數和倍數一、知識點講解一）、因數與倍數的關系1、倍數與因數的意義：如果a×b=c（a,b,c都是不為0的自然數），那么a和b就是c的因數，c就是a和b的倍數。注意：倍數與因數之間的關系是相互的，不能單獨存在。只能說誰是誰的因數，誰是誰的倍數。不能說是誰是因數，誰是倍數。倍數因數只考慮正數。小數、分數等不討論倍數、因數的問題。例如：36的因數有（）。確定一個數的所有因數，我們應該從1的乘法口訣一次找出。如：1×36=36、2×18=36、3×12=36、4×9=36、6×6=36因此36的所有因數為：1、2、3、4、6、9、12、18、36。重復的和相同的只算一個因數。例如：7的倍數（ ）。確定一個數的倍數，同樣依據乘法口訣，如： 1×7=7、2×7=14、3×7=21、4×7=28、5×7=35??還有很多。因此7的倍數有：7、14、21、28、35、42??2、有前提條件的情況下確定倍數與因數例如：25以內5的倍數有（ 5、10、15、20、25 ）。特-----別注意前提條件是 25以內！例如：5、1、20、35、40、10、140、2以上各數中，是20的因數的數有（ ）；是20的倍數的數有（ ）；既是20的倍數又是20的因數的數有（ ）。首先我們應該明確 20的因數有哪些，然后在上面的數中一次找出，特別注意沒有在以上數字中出現的因數是不能填入括號的！3、關于倍數因數的一些概念性問題一個數的因數個數是有限的，最小的因數是1，最大的因數是他本身。一個數的倍數個數是無限的，最小的倍數是他本身，沒有最大的倍數。3)1是任一自然數（ 0除外）的因數。也是任一自然數（ 0除外）的最小因數。一個數的因數最少有1個，這個數是1。除1以外的任何整數至少有兩個因數（0除外）。一個數的因數都小于等于他本身，一個數的倍數都大于等于他本身。一個數的最小倍數=一個數的最大因數=這個數4、公倍數與公因數：如6和8的公因數有：1、2；6和8的公倍數有48、96??。二）、2，3，5的倍數的特征1、 2、3、5的倍數特征-----個位上是0，2，4，6，8的數都是2的倍數。例如：202、480、304，都能被2整除。個位上是0或5的數，是5的倍數。例如：5、30、405都能被5整除。3)一個數各個數位上的數的和是 3的倍數，這個數就是 3的倍數。例如： 12、108、204都能被3整除。個位上是0的數既是2的倍數又是5的倍數。例如：80、20、70、130等。個位上是0且各位數字的和是3的倍數，那么這個數既是2的倍數又是3和5的倍數。例如：120、90等。2、自然數按能否被2整除的特征可分為奇數和偶數。也就是說是2的倍數的數叫做偶數（0也是偶數），不是2的倍數的數叫做奇數。（因此在自然數中，除了奇數就是偶數）注意：偶數＋偶數=偶數偶數－偶數=偶數偶數×偶數=偶數偶數＋奇數=奇數偶數－奇數=奇數偶數×奇數=偶數奇數＋奇數=偶數奇數－偶數=奇數奇數×奇數=奇數奇數－奇數=偶數無論多少個偶數相加都是偶數偶數個奇數相加是偶數奇數個奇數相加是奇數3、一些特殊數的倍數的特征一個數各位數上的和能被9整除，這個數就是9的倍數。但是，能被3整除的數不一定能被9整除；能被9整除的數一定能被3整除。-----一個數的末兩位數能被4整除，這個數就是4的倍數。例如：16、404、1256都是4的倍數。一個數的末兩位數能被25整除，這個數就是25的倍數。例如：50、325、500、1675都是25的倍數。一個數的末三位數能被8（或125）整除，這個數就是8（或125）的倍數。例如：1168、4600、5000、12344都如果a和b都是c的倍數，那么a－b和a＋b一定也是c的倍數如果a是c的倍數，那么a乘以一個數（0除外）后的積也是c的倍數三）、質數和合數1、質數和合數的相關定義質數：一個數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數（或素數）合數：一個數，如果除了1和它本身還有別的因數，這樣的數叫做合數。1不是質數也不是合數，自然數除了1外，不是質數就是合數。如果把自然數按其因數的個數的不同分類，可分為質數（兩個因數）、合數（大于兩個因數）和1（1個因數）。100百以內的質數：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。共25個。6)質數×質數=合數 合數×合數=合數 質數×合數=合數2、分解質因數（分步相乘法、短除法）-----分解質因數：把一個合數分成幾個質數相乘的形式，叫做分解質因數。每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式。其中每個質數都是這個合數的因數，叫做這個合數的質因數，例如15=3×5，3和5叫做15的質因數。分解質因數，應該從最小的質數開始試積，直到每個因數都是質數時為止。例如： 24=2×1224=3×82×6 因此24=2×2×2×32×42×32×2二、例題講解一、倍數與因數的關系例1在18÷3=6中，()和()是()的因數。在3×9=27中，()是()和()的倍數。例2按要求寫出50以內6和8的所有倍數6的倍數 8的倍數-----既是6的倍數也是 8的倍數例 3 判斷：3 是因數，18 是倍數。????????（ ）例4下列各式中，被除數是除數的倍數的是（ BD）對嗎？A.22÷3=7.333??B.0.60.2=3C.43÷5=8.6D.54÷9=6例5按要求寫出100以內的數。4的倍數：8的倍數：12的倍數：二、2、3、5倍數的特征例1：下面哪些數是2的倍數？哪些數是5的倍數？哪些數是3的倍數？哪些數既是2和5的倍數，又是3的倍數？3513024100332120601574521106679087628099的倍數：5的倍數:3的倍數:-----既是2和5的倍數，又是 3的倍數:偶數：奇數：例2判斷：3個連續的自然數中，一定有兩個數偶數。????（ ）是奇數。所以3的倍數也是奇數。???? ??（ ）一個數既是 3的倍數也是 2的倍數，則這個數一定是6的倍數。????（ ）一 個 數 的 因 數 一 定 比 這 個 數小。?????????（ ）例3用0,5,6 組成的三位數中，是2的倍數的數有哪幾個？是5的倍數的數有哪幾個？既是 2又是5的倍數的數有哪幾個？例4既是3的倍數又是奇數的最大兩位數是（ ），最小兩位數是（ ）。例5奶奶買了14個蘋果，小明想平均分給三個人，他至少要吃掉幾個才能正好分完？例6 18的因數有（ ）個，倍數有（ ）個。-----A.4 B.5 C.6 D.無數例75□□0是有兩個相同數字的四位數，它同時是2,3和5的倍數。這個四位數最大是多少？最小是多少？例8一些珍珠分給幾個小朋友，每人分3顆多3顆，每人分5顆少5顆。一共有多少個小朋友？一共有多少顆珍珠？三、質數與合數1既不是質數，也不是合數。最小的質數是 2，最小的合數是4。例1找出42的全部因數。其中是質數的是？合數的是？例2找1-100的自然數中哪些數是質數？-----例3下面各數中哪些是質數？哪些是合數？132227174157612353768797334777991183605質數：合數：例4兩個質數的和是12，積是35，這兩個質數分別是多少？例5從下面的數字中任取兩個，按要求組成兩位數。 （各寫個）7 5 3 2 0質數：合數：奇數：偶數：三、課堂練習（一）1、填空題1)自然數中，（）的數叫做偶數，（）的數叫做奇數。2)個位上是（）或（）的數，是5的倍數。-----既是2的倍數又是5的倍數的數的特征是（）。4)6既是（）的倍數，又是（）的倍數，還是（）的倍數。5)奇數與偶數的和是（）數；奇數與奇數的和是（）數；偶數與偶數的和是（）數。6)87是一個（）數，還是一個（）數。一個兩位數，它既是5的倍數，又是3的倍數，而且是偶數，這個數最小是（ ）。8)在自然數范圍內，最小的質數是（ ），最小的合數是（ ），最小的奇數是（ ），最小的偶數是（ ）。2、判斷（對的打“√”，錯的打“×”）1)在自然數中，除了奇數就是偶數。（）2)個位上是3、6、9的數就是3的倍數。（）1是質數。 （ ）2既是偶數，又是質數。 （ ）所有的質數都是奇數。（）6)10是倍數，5是因數。（）7)自然數a的最大因數是a，最小倍數也是a。（）一個自然數不是質數就是合數。 （ ）-----3、選擇1)下面數中，( )既是2的倍數，又是 5的倍數。A.24 B.30 C.45（）的最小倍數是1。A.3B.0C.13)最小的質數與最小的合數的和是（）A.6B.5C.34)下面數中，()既是2的倍數，又是3的倍數。A.27B.36C.19兩個質數的和是12，積是35，這兩個質數是（）A.3和8B.2和9C.5和76)1、3、5都是15的（）A.質因數B.公因數C.因數7)一個合數至少有（）個因數。A.1B.2C.34、分類。456778342324151287685908949793197877737012355以上數中，偶數有（ ）奇數有（ ）質數有（ ）合數有（ ） 2的倍數有（ ）5的倍數有-----（ ）3的倍數有（ ）。5、在□里填一個數字，使每個數都是 3的倍數。□5，□里可以填（ ）;3□7，□里可以填（ ）;□78，□里可以填（ ）14□3，□里可以填（ ）;60□1，□里可以填（ ）。6、五·一班部分同學參加植樹活動，已經來了37人，5個人分成一組，至少還要來幾個人，才能正好分完？7、小洪買了以下幾本書，故事書10元一本，科技書8元一本，作文書7元一本。給售貨員50元，找回22元，對不對？為什么？（二）一、填空。（33%）-----（1）6×4=24，6和4是24的（ ），24是6的（ ），也是 4的（ ）。（2）24的因數有（ ）。（3）下面的數中，把質數劃去，留下合數。2 9 23 27 28 29 3135 37 39 51（4）一個數，既是 12的倍數，又是 12的因數，這個數是（ ）。（5）兩個都是質數的連續自然數是（ ）和（ ）。6）在15、18、29、35、39、41、47、58、70、這些數中：①是偶數的有（ ）； ②是奇數的有（ ）；③有因數3的是（ ）； ④5的倍數有（ ）。（7）最小的自然數是（ ），最小的質數是（ ）最小的合數是（ ）。二、選擇題。將正確答案的序號填在題中的括號里 。（8%）1）一個數是3的倍數，這個數各位上數的和（）。①大于 3 ②等于 3 ③是 3 的倍數④小于3（2）一個合數至少有（ ）。-----①一個因數 ②二個因數 ③三個因數④四個因數（3）87是（ ）；41是（ ）。①合數 ②質數 ③因數④倍數（4）既不是質數又不是合數的是（ ）。①1 ②2 ③3 ④4（5）42÷3＝14，我們可以說（ ）。①42是倍數 ②3是因數 ③42是3的倍數 ④42是3的因數（6）兩個奇數的和（ ）。①一定是奇數②一定是偶數③可能是奇數也可能是偶數④一定是質數（7）幾個質數之積一定是（）。①奇數②偶數③合數④質數（8）5和7都是35的（）。①奇數②偶數③因數④倍數三、生活中的數（16分）1、501班上體育課，有34人參加跳繩活動，要分成5人一組，至少還要再來幾個人？可以分成幾組？-----2、食品店運來75個面包，如果每2個裝一袋，能正好裝完嗎？如果每5個裝一袋，能正好裝完嗎？如果每3個裝一袋，能正好裝完嗎？為什么？3、晚上小明家正開著燈在吃晚飯，頑皮的弟弟按了 5下開關，這時燈是亮還是暗？如果按了 50下呢？四、課堂小結五、課后作業一、判斷題( )1、任何自然數，它的最大因數和最小倍數都是它本身。-----( )2、一個數的倍數一定大于這個數的因數。( )3、個位上是 0的數都是2和5的倍數。( )4、一個數的因數的個數是有限的，一個數的倍數的個數是無限的。( )5、5是因數，10是倍數。( )6、36的全部因數是 2、3、4、6、9、12和18，共有7個。( )7、因為18÷9=2，所以18是倍數，9是因數。( )9、任何一個自然數最少有兩個因數。( )10、一個數如果是 24的倍數，則這個數一定是 4和8的倍數。()11、15的倍數有15、30、45。()12、一個自然數越大，它的因數個數就越多。()13、兩個素數相乘的積還是素數。()14、一個合數至少得有三個因數。()15、在自然數列中，除2以外，所有的偶數都是合數。()16、15的因數有3和5。()17、1是16的因數，16是16的倍數。()18、8的因數只有2，4。()19、任何數都沒有最大的倍數。二、填空。-----1、在50以內的自然數中，最大的素數是（），最小的合數是（）。2、既是素數又是奇數的最小的一位數是（）。3、在20以內的素數中，（）加上2還是素數。4、如果有兩個素數的和等于24，可以是（）＋（），（）＋（）或（）＋（）。5、一個數的最小倍數減去它的最大因數，差是（）。6、一個數的最小倍數除以它的最大因數，商是（）。7、一個自然數比20小，它既是2的倍數，又有因數7，這個自然數是（）。8、如果a的最大因數是 17，b的最小倍數是 1，則a+b的和的所有因數有（ ）個；a-b 的差的所有因數有（ ）個；a×b的積的所有因數有（ ）個。9、比6小的自然數中，其中2是()的因數，又是()的倍數。10、個位上是()的數，都能被2整除；個位上是()的數，都能被5整除。11、在自然數中，最小的奇數是()，最小的偶數是()，最小的素數是()，最小的合數是()。12、素數只有()個因數，它們分別是()和()。13、一個合數至少有()個因數，()既不是素數，也不是合數。14、自然數中，既是素數又是偶數的是()。15、48的最小倍數是（），最大因數是（）。最小因數是（）。-----16、用5、6、7這三個數字，組成是 5的倍數的三位數是（ ）；組成一個是 3 的倍數的最小三位數是（ ）。17、一個自然數的最大因數是 24，這個數是（ ）。18、在27、68、44、72、587、602、431、800中。（共4分）奇數是： 偶數是：19、在2、3、45、10、22、17、51、91、93、97中。（共5分）素數是： 合數是：20、按要求做。（ 6~7題共12分）從0、3、5、7、這4個數中，選出三個組成三位數。（1）組成的數是2的倍數有：（2）組成的數是 5的倍數有： 。（3）組成的數是 3的倍數有：21、偶數+偶數= 奇數+奇數= 偶數+奇數=22、幼兒園的大班有36個小朋友，中班有48個小朋友，小班有54個小朋友。按班分組，三個班的各組人數一樣多，問每組最多有（ ）個小朋友。三、選擇題1、15的最大因數是（），最小倍數是（）。①1②3③5④152、在14＝2×7中，2和7都是14的（）。①素數②因數③質因數-----3、一個數，它既是 12的倍數，又是 12的因數，這個數是（ ）。①6 ②12 ③24 ④1444、一筐蘋果， 2個一拿，3個一拿，4個一拿，5個一拿都正好拿完而沒有余數，這筐蘋果最少應有（ ）。①120個②90個③60個④30個5、自然數中,凡是17的倍數（）。①都是偶數②有偶數有奇數③都是奇數6、下面的數，因數個數最多的是（）。A18B36C407、兩個素數的和是（ ）。A偶數B奇數C奇數或偶數8、自然數按是不是2的倍數來分，可以分為（）。A奇數和偶數B素數和合數C素數、合數、0和19、1是（）。A素數B合數C奇數D偶數10、甲數×3=乙數，乙數是甲數的（）。A倍數B因數C自然數11、同時是2、3、5的倍數的數是（）。A18B120C75D810四、應用題。-----1、一個小于30的自然數，既是8的倍數，又是12的倍數，這個數是多少?2、幼兒園里有一些小朋友，王老師拿了 32顆糖平均分給他們，正好分完。小朋友的人數可能是多少？最大公因數與最小公倍數例1、（1）求12和18的最大公因數；6（2）求10、16和24的最小公倍數；2403）有三根鐵絲，長度分別是120厘米、180厘米和300厘米。現在要把它們截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段長多少厘米？一共可以截成多少段？分析：∵要截成相等的小段，且無剩余，-----∴每段長度必是 120、180、300的公約數。練習1、加工某種機器零件，要經過三道工序。第一道工序每個工人每小時可加工3個，第二道工序每個工人每小時可加工5個，第三道工序每個工人每小時可加工 10個。要使流水線正常生產，各道工序安排幾個工人最合理？分析：要使流水線正常生產，不浪費人力和時間，加工零件的個數應是3、5、10的最小公倍數。最大共因數的求法 （輾轉相除法）例1.一張長方形紙，長2703厘米，寬1113厘米，要把它截成若干個同樣大小的正方形，紙張不能有剩余且正方形的邊長要盡可能大。問：這樣的正方形的邊長是多少厘米？輾轉相除法的介紹：輾轉相除法，又叫歐幾里得算法，是求兩個正整數的最大公因數的算法，是已知最古老的算法，可追溯至3000年前，首次出現于歐幾里得（幾何學的奠基人）的《幾何原本》，而在中國則可以追溯至東漢出現的《九章算術》。分析：由題意可知，正方形的邊長即是 2703 和1113 的最大公約數。我們可以用上面復習的短除法來求得這倆個數的最大公約數，可是很麻煩。那遇到類似此題情況，兩個數除了1以外的公約數一下不好找到，但又不能輕易斷定它們是互質的，怎么辦？在此，我們以例1為例，介紹一種新的求最大公約數的方法。對于例1，可做如下圖解：-----1111113151515399911131113477477

1594474472703從圖中可知：在長2703厘米、寬1113厘米的長方形紙的一端，依次裁去以寬（1113厘米）為邊長的正方形2個，在裁后剩下的長1113厘米，寬477厘米的長方形中，再裁去以寬（477厘米）為邊長的正方形2個，然后又在裁剩下的長方形（長477厘米，寬159厘米）中，以159厘米為邊長裁正方形，恰好裁成3個，且無剩余，因此可知，159厘米是477厘米、1113 厘米和2703 厘米的約數。所以裁成同樣大的，且邊長盡可能長的正方形的邊長應是159厘米。所以，159是2703和1113的最大公約數。把圖解過程轉化為計算過程，即：2703÷1113=2 ??4771113÷477=2??159477÷159=3當余數為0時，最后一個算式中的除數159就是原來兩個數2703和1113的最大公約數。解：∵2703=2×1113+4771113=2×477+159477=3×159∴（2703，1113）=159答：這樣的正方形的邊長是 159厘米。練習1、求1008、1260、882三個數的最大公因數是多少？126例2、兩個數的最大公因數是4，最小公倍數是252，其中一個數是28，另一個數是多少？解：設要求的數為 x，則有：4︳x28y7∴x=4×y，28=4×7-----28x=4×y×4×7又∵4是x和28的最大公約數，（y，7）=1，y×4×7是x和28的最小公倍數。x×28=4×252x=4×252÷28=36∴要求的數是 36.通過例2的解答過程，不難發現：如果用a和b表示兩個自然數，那么這兩個自然數的最大公約數與最小公倍數的關系是：a，b）×[a,b]=a×b這樣，求兩個數的最小公倍數的問題，即可轉化為先求兩個數的最大公約數，再用兩個數的乘積除以最大公因數，其結果就是這兩個數的最小公倍數。練習2、求62和93的最小公倍數。 186方法總結：求 2個自然數的最大公因數的方法：、觀察比較法、短除法、輾轉相除法。求2個自然數的最小公倍數的方法：1、短除法2、利用兩個自然數的最大公因數與最小公倍數的關系：（a，b）×[a,b]=a×b先求兩個自然數的最大公因數，再用兩個自然數的乘積除以最大公因數。特別地，對于求2個以上自然數的最大公因數與最小公倍數，上面的方法依然適用。具體可以先求其中任意兩個的數的最大公因數 （最小公倍數），再求這個公因數（公倍數）與另外一個數的最大公因數（最小公倍數） ，這樣求下去，直至求得最后結果。三、實際應用：例3、用某數去除600余5，去除818余13，去除871余求某數最大是多少？分析：根據已知條件可知：只要把 600減去5,818 減去13,871增加4后，這三個數都能被某數整除。再根據題中要求某數最大是多少，顯然就是求（600-5）、（818-13）和（871+4）這三個數的最大公因數。-----練習3、有一個自然數，去除81余1，去除61也余1，求這個自然數最大是多少？例4、有一袋水果糖，4塊4塊地數多3塊；6塊6塊地數多5塊；15塊15塊地數多14塊。這袋糖在150至200塊之間，問到底有多少塊？分析：由已知條件可知：這一袋糖只要增加 1塊，就正好是4、6、15的公倍數。也就是說，這袋糖的塊數比 4、6、15的公倍數少1.那么就可以先求出4、6、15的最小公倍數，然后再根據“這袋糖在150到200塊之間”這一條件找出它的塊數。練習 4、五（1）班有五十多位同學去大掃除，平均分成 4組多2人；平均分成 5組多3人。請你算一算，五1）班有多少位同學？58人。例5、把450個蘋果和250個橘子平均分配在若干只水果籃里，水果籃的只數在30~50之間。分到最后蘋果余30個，橘子少2個。問有多少只水果籃？分析：根據條件可知，水果籃里需要放蘋果450-30=420個，橘子250+2=252個。由于水果籃里的各種水果要分別相同，所以，籃子的只數應是420和252的公因數。先求出420和252的最大公因數為84，但籃子數沒有84只，而是在30到50之間，這就是說籃子的只數應是84的約數。將84的約數盡數寫出，可以發現，只有42符合條件。-----練習5、把150塊糖和80塊巧克力平均分給幼兒園的小朋友，他們的人數在 35~40 之間。分到最后糖多 6塊，巧克力多 8塊。問有多少個小朋友？有36個小朋友。習題1、一張長方形的紙，長7分米5厘米，寬6分米。現在把它裁成一些大小相等且盡可能大的正方形而無剩余，且邊長是整厘米數，可以裁多少塊？分析：題中單位不統一，需要先把單位統一，因為題中要求裁后無剩余，且裁成的正方形要最大，所以，正方形的邊長必須是75和60的最大公因數。求出了正方形的邊長，就不難求可以裁多少塊了。可以裁20塊。習題2、兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次，兄弟三人同時在十月一日回家，下一次三人再見面是哪一天？-----倍數問題一、知識要點倍數問題是數學競賽中的重要內容之一，它是指已知幾個數的和或差以及這幾個數之間的倍數關系，求這幾個數的應用題。解答倍數問題，必須先確定一個數（通常選用較小的數）作為標準數，即1倍數，再根據其它幾個數與這個1倍數的關系，確定“和”或“差”相當于這樣的幾倍，最后用除法求出1倍數。二、精講精練【例題1】兩根同樣長的鐵絲，第一根剪去 18厘米，第二根剪去 26厘米，余下的鐵絲第一根是第二根的 3倍。原來兩根鐵絲各長多少厘米？練習1：兩個數的和是682.其中一個加數的個位是0，如果把這個0去掉，就得到另一個加數。這兩個加數各是多少？兩根繩子一樣長，第一根用去6.5米，第二根用去0.9米，剩下部分第二根是第一根的3倍。兩根繩子原來各長多少米？-----一筐蘋果和一筐梨的個數相同，賣掉40個蘋果和15個梨后，剩下的梨是蘋果的6倍。原來兩筐水果一共有多少個？【例題2】甲組有圖書是乙組的3倍，若乙組給甲組6本，則甲組的圖書是乙組的5倍。原來甲組有圖書多少本？【思路導航】甲組的圖書是乙組的 3倍，若乙組拿出 6本，甲組相應的也拿出6×3=18本，則甲組仍是乙組的3倍。事實上甲組不但沒有拿出18本，反而接受了乙組的6本，18＋6就正好對應著后來乙組的（5－3）倍。因此，后來乙組有圖書（18＋6）÷（5－3）=12本，乙組原來有12＋6=18本，甲組原來有18×3=54本。練習2：原來小明的畫片是小紅的3倍，后來二人各買了3張，這樣小明的畫片就是小紅的2倍。原來二人各有多少張畫片？一個書架分上、下兩層，上層的書的本數是下層的4倍。從下層拿5本放入上層后，上層的本數正好是下層的5倍。原來下層有多少本書？-----3.幼兒園買來的蘋果的個數是梨的 3倍，吃掉10個梨和6個蘋果后，剩下的蘋果個數正好是梨的 5倍。原來買來蘋果和梨共多少個？【例題3】幼兒園買來蘋果的個數是梨的 2倍。大班的同學每 7人一組，每組領3個梨和4個蘋果，結果梨正好分完，蘋果還剩下 16個。大班共有多少個同學？【思路導航】因為蘋果是梨的 2倍，每組分 3個梨和3×2=6個蘋果最后就一起分完。可每組分 4個蘋果，少分 6－4=2個，所以有 8組同學，全班有 7×8=56 人。練習3：高年級同學植樹，共有杉樹苗和楊樹苗100棵。如果每個小組分給杉樹苗6棵，楊樹苗8棵，那么，杉樹苗正好分完，楊樹苗還剩2棵。兩種樹苗原來各有多少棵？2.高年級同學植樹，已知楊樹的棵數正好是杉樹的2倍。如果每小組分到杉樹6棵，楊樹8棵，那么，杉樹正好分完，楊樹還剩20棵。兩種樹原來各的多少棵？-----同學們帶著水果去看“敬老院”的老人，帶的蘋果是桔子的3倍。如果每位老人拿2個桔子和4個蘋果，那么，桔子正好分完，蘋果還剩下14個。同學們把水果分給了幾位老人？【例題4】有兩筐桔子，如果從甲筐拿出 8個放進乙筐，兩筐的桔子就同樣多； 如果從乙筐拿出 13個放到甲筐，甲筐的桔子是乙筐的 2倍。甲、乙兩筐原來各有多少個桔子？【思路導航】根據“從甲筐拿出 8個放進乙筐，兩筐的橘子就同樣多”可知，原來甲筐比乙筐多 8×2=16個橘子；如果從乙筐拿出13個放到甲筐，這時，甲筐就比乙筐多16＋13×2=42個。因此，乙筐里還有42÷（2－1）=42個，原來乙筐里有42＋13=55個，甲筐里原來有55＋16=71個。練習4：甲、乙兩倉存有貨物，若從甲倉取31噸放入乙倉，則兩倉所存貨物同樣多；若乙倉取14噸放入甲倉，則甲倉的貨物是乙倉的4倍。原來兩倉各存貨物多少噸？兄弟兩人原有同樣多的人民幣，后來哥哥買了5本書，平均每本8.4元；弟弟買了3支筆，每支筆1.2元，現在弟弟的錢是哥哥的3倍。兄弟兩人原來各有多少元？-----3.學校組織夏令營活動，如果參加的女生名額給5個男生，則男、女生人數同樣多；如果參加的男生名額給4個女生，則男生是女生人數的一半。原定夏令營中男、女生各多少人？【例題5】甲糧庫的存糧是乙糧庫的2倍，甲糧庫每天運出糧食40噸，乙糧庫每天運出30噸。若干天后，乙糧庫的糧全部運完，而甲糧庫還有80噸。甲、乙糧庫原來各有糧食多少噸？2倍，如果【思路導航】因為甲糧庫的存糧是乙糧庫的每天乙糧庫運30噸，甲糧庫運出30×2=60噸，兩糧庫的糧食就會同時運完。而實際上甲糧庫每天只運出40噸，所以，每天就少運60－40=20噸。80噸里包含有4個20噸，也就是已經運了4天，因此，甲糧庫原有糧食40×4＋80=240噸，乙糧庫原有240÷2=120噸。練習5：果園里桃樹的棵數是梨樹的3倍，某農民給這些果樹噴灑農藥，已知他每天噴灑24棵桃樹和10棵梨樹，幾天后，梨樹全部噴灑完，而桃樹還剩下24棵。果園里有桃樹和梨樹各多少棵？小朋友帶著一籃桔子和蘋果送給敬老院的老人們，每個老人分各3個蘋果和5個桔子，最后蘋果分完，籃子里還剩下7個桔子。如果原來桔子的個數是蘋果的 2倍，那么，分給了幾個老人？原來有多少個蘋果？-----甲、乙二人共存錢550元，當甲取出自己存款的一半，乙取出自己的70元錢時，兩人余下的錢正好相等。求甲、乙原來各存有多少錢？【例題6】，養雞場的母雞只數是公雞的6倍，后來公雞和母雞各增加60只，結果母雞只數就是公雞的4倍。原來養雞場一共養了多少只雞？6倍，如【思路導航】養雞場原來母雞的只數是公雞的果公雞增加60只，母雞增加60×6=360只，那么，后來的母雞只數還是公雞的6倍。可實際母雞只增加了60只，比360只少300只。因此，現在母雞只數只有公雞的4倍，少了2倍。所以，現在公雞的只數是300÷2=150只，原來有公雞150－60=90只，一共養了90×（1＋6）=630只雞。練習6：1.今年，爸爸的年齡是小明的6倍，再過4年，爸爸的年齡就是小明