第二課時等比數列的應用一、課前準備1.課時目標搞清等比數列的應用，利用等比數列的性質解決問題，搞清數列在實際問題中的應用，能解決與數列有關的應用問題，熟練掌握等比數列的性質解決問題2.基礎預測（1）對于正整數，，若滿足，則等比數列中，滿足（2）等比數列滿足是單調遞增數列，滿足時，單調遞減數列.（3）在等比數列中滿足且（），則（4）遇到等比數列問題，一般先求和.二、基本知識習題化1.已知各項均為實數的數列為等比數列，且滿足，則.或B.C.或162.在各項均為正數的等比數列中，若，則的值為（）.D.3.在等比數列中，已知則等于（）.4.已知數列成等差，數列，成等比數列，則的值為（）A.B.C.或D.三、學法引領對于等比數列問題，搞清等比數列的通項公式，遇到等比數列問題，要先用等比數列的性質解題，能夠用性質解題首先利用性質解題，不能用性質要通過計算求出首項與公比再求解.在等比數列的單調遞增與遞減問題，注意要由首項與公比同時確定數列是單調遞增數列，即當或是單調遞增數列，當滿足或單調遞減數列.利用等比數列解決應用問題，首先要確定公比，再確定首項與項數進行求解.四、典例導析變式練習題型1等比數列性質的應用已知四個數，前三個數成等比數列，和為，后三個數成等差數列，和為，求此四個數.思路導析：根據等比數列求出前三項，再求出第四項解方程求出四個數.解：依題意可設這四個數分別為:,,4,,則由前三個數和為19可列方程得,,整理得,,解得或.∴這四個數分別為:25,-10,4,18或9,6,4,2.規律總結：對于等比數列與等差數列，在設變量時越少越好，利用解方程求解.變式訓練1．有四個數，其中前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，并且第一個數與第四個數的和是16，第二個數與第三個數的和是12，求這四個數題型2等比數列的應用問題例22023年底某縣的綠化面積占全縣總面積的40%，從2023年開始，計劃每年將非綠化面積的8%綠化，由于修路和蓋房等用地，原有綠化面積的2%被非綠化.（1）設該縣的總面積為1，2023年底綠化面積為a1=，經過n年后綠化的面積為an+1，試用an表示an+1；（2）求數列{an}的第n+1項an+1；（3）至少需要多少年的努力，才能使綠化率超過60%.（lg2=，lg3=）思路剖析：當年的綠化面積等于上年被非綠化后剩余面積加上新綠化面積.解：（1）設現有非綠化面積為b1，經過n年后非綠化面積為bn+1.于是a1+b1=1，an+bn=1.依題意，an+1是由兩部分組成，一部分是原有的綠化面積an減去被非綠化部分an后剩余的面積an，另一部分是新綠化的面積bn，于是an+1=an+bn=an+（1－an）=an+.（2）an+1=an+，an+1－=（an－）.數列{an－}是公比為，首項a1－=－=－的等比數列.∴an+1=+（－）（）n.（3）an+1＞60%，+（－）（）n＞，（）n＜，n（lg9－1）＜－lg2，n＞≈.至少需要7年，綠化率才能超過60%.規律總結：利用數列解應用問題，要首先審清題意，列出關系式，求出滿足的關系式，如果有指數的問題可以求導解決.變式訓練2.某林廠年初有森林木材存量Sm3，木材以每年25%的增長率生長，而每年末要砍伐固定的木材量xm3，為實現經過兩次砍伐后的木材的存量增加50%，則x的值是A. B. C. D.題型3三等差與等比數列的應用例3設數列的前項和為已知（I）設，證明數列是等比數列（II）求數列的通項公式。思路導析：第（I）問思路明確，只需利用已知條件尋找．第（II）問中由（I）易得，這個遞推式明顯是一個構造新數列的模型：，主要的處理手段是兩邊除以解:解：（I）由及，有由，．．．①則當時，有．．．．．②②－①得又，是首項，公比為２的等比數列．（II）由（I）可得，數列是首項為，公差為的等比數列．，規律總結：遇到由與一般進行轉化，把轉化為再求解，不是等差與等比數列的問題，要轉化等差與等比數列求解變式訓練3.數列的前項和記為，，．（1）當為何值時，數列是等比數列？（2）在（1）的條件下，若等差數列的前項和有最大值，且，又成等比數列，求．五、隨堂練習1.已知三角形的三邊構成等比數列,它們的公比為,則的取值范圍是（）ABCD2.在等比數列的值為（） A．9 B．1 C．2 D．33.在等比數列｛an｝中，a1＝1，q∈R且｜q｜≠1，若am＝a1a2a3a4a5，則m等于() 4.若是等比數列，且公比為整數，則.5.在和之間插入三個數，使這五個數成等比數列，則插入的三個數的乘積為．6.三個數成等差數列，其比為，如果最小數加上，則三數成等比數列，那么原三數為什么？六、課后作業1.在等比數列中，已知，，則等于（）A、B、C、或D、2.在等比數列｛an｝中,a1<0,若對正整數n都有an<an+1,那么公比q的取值范圍是Aq>1B0<q<1Cq<0Dq<13.已知各項都是正數的等比數列的任意一項都等于它后面相鄰兩項的和，則該數列的公比q＝___.4.在正項等比數列中，，則_______．答案：5.已知數列中，a1=，以an-1，an為系數的二次方程：an－1x2－anx+1=0都有實根、，且滿足3－+3=1。①求證：｛a－｝是等比數列；②求的通項。6.已知等比數列中，分別是某等差數列的第5項，第3項，第2項，且，公比，（1）求；（2）設，求數列的前n項和。參考答案一、課前準備2.基礎預測（1）【】（2）【當或，或】（3）【】（4）【首項，公比】二、基本知識習題化1.解析：D設等比數列的公比為，由題意得，故選D.2.解析：B是等比數列，且，.從而原式.3.解析：B法1：.法2：由已知得=5..4.解：A由已知可得四、典例導析變式練習1.解：設四個數依次為a,b,12－b,16－a,則,解得或,∴這四個數為0,4,8,16或15,9,3,1.2.解析：一次砍伐后木材的存量為S（1+25%）－x；二次砍伐后木材存量為［S（1+25%）－x］（1+25%）－x.由題意知（）2S－x－x=S（1+50%），解得x=.答案：C3.解：（1）由，可得，兩式相減得，∴當時，是等比數列，要使時，是等比數列，則只需，從而．（2）設的公差為d，由得，于是，故可設，又，由題意可得，解得，∵等差數列的前項和有最大值，∴，∴．五、隨堂練習1.解析：【D】設三邊為則，即得，即2.解析：【D】.3.【C】解：4.解：.聯立或.5.解析：本題考查等比數列的性質及計算，由插入三個數后成等比數列，因而中間數必與，同號，由等比中項的中間數為＝6，插入的三個數之積為××6＝216．6.解：設原三數為，不妨設則∴原三數為．六、課時作業1.解析：C由已知及等比數列性質知解得或所以或，所以或，故選C.2.【B】解析：在等比數列｛an｝中,a1<0,若對正整數n都有an<an+1,則an<an即an(1－q)<若q<0,則數列｛an｝為正負