2022山東省威海市皇冠中學高二數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1..已知，若向量與向量共線，則的最大值為（

）A．6

B．4

C．3

D．參考答案：A略2.關于x的不等式的解集中，恰有3個整數，則a的取值范圍是（）A.[－3,－2)∪(4,5] B.(－3,－2)∪(4,5) C.(4,5] D.(4,5)參考答案：A【分析】不等式等價轉化為，當時，得，當時，得，由此根據解集中恰有3個整數解，能求出的取值范圍。【詳解】關于的不等式，不等式可變形為，當時，得，此時解集中的整數為2，3，4，則；當時，得，，此時解集中的整數為-2，-1，0，則故a的取值范圍是，選：A?！军c睛】本題難點在于分類討論解含參的二次不等式，由于二次不等式對應的二次方程的根大小不確定，所以要對和1的大小進行分類討論。其次在觀察的范圍的時候要注意范圍的端點能否取到，防止選擇錯誤的B選項。3.函數的最小正周期為π，若其圖象向左平移個單位后得到的函數為奇函數，則函數f（x）的圖象(

) A．關于點對稱 B．關于點對稱 C．關于直線對稱 D．關于直線對稱參考答案：C考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；正弦函數的對稱性．專題：計算題．分析：由已知可求ω=2，再由f（x）=sin（2x+φ）向左移個單位得為奇函數則有Z），|φ|＜可求φ代入選項檢驗．解答： 解：由已知，則ω=2f（x）=sin（2x+φ）向左移個單位得為奇函數則有Z），∵|φ|＜∴φ=即．代入選項檢驗，當x=時，為函數的最大值根據三角函數的性質可知對稱軸處將取得函數的最值，C正確．故選：C點評：由三角函數的部分圖象的性質求解函數的解析式的關鍵是要熟練應用函數的性質，還要注意排除法在解題中的應用4.已知等比數列中，，且成等差數列，則等于() A．1

B．4

C．14

D．15參考答案：C略5.與是定義在上的兩個可導函數，若,滿足，則與滿足

A．

B．為常數函數

C.

D.為常數函數參考答案：B試題分析：由與在上可導，且,滿足，故所以為常數函數

考點：

可導函數的四則運算，常函數的導數6.設f（x）=3x2ex，則f′（2）=（）A．12e B．12e2 C．24e D．24e2參考答案：D【考點】導數的運算．【專題】計算題；函數思想；定義法；導數的概念及應用．【分析】求函數的導數即可得到結論．【解答】解：f′（x）=6xex+3x2ex，∴f′（2）=12e2+12e2=24e2．故選：D．【點評】本題主要考查導數的計算，要求熟練掌握常見函數的導數公式，比較基礎．7.高二某班共有學生56人，座號分別為1，2，3，…，56現根據座號，用系統抽樣的方法，抽取一個容量為4的樣本．已知4號、18號、46號同學在樣本中，那么樣本中還有一個同學的座號是（）A．30 B．31 C．32 D．33參考答案：C【考點】系統抽樣方法．【分析】根據系統抽樣原理求出抽樣間隔，由第一組抽出的學號得出每組抽出的學號是什么．【解答】解：根據系統抽樣原理得，抽樣間隔是=14，且第一組抽出的學號為4，那么每組抽出的學號為4+14（n﹣1），其中n=1、2、3、4；所以第二組抽取的學號為4+14×2=32．故選C．8.分析法證明不等式的推理過程是尋求使不等式成立的（

）A．必要條件

B．充分條件

C.

必要條件

D．必要條件或成分條件參考答案：B分析法是果索因，基本步驟：要證…只需證…，只需證…,分析法是從求證的不等式出發，找到使不等式成立的充分條件，把證明不等式的問題轉化為判定這些充分條件是否具有的問題．因此“分析法”證題的理論依據：尋找結論成立的充分條件或者是充要條件.

9.某中學為方便家長與學校聯系，在辦公樓的樓廳墻上張貼一副圖如下，下面敘述正確的是（

）A.教務處的直接領導是校長

B．教學副校長的直接下屬有督導處

C.這是一個流程圖

D．這是一個結構圖參考答案：D10.已知復數，若是純虛數，則實數等于（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.用1、2、3、4、5、6六個數組成沒有重復數字的六位數，其中5、6均排在3的同側，這樣的六位數共有__________個（用數字作答）．參考答案：480略12.已知曲線的極坐標方程為，直線的極坐標方程為，若直線與曲線有且只有一個公共點，則實數的值為_________.參考答案：或【分析】由曲線的極坐標方程為，轉化為，然后求出表示以為圓心，1為半徑的圓，將，化為直角坐標方程為，然后，由題意可知，然后求解即可【詳解】曲線的極坐標方程為，化為直角坐標方程為，即，表示以為圓心，1為半徑的圓，又由直線的極坐標方程是，即，化為直角坐標方程為，由直線與曲線有且只有一個公共點，，解得或，所以，答案為或【點睛】本題考查極坐標方程與直角坐標方程的互化以及直線與圓的位置關系問題，屬于基礎題13.12名同學合影，站成了前排4人后排8人，現攝影師要從后排8人中抽2人調整到前排，其他人的相對順序不變，則不同調整方法的種數

參考答案：84014.已知命題甲是“{x|≥0}”，命題乙是“{x|log3（2x+1）≤0}”，則甲是乙的條件．（從充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中選填）參考答案：必要不充分【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】利用不等式的解法分別化簡甲乙命題，進而判斷出結論．【解答】解：命題甲：≥0，化為x（x﹣1）（x+1）≥0，且x≠1，解得：﹣1≤x≤0，或x＞1．命題乙：log3（2x+1）≤0，化為0＜2x+1≤1，解得：0．則甲是乙的必要不充分條件．故答案為：必要不充分．15.從某小學隨機抽取100名學生，將他們的身高(單位：厘米)數據繪制成頻率分布直方圖(如圖)．由圖中數據可知a＝________.若要從身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三組內的學生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在[140,150]內的學生中選取的人數應為________．參考答案：0.03，3。16.設=.利用課本中推導等差數列前n項和的公式的方法，可求得的值為

．參考答案：略17.已知，則

參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在△ABC中，內角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，已知c=2，．（1）若△ABC的面積等于，求a，b；（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面積．參考答案：【考點】解三角形；三角形中的幾何計算．【分析】（1）由c及cosC的值，利用余弦定理列出關于a與b的關系式a2+b2﹣ab=4，再由已知三角形的面積及sinC的值，利用三角形的面積公式得出ab的值，與a2+b2﹣ab=4聯立組成方程組，求出方程組的解即可求出a與b的值；（2）利用正弦定理化簡sinB=2sinA，得到b=2a，與（1）得出的a2+b2﹣ab=4聯立組成方程組，求出方程組的解得到a與b的值，再由sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．【解答】解：（1）∵c=2，cosC=，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：a2+b2﹣ab=4，又△ABC的面積等于，sinC=，∴，整理得：ab=4，聯立方程組，解得a=2，b=2；（2）由正弦定理，把sinB=2sinA化為b=2a，聯立方程組，解得：，，又sinC=，則△ABC的面積．19.已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的左焦點為F，短軸的兩個端點分別為A、B，且|AB|=2，△ABF為等邊三角形．（1）求橢圓C的方程；（2）如圖，點M在橢圓C上且位于第一象限內，它關于坐標原點O的對稱點為N；過點M作x軸的垂線，垂足為H，直線NH與橢圓C交于另一點J，若，試求以線段NJ為直徑的圓的方程；（3）已知l1、l2是過點A的兩條互相垂直的直線，直線l1與圓O：x2+y2=4相交于P、Q兩點，直線l2與橢圓C交于另一點R；求△PQR面積取最大值時，直線l1的方程．參考答案：【考點】直線與橢圓的位置關系；橢圓的標準方程．【分析】（1）由橢圓左焦點為F，短軸的兩個端點分別為A、B，且|AB|=2，△ABF為等邊三角形，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．（2）設M（x0，y0），則由條件，知x0＞0，y0＞0，且N（﹣x0，﹣y0），H（x0，0）．推導出，進而求得直線NH的方程：．由．再求出線段HJ的中點坐標，由此能求出以線段NJ為直徑的圓的方程．（3）當直線l1的斜率為0時，．當直線l1的斜率存在且不為0時，設其方程為y=kx﹣1（k≠0），利用點到直線距離公式、弦長公式、直線垂直、三角形面積公式，結合已知條件能求出結果．【解答】解：（1）∵橢圓C：=1（a＞b＞0）的左焦點為F，短軸的兩個端點分別為A、B，且|AB|=2，△ABF為等邊三角形．∴由題意，得：，∴橢圓C的方程為．（2）設M（x0，y0），則由條件，知x0＞0，y0＞0，且N（﹣x0，﹣y0），H（x0，0）．從而．于是由．再由點M在橢圓C上，得．所以，進而求得直線NH的方程：．由．進而．∴以線段NJ為直徑的圓的方程為：．（3）當直線l1的斜率不存在時，直線l2與橢圓C相切于點A，不合題意，當直線l1的斜率為0時，由題意得．當直線l1的斜率存在且不為0時，設其方程為y=kx﹣1（k≠0），則點O到直線l1的距離為，從而由幾何意義，得，由于l2⊥l1，故直線l2的方程為，由題意得它與橢圓C的交點R的坐標為，于是．，，當且僅當時，上式取等號．∵，故當時，，此時直線l1的方程為：．（也可寫成．）20.已知△ABC的三邊長為a、b、c，且其中任意兩邊長均不相等．若a、b、c成等差數列．（1）比較與的大小，并證明你的結論；（2）求證角B不可能超過．參考答案：【考點】R8：綜合法與分析法(選修）．【分析】（1）由條件可得2b=a+c，利用基本不等式可得b2≥ac，再利用分析法即可證明；（2）由條件得到2b=a+c，再由余弦定理表示出cosB，兩式聯立消去b，得到關于a與c的關系式，整理后利用基本不等式變形，可得出cosB的范圍，利用余弦函數的圖象與性質，以及特殊角的三角函數值，根據B為三角形的內角，即可求出B的范圍．【解答】解：（1）∵△ABC的三邊a，b，c成等差數列，∴2b=a+c，∴b=≥，∴b2≥ac．要證≥，只要證≥，只要證b2≥ac，故≥成立（2）證明：△ABC的三邊a，b，c成等差數列，∴2b=a+c，再根據cosB==﹣≥﹣=，∴B∈（0，]，∴角B不可能超過．【點評】此題考查了余弦定理，等差、等比數列的性質，以及基本不等式的運用，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵，屬于中檔題．21.已知直線與曲線.（Ⅰ）若直線與直線垂直，求實數的值；（Ⅱ）若直線與曲線有且僅有兩個交點，求實數的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）直線的斜率，直線的斜率

∴

4分（Ⅱ）∵，∴恒過點

又∵曲線是單位圓在軸的上方部分且直線與曲線有且僅有兩個交點，先求直線與曲線相切時的斜率與點與點連線的斜率當直線與曲線相切，即經檢驗知

而，所以略22.如圖，已知橢圓過點，且離心率為.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過點A作斜率分別為的兩條直線，分別交橢圓于點M，N，且，求直線MN過定點的坐標.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）將代入橢圓方程，結合離心率和的關系即可求得結果；（Ⅱ）當直線斜率不存在時，根據可求得直線方程為；當直線斜率存在時，設直線為，與橢圓方程聯立可得韋達定