2021-2022學年遼寧省錦州市凌海第一中學高三數學文上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若一個底面為正三角形、側棱與底面垂直的棱柱的三視圖如下圖所示，則這個棱柱的體積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B2.在R上定義運算:,若不等式對任意的實數x成立，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C3.下列四種說法正確的是（

）①函數的定義域是，則“”是“函數為增函數”的充要條件；②命題“”的否定是“”；③命題“若x=2，則”的逆否命題是真命題；④p：在△ABC中，若cos2A=cos2B，則A=B；q：y=sinx在第一象限是增函數，則為真命題．A.①②③④

B.②③

C.③④

D.③參考答案：D4.已知數列為等比數列，若，則等于

A．

B．

C．

D．參考答案：C5.已知O為坐標原點，F是雙曲線的左焦點，A，B分別為Γ的左、右頂點，P為Γ上一點，且PF⊥x軸，過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E，直線BM與y軸交于點N，若|OE|=2|ON|，則Γ的離心率為（）A．3 B．2 C． D．參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】根據條件分別求出直線AE和BN的方程，求出N，E的坐標，利用|OE|=2|ON|的關系建立方程進行求解即可．【解答】解：∵PF⊥x軸，∴設M（﹣c，0），則A（﹣a，0），B（a，0），AE的斜率k=，則AE的方程為y=（x+a），令x=0，則y=，即E（0，），BN的斜率k=﹣，則AE的方程為y=﹣（x﹣a），令x=0，則y=，即N（0，），∵|OE|=2|ON|，∴2||=||，即=，則2（c﹣a）=a+c，即c=3a，則離心率e==3，故選：A6.已知集合，集合，則(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C略7.設f(x)是R上的任意函數，給出下列四個函數：①f(x)f(－x)；②f(x)|f(－x)|；③f(x)－f(－x)；④f(x)＋f(－x)．則其中是偶函數的為()A．①②

B．②③

C．③④

D．①④參考答案：D8.設等差數列的前項和為、是方程的兩個根，

A．

B．5

C．

D．-5參考答案：A因為、是方程的兩個根，所以。又，選A.9.若tanα=3，則sin2α=（）A． B．﹣ C．﹣ D．參考答案：A【考點】同角三角函數基本關系的運用．【分析】利用同角三角函數的基本關系、二倍角的正弦公式，求得sin2α的值．【解答】解：tanα=3，則sin2α===，故選：A．10.已知集合，則集合（）(A)

(B)[0,1]

(C)

(D)參考答案：C因為，所以，∴選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知平面向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為60°，則|2a－b|的值為

▲

．參考答案：2因為，，與的夾角為60°，所以，故，故答案為2.

12.C.（不等式選做題）不等式的解集為

參考答案：13.對于拋物線C，設直線l過C的焦點F，且l與C的對稱軸的夾角為．若l被C所截得的弦長為4，則拋物線C的焦點到頂點的距離為．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質．【分析】設拋物線方程為y2=2px（p＞0），得出直線l的方程，聯立方程組得出根與系數的關系，利用弦長公式列方程解出p．則焦點到頂點的距離為．【解答】解：不妨設拋物線方程為y2=2px（p＞0），則拋物線的焦點F（，0），則直線l的方程為y=x﹣．聯立方程組，消元得y2﹣2py﹣p2=0．∴y1+y2=2p，y1y2=﹣p2．∴直線l被拋物線解得弦長為=4．∴=4，解得p=1．∴F（，0）．即拋物線C的焦點到頂點的距離為．故答案為：．14.已知向量，若，則的最小值為

。參考答案：815.已知f(x)是偶函數，且時，則 .參考答案：

9

16.下列關于函數的描述中，正確的是_____.（填寫正確命題的序號）①π是f(x)的一個周期；②f(x)是偶函數；③；④，與有且只有2個公共點.參考答案：①②③【分析】假設π為函數的周期，代入檢驗即可判斷；同理，代入與比較，即可判斷是否為偶函數；根據周期與偶函數性質，求得在上的值域即為在上的值域，利用輔助角公式即可求解；畫出在的圖象，即可判斷與的交點個數。【詳解】，故①正確；因為，所以為偶函數，故②正確；由①②得在上的值域與其在上的值域相同，當時，，角的終邊過點，故，，，所以的值域為，故③正確；，的圖象如圖，所以，與有且只有3個公共點，故④錯誤.【點睛】本題考查了三角函數的周期性、奇偶性和單調性與值域的綜合應用，函數圖象的畫法及應用，屬于中檔題。17.一個幾何體的三視圖如圖所示，俯視圖為等邊三角形，若其體積為8，則a=．參考答案：2【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】由三視圖可知：該幾何體為正三棱柱，底面正三角形的邊上的高為2，棱柱的高為a，即可得出該幾何體的體積．【解答】解：由三視圖可知：該幾何體為正三棱柱，底面正三角形的邊上的高為2，棱柱的高為a，∴底面正三角形的邊長=4，∴該正三棱柱的體積V==，解得a=2．故答案為：2．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18..已知集合，有下列命題：①若，則；②若，則；③若，則可為奇函數；④若，則對任意不等實數，總有成立．其中所有正確命題的序號是

．（填上所有正確命題的序號）

參考答案：略19.（本小題滿分12分）某地區交通執法部門從某日上午9時開始對經過當地的200輛超速車輛的速度進行測量并分組，并根據測得的數據制作了頻率分布表如下，若以頻率作為事件發生的概率．（Ⅰ）求x，y，z的值，并估計該地區的超速車輛中超速不低于20％的頻率；（Ⅱ）若在第2，3，4，5組用分層抽樣的方法隨機抽取12名司機做回訪調查，并在這12名司機中任意選3人，求這3人中超速在[20％，80％）之間的人數的數學期望．參考答案：（Ⅰ）由題意得，，.…………………（3分）該地區的超速車輛中超速不低于20%的頻率為.…………（5分）（Ⅱ）若在第2，3，4，5組用分層抽樣的方法隨機抽取12名司機，則在第2，3，4，5組抽取的人數分別是6，3，2，1.………………（7分）

設任意選取的3人超速在之間的人數是，則或.……………（9分），，…………（11分）所以.……………（12分）20.設F1，F2分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓E上，且點P和F1關于點對稱.（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）過右焦點F2的直線l與橢圓相交于A，B兩點，過點P且平行于AB的直線與橢圓交于另一點Q，問是否存在直線l，使得四邊形的對角線互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由.參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）存在直線l為滿足題意，詳見解析【分析】（Ⅰ）根據對稱性求出點，從而可得出橢圓兩焦點的坐標，利用橢圓定義求出的值，結合的值，可求出的值，從而寫出橢圓的方程；（Ⅱ）設直線的方程為，可得出直線的方程為，設，，將直線的方程與橢圓的方程聯立，消去，得出有關的一元二次方程，并列出韋達定理，同理將直線的方程與橢圓的方程聯立可得出點的坐標，由已知條件得出線段與的中點重合，從而可得出有關的方程，求出的值，即可得出直線的方程。【詳解】（Ⅰ）解：由點和關于點對稱，得，

所以橢圓E的焦點為，，

由橢圓定義，得.所以，.

故橢圓的方程為；（Ⅱ）解：結論：存在直線，使得四邊形的對角線互相平行.理由如下：由題可知直線，直線的斜率存在，設直線的方程為，直線的方程為由，消去得，

由題意，可知，設，，則，，

由消去,得，由，可知，設，又，則若四邊形的對角線互相平行，則與的中點重合，所以，即故所以解得，所以直線為，四邊形的對角線互相平分。【點睛】本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，對于直線與橢圓的綜合問題，常采用韋達定理法，本題中注意到四邊形為平行四邊形，利用兩對角線互相平分結合韋達定理進行求解，這是解題的關鍵，同時在解題中也要注意韋達定理法適用的情形。21.已知圓，直線過點M(－m,0)且與圓相交于兩點．（Ⅰ）如果直線的斜率為，且，求的值；（Ⅱ）設直線與軸交于點，如果，求直線的斜率．參考答案：(I)解：由已知，直線的方程為，圓心（0,0）到直線的為.因為|AB|=6，所以，解得.由，得.(II)解：設A()，直線:，則點P(0,).因為，所以或，當時，,所以,.由方程組得.當時，，所以，.由方程組得.綜上，直線的斜率為±1，.略22.設{an}是等差數列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比數列．（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）記{an}的前n項和為Sn，求Sn