2021-2022學年浙江省杭州市衢州中學高三數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知、為兩條不同的直線，、為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（

）A．若,,且,則B．若平面內有不共線的三點到平面的距離相等，則C．若，則D．若，則參考答案：D2.設直線與圓相切，則(A).

(B).

(C).

(D).參考答案：A略3.函數的一條對稱軸方程是（

） A．

B．

C．

D．參考答案：B略4.已知向量=（，k），=（k﹣1，4），若⊥，則實數k的值為（）A． B． C．﹣ D．2參考答案：A【考點】數量積判斷兩個平面向量的垂直關系．【專題】方程思想；綜合法；平面向量及應用．【分析】由題意可得?=（k﹣1）+4k=0，解方程可得．【解答】解：∵向量=（，k），=（k﹣1，4），且⊥，∴?=（k﹣1）+4k=0，解得k=，故選：A．【點評】本題考查平面向量的數量積和垂直關系，屬基礎題．5.三棱錐P﹣ABC中，底面△ABC滿足BA=BC，，P在面ABC的射影為AC的中點，且該三棱錐的體積為，當其外接球的表面積最小時，P到面ABC的距離為（）A．2 B．3 C． D．參考答案：B【考點】MK：點、線、面間的距離計算；LR：球內接多面體．【分析】設AB=a，棱錐的高為h，根據體積得出a與h的關系，根據勾股定理得出外接球半徑R關于h的表達式，利用基本不等式得出R最小值時對應的h的值即可．【解答】解：設AC的中點為D，連接BD，PD，則PD⊥平面ABC，∵△ABC是等腰直角三角形，∴外接球的球心O在PD上，設AB=BC=a，PD=h，外接球半徑OC=OP=R，則OD=h﹣R，CD=AC=a，∵VP﹣ABC===，∴a2=，∵CD2+OD2=OC2，即（h﹣R）2+a2=R2，∴R===≥3=，當且僅當即h=3時取等號，∴當外接球半徑取得最小值時，h=3．故選：B．【點評】本題考查了棱錐的結構特征，棱錐與球的位置關系，屬于中檔題．6.命題“且”的否定形式是（

）A．或

B．或C．或

D．且參考答案：C7.由０，１，２，…，９這十個數組成無重復數字的四位數中，個位數字與百位數字之差的絕對值等于８的個數為（）

Ａ、180

B、196

C、210

D、224參考答案：C8.如果數列，，，…，，…是首項為1，公比為的等比數列，則等于(

)

A．32

B．64

C．-32

D．-64參考答案：A9.設，，若直線與圓相切，則的取值范圍是（

）（A）

（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）參考答案：D∵直線與圓相切，∴圓心到直線的距離為，所以，設，則，解得.10.某種商品一年內每件出廠價在7千元的基礎上，按月呈的模型波動（為月份），已知3月份達到最高價9千元，7月份價格最低為5千元，根據以上條件可確定的解析式為(

)A.

Ks5u

B.C.

D.參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.復數的虛部是．參考答案：【考點】復數代數形式的乘除運算；復數的基本概念．【專題】計算題．【分析】復數的分子、分母同乘分母的共軛復數，復數化簡為a+bi（a，b∈R）的形式，即可．【解答】解：復數==，它的虛部為：，故答案為：．【點評】本題是基礎題，考查復數代數形式的乘除運算，復數的基本概念，考查計算能力，常考題型．12.若函數的最小值為，最大值為，則＝_________．參考答案：【測量目標】數學基本知識和基本技能/理解或掌握初等數學中有關方程與代數的基本知識.【知識內容】函數與分析/函數及其基本性質/函數的基本性質;方程與代數/數列與數學歸納法/數列的極限.【試題分析】因為，所以，所以，.13.已知是正整數，若關于的方程有整數解，則所有可能的取值集合是

．參考答案：14.已知函數f（x）的定義域[﹣1，5]，部分對應值如表，f（x）的導函數y=f′（x）的圖象如圖所示x﹣10245F（x）121.521下列關于函數f（x）的命題；①函數f（x）的值域為[1，2]；②函數f（x）在[0，2]上是減函數③如果當x∈[﹣1，t]時，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為4；④當1＜a＜2時，函數y=f（x）﹣a最多有4個零點．其中正確命題的序號是①②④．參考答案：①②④略15.設函數，則“為奇函數”是“”的

條件.（選填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）

參考答案：略16.若,且，則實數m的值為

.參考答案：1或-3略17.已知滿足，則的取值范圍是

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題共13分）某中學號召學生在今年春節期間至少參加一次社會公益活動（以下簡稱活動）．該校合唱團共有100名學生，他們參加活動的次數統計如圖所示．（I）求合唱團學生參加活動的人均次數；（II）從合唱團中任意選兩名學生，求他們參加活動次數恰好相等的概率．（III）從合唱團中任選兩名學生，用表示這兩人參加活動次數之差的絕對值，求隨機變量的分布列及數學期望．參考答案：解析：由圖可知，參加活動1次、2次和3次的學生人數分別為10、50和40．（I）該合唱團學生參加活動的人均次數為．（II）從合唱團中任選兩名學生，他們參加活動次數恰好相等的概率為．（III）從合唱團中任選兩名學生，記“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加2次活動”為事件，“這兩人中一人參加2次活動，另一人參加3次活動”為事件，“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加3次活動”為事件．易知

；

；的分布列：012的數學期望：．19.（14分）（2016秋?天津期中）已知函數f（x）=alnx﹣x+1（a∈R）．（1）求f（x）的單調區間；（2）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求所有實數a的值；（3）證明：（n∈N，n＞1）參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性．【專題】函數思想；導數的綜合應用．【分析】（1）求導，利用導數得出函數單調性；（2）對a進行分類：當a≤0時，f（x）遞減，又知f（1）=0可得f（x）＞0（x∈（0，1）；當a＞0時，只需求f（x）max=f（a）=alna﹣a+1，讓最大值小于等于零即可；（3）利用（2）的結論，對式子變形可得=＜=．【解答】解：（1）f'（x）=當a≤0時，f'（x）＜0，f（x）遞減；當a＞0時，x∈（0，a）時，f'（x）＞0，f（x）遞增；x∈（a+∞）時，f'（x）＜0，f（x）遞減；（2）由（1）知，當a≤0時，f（x）遞減，∵f（1）=0∴f（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立，當a＞0時，x∈（0，a）時，f'（x）＞0，f（x）遞增；x∈（a+∞）時，f'（x）＜0，f（x）遞減；∴f（x）max=f（a）=alna﹣a+1令g（a）=alna﹣a+1∴g'（a）=lna∴g（a）的最小值為g（1）=0∴alna﹣a+1≤0的解為a=1；（3）由（2）知：lnx＜x﹣1x＞1∵=＜=∴++…+＜++…+=．【點評】考察了導函數求單調性和最值問題，利用結論證明不等式問題．難點是對式子的變形整理．20.已知點P（，1），Q（cosx，sinx），O為坐標原點，函數f（x）=．（Ⅰ）求函數f（x）的解析式及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若A為△ABC的內角，f（A）=4，BC=3，求△ABC周長的最大值．參考答案：【考點】三角函數中的恒等變換應用；正弦函數的圖象．【分析】（Ⅰ）利用向量的數量積以及兩角和與差的三角函數化簡函數的解析式，然后求解f（x）的最小正周期；（Ⅱ）利用函數的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范圍，然后利用基本不等式求解最值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=?=（，1）?（﹣cosx，1﹣sinx）=﹣cosx﹣sinx+4=﹣2sin（x+）+4，f（x）的最小正周期T=2π；（Ⅱ）∵f（A）=4，∴A=，又∵BC=3，∴9=（b+c）2﹣bc．∵bc≤，∴，∴b+c≤2，當且僅當b=c取等號，∴三角形周長最大值為3+2．21.如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四邊形ABCD為菱形，A1A=AB=2，∠ABC=，E，F分別是BC，A1C的中點．（1）求異面直線EF，AD所成角的余弦值；（2）點M在線段A1D上，=λ．若CM∥平面AEF，求實數λ的值．參考答案：【考點】異面直線及其所成的角；直線與平面平行的性質．【分析】（1）建立坐標系，求出直線的向量坐標，利用夾角公式求異面直線EF，AD所成角的余弦值；（2）點M在線段A1D上，=λ．求出平面AEF的法向量，利用CM∥平面AEF，即可求實數λ的值．【解答】解：因為四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1為直四棱柱，所以A1A⊥平面ABCD．又AE?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以A1A⊥AE，A1A⊥AD．在菱形ABCD中∠ABC=，則△ABC是等邊三角形．因為E是BC中點，所以BC⊥AE．因為BC∥AD，所以AE⊥AD．建立空間直角坐標系．則A（0，0，0），C（，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（，0，0），F（，，1）．（1）=（0，2，0），=（﹣，，1），所以異面直線EF，AD所成角的余弦值為=．

…（2）設M（x，y，z），由于點M在線段A1D上，且=λ，則（x，y，z﹣2）=λ（0，2，﹣2）．則M（0，2λ，2﹣2λ），=（﹣，2λ﹣1，2﹣2λ）．

…設平面AEF的法向量為=（x0，y0，z0）．因為=（，0，0），=（，，1），由，得x0=0，y0+z0=0．取y0=2，則z0=﹣1，則平面AEF的一個法向量為n=（0，2，﹣1）．

…由于CM∥平面AEF，則=0，即2（2λ﹣1）﹣（2﹣2λ）=0，解得λ=．…22.（本題滿分12分）甲、乙、丙三個同學同時報名參加某重點高校2014年自主招生，高考前自主招生的程序為審核材料和文化測試，只有審核過關后才能參加文化測試，文