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文檔簡介
因為fx)在區間上單調遞增,所以2aa—-三土,無解,故a不存在;2a②當一2VaV0時,由f(x)>0得,0VxV*'4爛-2或工>—:云-22a2a即込王亟二岔(二上單調遞增,2a2a因為fx)在區間上單調遞增,所以運三呂或豐〒w4,2a2a3所以一2VaW—2;③當aW—2時,f(x)20恒成立,所以fx)在(0,+<?)上單調遞增,符合題意.33綜上所述,aW—2,即實數a的最大值為一解法二:對函數fx)求導得f(x)=[—2ax—4=x2ax2+4x-2ax2+4x-1(x>0).依題意,得f(x)20在(4,£上恒成立,即2ax2+4x—1W0在上恒成立,所以。冬扌帖一4丄-2匕4,上恒成立,因為£丘(3,4),所以aW33—2,即實數a的最大值為一Q.某土木工程建筑公司有A,B兩種型號的工程車,A,B兩種型號的工程車的載重分別為32噸和48噸,該公司承建的工程項目需要將工地的土石從甲地運到乙地.已知A,B兩種型號的工程車每次從甲地去乙地的營運成本分別為2000元/輛和2500元/輛,公司擬組建一個不超過25輛車的車隊,并要求B型車不多于A型車10輛,若車隊每次運送土石不少于880噸,且使公司從甲地到乙地的單次運輸的營運成本最小,那么應配備A型車的輛數為()B.4AB.4C.5D.6解析:選C.設應配備A,B型車分別為x,y輛,公司從甲地到乙地的單次運輸的營運成本為z元,則z=2000x+2500y.由題意,得x,y滿足約束條件x+yW25,<yWx+10,作出可行域如圖中陰影部分所示,可行域的三個頂點坐標分別為32x+48y2880,x±0,y三0,(1535、P(5,15),Q^y,藥丿,R(20,5).
作出直線4x+5y=0,平移該直線,當直線經過點P(5,15)時,z最小.又5,15恰為整數,故應配備A型車5輛,B型車15輛,可以滿足公司從甲地到乙地的單次運輸的營運成本最小.x2y2已知O為坐標原點,雙曲線-7-y;=1(a>0,b>0)上有A,B兩點滿足OA丄OB,a2b2且點O到直線AB的距離為c,則雙曲線的離心率為()A.\.'5+1A.\.'5+12C.通解:選A.顯然直線OA,OB的斜率均存在,且不為0,過點O向AB作垂線,垂足為H.設直線OA的方程為y=kx(k^0),則直線OB的方程為y=—~-,y=kx,k2與雙曲線方程聯立,得1-2—y2=得丁2=廠亞1+k2
丄—爛
a2b21+k2
丄—爛
a2b2,因而IOA,因而IOAl2=則-2=丄—k2a2b2同理IOBI2=k21+k21—同理IOBI2=k21+k21—1=k2—丄'a2k2b2a2b2由IOAIxIOBI=IABIxIOHI及IOAI2+IOBI2=IABI2可得,IOHI=IOAIIOBIIOAI2+IOBI21=1
IOHI2=IOAI21IOBI2,因而丄—k2k2—丄1a2b2a2b2C2=1+k2十1+k2,丄=丄c2a2占,又c2=a2+b2,從而得02=所以e=故選A.優解:設IOAI=m>0,IOBI=n>0,直線OA的傾斜角為&06<申丿,則直線OB的傾n斜角為,m,n斜角為,m,n的夾角為如圖所示,設OM=m,ON=2n,則Ml1不妨取A(mcosa,msina),B(ncos(2+a),nsin(2+am2cos2am2sin2a-n2sin2an2cos2a1,1因為A,B均在雙曲線上,所以—b^f=1,所以五十歷=O2~b2'又如+2xc=mn,所以書七+書三―£'又c2=a2+b2,從而得2=呼,所以°=啟=呼,故選A.二、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分.)13.已知向量加=(2”3),n=(l,0),若加丄(m~^n),則實數2=.解析:解法一:由m丄(m—2n)可得m?(m—2n)=0,即m2=2mn,而m2=1,mn=2,所以2=2.解法二:易知m,n都是單位向量,故可將其放在單位圓中,60°,則要使m丄(m—加),只需ZOMN=90°,此時2=2.答案:2x2+3ax,x>1,已知函數fx)斗]一若f(f(1))>4a2,貝9實數a的取值范圍是3x十1,xW1,解析:由題知f(1)=3+1=4,ff(1))=f(4)=16+12a,若ff(1))>4a2,貝U16+12a>4a2,即a2—3a—4<0,解得一1VaV4,故實數a的取值范圍為(一1,4).答案:(-1,4)過拋物線C:y2=8x的焦點的直線l與拋物線C交于A,B兩點,若以線段AB為直徑的圓過點Q(-2,2),則直線l的方程為.fmy=x—2,解析:易得拋物線的焦點坐標為(2,0),設直線l:my=x—2,聯立,彳事消[y2=8x,去x,得y2—8my—16=0,其中J=64m2+64>0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=8m,『^2=—16,依題意得QA=(x1+2,y1—2),QB=(x2+2,y2—2),+(y1—2)(y2—2)=(my1+4)(my2+4)+(y1—2)(y2—2)=(m2+1)y1y2+(4m—2)(y1+y2)+20=—16(m2+1)+(4m—2)x8m+20=4(2m—1)2,易知QA丄QB,則QA?QB=0,即4(2m—1)2=0,解得m=2,所以直線l的方程為2x—y—4=0.答案:2x-y-4=0已知在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,cos2A-3cos(B+C)=1,
b=5,^ABC的面積S=5也,貝9sinBsinC=.解析:由題意可得2cos2A+3cosA—2=0,即(cosA+2)(2cosA—1)=0,所以cosA=|,又AW(0,n),所以A=3>由S=]bcsinA=~4~c=5、;3,得c=4,由余弦定理可得a2=b2+nsinA.c2—2bccosA=52+42—2x5x4cos3=21a=\;
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