第一講第三節第1課時一、選擇題(每小題5分，共20分)1．如圖，AD∥EF∥BC，GH∥AB，則圖中與△BOC相似的三角形的個數為()A．1 B．2C．3 D．4解析：根據相似三角形的預備定理得△OEF∽△OBC(∵EF∥BC)；△CHG∽△CBO(∵HG∥OB)；△OAD∽△OBC(∵AD∥BC)．故與△BOC相似的三角形有3個．答案：C2.如圖，△ABC∽△AED∽△AFG，DE是△ABC的中位線，△ABC與△AFG的相似比是3∶2，則△AED與△AFG的相似比是()A．3∶4 B．4∶3C．8∶9 D．9∶8解析：因為△ABC與△AFG的相似比是3∶2，故AB∶AF＝3∶2，又△ABC與△AED的相似比是2∶1.即AB∶AE＝2∶1.故△AED與△AFG的相似比k＝AE∶AF＝eq\f(AB,AF)，eq\f(AE,AB)＝eq\f(3,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4).答案：A3．如圖，正方形ABCD中，E為AB的中點，AF⊥DE于點O，則eq\f(AO,DO)等于()A．eq\f(2,5)eq\r(5) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(1,2)解析：在Rt△DAO及Rt△DEA中，∠ADO為公共角，∴Rt△DAO∽Rt△DEA，∴eq\f(DO,AO)＝eq\f(AD,AE)，即eq\f(AO,DO)＝eq\f(AE,AD).∵E為AB的中點，∴eq\f(AE,AD)＝eq\f(\f(1,2)AB,AD)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(AO,DO)＝eq\f(1,2).答案：D4．如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3和4及x，那么x的值的個數為()A．1個 B．2個C．2個以上但有限 D．無數個解析：若3,4為兩直角邊，則x＝5，若4為斜邊，則x＝eq\r(42－32)＝eq\r(7).這兩個值都能保證兩直角三角形相似．答案：B二、填空題(每小題5分，共10分)5．△ABC與△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于D，則下列結論：①∠AFC＝∠C；②DF＝CF；③△ADE∽△FDB；④∠BFD＝∠CAF.其中正確的是________(填寫所有正確結論的序號)．答案：①③④6．如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點，則使△ABC∽△AED的條件是________.解析：此題屬于開放題，答案不唯一，只要符合相似三角形判定定理即可．答案：∠ADE＝∠C，eq\f(AE,AB)＝eq\f(AD,AC)三、解答題(每小題10分，共20分)7．已知如圖，在正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP＝3PC，Q是CD的中點．求證：△ADQ∽△QCP.證明：在正方形ABCD中∵Q是CD的中點，∴eq\f(AD,QC)＝2.∵eq\f(BP,PC)＝3，∴eq\f(BC,PC)＝4.又BC＝2DQ，∴eq\f(DQ,CP)＝2.在△ADQ和△QCP中，eq\f(AD,QC)＝eq\f(DQ,CP)，∠C＝∠D＝90°，∴△ADQ∽△QCP.8．如圖，M為線段AB的中點，AE與BD交于點C，∠DME＝∠A＝∠B＝α.且DM交AC于F，ME交BC于G，(1)寫出圖中三對相似三角形，并證明其中的一對；(2)連接FG，如果α＝45°，AB＝4eq\r(2)，AF＝3，求FG的長．解析：(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM.以下證明：△AMF∽△BGM.∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B，∴△AMF∽△BGM.(2)當α＝45°時，可得AC⊥BC且AC＝BC．∵M為AB的中點，∴AM＝BM＝2eq\r(2).又∵△AMF∽△BGM，∴eq\f(AF,AM)＝eq\f(BM,BG).∴BG＝eq\f(AM·BM,AF)＝eq\f(2\r(2)×2\r(2),3)＝eq\f(8,3).又AC＝BC＝4eq\r(2)×sin45°＝4，∴CG＝4－eq\f(8,3)＝eq\f(4,3).∵CF＝4－3＝1，∴FG＝eq\r(CF2＋CG2)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2)＝eq\f(5,3).eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)如圖，已知△ABC，延長BC到D，使CD＝BC，取AB的中點F，連接FD交AC于點E.(1)求eq\f(AE,AC)的值；(2)若AB＝a，FB＝EC，求AC的長．解析：(1)如圖所示，過點F作FM∥AC，交BC于點M.∵F為AB的中點，∴M為BC的中點，∴FM＝eq\f(1,2)AC，由FM∥AC，得∠CED＝∠MFD，∠ECD＝∠FMD．∴△FMD∽△ECD．∴eq\f(DC,DM)＝eq\f(EC,FM)＝eq\f(2,3).∴EC＝eq\f(2,3)FM＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,3)AC，∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(AC－\f(1,3)A