第16課時直線與平面垂直的性質課時目標1.能準確應用線面垂直的定義證明線線垂直．2．能利用線面垂直的性質定理解決平行問題．3．體會垂直與平行的轉化．識記強化1．直線與平面垂直的性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行．2．直線與平面垂直的其他性質：如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于平面內的任意一條直線．如果一條直線垂直于一個平面，那么與這條直線平行的直線也垂直于這個平面．課時作業一、選擇題(每個5分，共30分)1．在空間，下列哪些命題是正確的()①平行于同一條直線的兩條直線互相平行；②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；③平行于同一個平面的兩條直線互相平行；④垂直于同一個平面的兩條直線互相平行．A．①③④B．①④C．①D．①②③④答案：B解析：①該命題就是平行公理，即課本中的公理4，因此該命題是正確的．②如圖(1)，直線a⊥平面α，b?α，c?α，且b∩c＝A，則a⊥b，a⊥c，即平面α內兩條相交直線b、c都垂直于同一條直線a，但b、c的位置關系并不是平行．另外，b、c的位置關系也可以是異面，如果把直線b平移到平面α外，此時，與a的位置關系仍是垂直，但此時b、c的位置關系是異面．③如圖(2)，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，易知A1B1∥平面ABCD，A1D1∥平面ABCD，但A1B1∩A1D1＝A1，因此該命題是錯誤的④該命題是線面垂直的性質定理，因此是正確的．綜上可知①、④正確．2．下列命題正確的是()①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))?b⊥α；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a⊥b))?b∥α；④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊥b))?b⊥α.A．①②B．①②③C．②③④D．①②④答案：A解析：由性質定理可得①②正確．3．若直線a與平面α不垂直，那么在平面α內與直線a垂直的直線()A．只有一條B．有無數條C．平面α內的所有直線D．不存在答案：B4．已知直線a，b和平面α，β，γ，可以使α∥β的條件是()A．a?α，b?β，a∥bB．a?α，b?α，a∥β，b∥βC．α⊥γ，β⊥γD．a⊥α，a⊥β答案：D5．如圖，設平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分別為G，H.為使PQ⊥GH，則需增加的一個條件是()A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GED．PQ⊥FH答案：B解析：因為EG⊥平面α，PQ?平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，則由PQ?平面β，得EF⊥PQ.又EG與EF為相交直線，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故選B.6．如圖所示，PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，E，F分別是點A在PB，PC上的射影，給出下列結論：①AF⊥PB，②EF⊥PB，③AF⊥BC，④AE⊥BC，其中正確的個數為()A．1B．2C．3D．4答案：C解析：∵AB是⊙O的直徑，∴AC⊥BC.∵PA垂直于⊙O所在的平面，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF，∴③正確．又AF⊥PC，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，∴①正確．又AE⊥PB，∴PB⊥平面AEF，∴EF⊥PB，∴②正確．若AE⊥BC，則由AE⊥PB，得AE⊥平面PBC，此時E，F重合，與已知矛盾，∴④錯誤．故選C.二、填空題(每個5分，共15分)7．在棱長為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是BC1的中點，則直線DE與平面ABCD所成角的正切值為________答案：eq\f(\r(5),5)解析：如圖，過E作EF⊥BC，垂足為F，連接DF.易知平面BCC1B1⊥平面ABCD，交線為BC，所以EF⊥平面ABCD.∠EDF即為直線DE與平面ABCD所成的角．由題意，得EF＝eq\f(1,2)CC1＝1，CF＝eq\f(1,2)CB＝1，所以DF＝eq\r(CF2＋DC2)＝eq\r(5).在Rt△EFD中，tan∠EDF＝eq\f(EF,DF)＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5).所以，直線DE與平面ABCD所成角的正切值為eq\f(\r(5),5).8．長方體ABCD—A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1內，MN⊥BC于M，則MN與AB的位置關系是________答案：垂直解析：如下圖．由面面垂直的性質定理知MN⊥平面ABCD，再由線面垂直的定義知MN⊥AB.9．將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A－BD－C，有如下四個結論：①AC⊥BD；②△ACD是等邊三角形；③AB與平面BCD所成的角為60°；④AB與CD所成的角為60°.其中正確結論的序號是________．答案：①②④三、解答題10．(12分)如圖，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F分別為BC，CD上的點，且EF⊥AC.求證：eq\f(CF,DC)＝eq\f(CE,BC).證明：∵PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，∴PA⊥BD，PC⊥BD，PC⊥EF.又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.又EF⊥AC，PC∩AC＝C，∴EF⊥平面PAC，∴EF∥BD，∴eq\f(CF,DC)＝eq\f(CE,BC).11．(13分)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，EF與AC，A1D都垂直相交，求證：EF∥BD1證明：如圖，連接AB1，B1C，BD，B1D1因為DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以DD1⊥AC.又BD⊥AC，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，所以AC⊥BD1.同理可證BD1⊥B1C又AC∩B1C＝C所以BD1⊥平面AB1C因為EF⊥A1D，A1D∥B1C所以EF⊥B1C，因為EF⊥AC，AC∩B1C＝所以EF⊥平面AB1C所以EF∥BD1.能力提升12．(5分)直線a和b在正方體ABCD—A1B1C1D1的兩個不同平面內，使a∥b成立的條件是________(只填序號即可①a和b垂直于正方體的一個面；②a和b在正方體兩個相對的面內，且共面；③a和b平行于同一條棱；④a和b在正方體的兩個面內，且與正方體的同一條棱垂直．答案：①②③解析：①線面垂直的性質定理；②面面平行的性質定理；③平行公理．13．(15分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分別是PB，PC的中點．(1)證明：EF∥平面PAD；(2)求三棱錐E—ABC的體積V.解：(1)證明：在△PBC中，E，F分別是PB，PC的中點，∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD，∵AD?平面PAD，EF?平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)連接AE，AC，EC，過點E作EG∥PA交AB于點G，則EG⊥平面ABCD，且EG＝eq\f(1,2)PA.在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2，∴AP＝