2021-2022學年河南省洛陽市伊川縣第四高級中學高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設是半徑為1的圓上的三點，且，則的最大值是（

）A．

B．

C.

D．1參考答案：A2.設集合，，，且，則A．1

B．2

C．3

D．9參考答案：B3.一個正方體的展開圖如圖所示，A、B、C、D為原正方體的頂點，則在原來的正方體中（

）A．AB∥CD

B．AB與CD相交

C．AB⊥CD

D．AB與CD所成的角為60°參考答案：D將正方體的展開圖，還原為正方體，AB，CD為相鄰表面，且無公共頂點的兩條面上的對角線∴AB與CD所成的角為60°故選D．4.某班的全體學生參加消防安全知識競賽，成績的頻率分布直方圖如圖，數據的分組依次為：[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人數是15，則該班的學生人數是A．45

B．50

C．55

D．60參考答案：B5.《九章算術》是中國古代數學名著，體現了古代勞動人民數學的智慧，其中第六章“均輸”中，有一竹節容量問題，某教師根據這一問題的思想設計了如圖所示的程序框圖，若輸出的m的值為35，則輸入的a的值為（）A．4 B．5 C．7 D．11參考答案：A【考點】EF：程序框圖．【分析】模擬程序框圖的運行過程，求出運算結果即可．【解答】解：起始階段有m=2a﹣3，i=1，第一次循環后m=2（2a﹣3）﹣3=4a﹣9，i=2，第二次循環后m=2（4a﹣9）﹣3=8a﹣21，i=3，第三次循環后m=2（8a﹣21）﹣3=16a﹣45，i=4，第四次循環后m=2（16a﹣45）﹣3=32a﹣93，跳出循環，輸出m=32a﹣93=35，解得a=4，故選：A【點評】本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的答案，是基礎題．6.已知函數，若函數為奇函數，則實數為（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：7.已知函數，給出下列四個命題，其中正確的命題為

（

）①若②的最小正周期是；③在區間上是增函數；④的圖象關于直線對稱；⑤當時，的值域為

A．①②④

B．③④⑤

C．②③

D．③④參考答案：D8.點集{（x，y）|（|x|﹣1）2+y2=4}表示的圖形是一條封閉的曲線，這條封閉曲線所圍成的區域面積是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】曲線與方程．【專題】綜合題；推理和證明．【分析】由曲線的方程可得，曲線關于兩個坐標軸及原點都是對稱的，故畫出圖象，結合圖象求得圍成的曲線的面積．【解答】解：點集{（x，y）|（|x|﹣1）2+y2=4}表示的圖形是一條封閉的曲線，關于x，y軸對稱，如圖所示．由圖可得面積S==+=+2．故選：A．【點評】本題考查線段的方程特點，由曲線的方程研究曲線的對稱性，體現了數形結合的數學思想．9.設集合,則滿足的集合的個數是（

）A．1

B．3

C．4

D．8參考答案：C略10.（2009江西卷理）若函數，，則的最大值為A．1

B．

C．

D．參考答案：B解析：因為==當是，函數取得最大值為2.故選B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若tan（α+）=，則tanα=．參考答案：略12.已知函數f（x）=則方程f（x）=ax恰有兩個不同實數根時，實數a的取值范圍是．參考答案：[，）【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程；函數的零點與方程根的關系；分段函數的應用．【專題】綜合題；導數的綜合應用．【分析】由題意，方程f（x）=ax恰有兩個不同實數根，等價于y=f（x）與y=ax有2個交點，又a表示直線y=ax的斜率，求出a的取值范圍．【解答】解：∵方程f（x）=ax恰有兩個不同實數根，∴y=f（x）與y=ax有2個交點，又∵a表示直線y=ax的斜率，∴y′=，設切點為（x0，y0），k=，∴切線方程為y﹣y0=（x﹣x0），而切線過原點，∴y0=1，x0=e，k=，∴直線l1的斜率為，又∵直線l2與y=x+1平行，∴直線l2的斜率為，∴實數a的取值范圍是[，）故答案為：[，）．【點評】本題考查了函數的圖象與性質的應用問題，考查函數與方程的關系，是易錯題．13.設數列，都是正項等比數列，，分別為數列與的前n項和，且，則

．參考答案：14.已知實數、滿足，則－3的最大值是____．參考答案：-115.設二次函數,當時，的所有整數值的個數為

(用表示）參考答案：16.設函數，若，則以為坐標的點所構成的圖形面積是______________．參考答案：略17.如圖所示的流程圖是將一系列指令和問題用框圖的形式排列而成，箭頭將告訴你下一步到哪一個框圖．閱讀右邊的流程圖，并回答下面問題：若，則輸出的數是．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一點A（2，4）．（1）設圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標準方程；（2）設平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點，且BC=OA，求直線l的方程；（3）設點T（t，0）滿足：存在圓M上的兩點P和Q，使得+=，求實數t的取值范圍．參考答案：【考點】圓的一般方程；直線與圓的位置關系．【分析】（1）設N（6，n），則圓N為：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，從而得到|7﹣n|=|n|+5，由此能求出圓N的標準方程．（2）由題意得OA=2，kOA=2，設l：y=2x+b，則圓心M到直線l的距離：d=，由此能求出直線l的方程．（3）=，即||=，又||≤10，得t∈[2﹣2，2+2]，對于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使，只需要作直線TA的平行線，使圓心到直線的距離為，由此能求出實數t的取值范圍．【解答】解：（1）∵N在直線x=6上，∴設N（6，n），∵圓N與x軸相切，∴圓N為：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，又圓N與圓M外切，圓M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圓M：（（x﹣6）2+（x﹣7）2=25，∴|7﹣n|=|n|+5，解得n=1，∴圓N的標準方程為（x﹣6）2+（y﹣1）2=1．（2）由題意得OA=2，kOA=2，設l：y=2x+b，則圓心M到直線l的距離：d==，則|BC|=2=2，BC=2，即2=2，解得b=5或b=﹣15，∴直線l的方程為：y=2x+5或y=2x﹣15．（3）=，即，即||=||，||=，又||≤10，即≤10，解得t∈[2﹣2，2+2]，對于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使，此時，||≤10，只需要作直線TA的平行線，使圓心到直線的距離為，必然與圓交于P、Q兩點，此時||=||，即，因此實數t的取值范圍為t∈[2﹣2，2+2]，．【點評】本題考查圓的標準方程的求法，考查直線方程的求法，考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質的合理運用．19.已知集合，.（Ⅰ）在區間上任取一個實數，求“”的概率；（Ⅱ）設為有序實數對，其中是從集合中任取的一個整數，是從集合中任取的一個整數，求“”的概率．參考答案：解：（Ⅰ）由題意知，，都是邊長為2的等邊三角形，取中點，連接，則，，……2分又∵平面⊥平面，∴⊥平面，作⊥平面，那么，根據題意，點落在上，∴，易求得，…………4分∴四邊形是平行四邊形，∴，∴平面…………6分（文）

12分

略20.設，集合，，。（1）求集合（用區間表示）（2）求函數在內的極值點。參考答案：（1）對于方程判別式因為，所以①

當時，，此時，所以；②

當時，，此時，所以；當時，，設方程的兩根為且，則，③

當時，，，所以此時，（2），所以函數在區間上為減函數，在區間和上為增函數

①是極點

②是極點

得：時，函數極值點為，時，函數極值點為與21.已知函數．（1）當時，如果函數僅有一個零點，求實數的取值范圍；（2）當時，試比較與1的大小；Ks5u

（3）求證：參考答案：解：（1）當時，，定義域是，，令，得或．

當或時，，當時，，的極大值是，極小值是．當時，；當時，，當僅有一個零點時，的取值范圍是或．……………4分

（2）當時，，定義域為．Ks5u

令，

，

在上是增函數． ①當時，，即；②當時，，即；③當時，，即．

……………8分（3）（法一）根據（2）的結論，當時，，即．令，則有，

．，．

…………………12分(法二)當時，．，，即時命題成立．

設當時，命題成立，即．Ks5u時，．根據（2）的結論，當時，，即．令，則有，則有，即時命題也成立．分因此，由數學歸納法可知不等式成立略22.（本小題