小船過河問題分析與題解【問題概說】（1） 船的實際運動是水流的運動和船相對靜水的運動的合運動。（2） 三種速度:船相對水的速度為v船（即船在靜水中的速度），水的流速為v水（即水對地的速度），船的合速度為v（即船對地的勺速度，船的實際速度，其方向就是船的航向）。（3） 三種情景:過河時間最短:當船頭垂直河岸，渡河時間最短，且渡河時間與水的流速無關。過河路徑最短：在v船》水的條件下，當船的合速度垂直于河岸時，渡河位移（航程或路徑）最小并等于河寬。’7在v船＜v水的條件下，當船頭與船的合速度垂直時，渡河位移（航程或路徑）最小。此種情況下，合速度不可能垂直于河岸，無法垂直渡河。最短航程確定如下如圖所示，以v水矢量末端為圓心，以v船矢量的大小為半徑畫弧，從v水矢量的始端向圓弧作切線，則合速度沿此切線方向航程最短。（下圖中v1表船速，v2表水速）最小渡河速度：水速和航向一定，船速垂直航向有最小船速。【典型題例】兩河岸平行，河寬d=100m，水流速度v1=3m/s，求：（1）船在靜水中的速度是4m/s時，欲使船渡河時間最短，船應怎樣渡河？最短時間是多少？船的位移是多大？（2） 船在靜水中的速度是6m/s時，欲使船航行距離最短，船應怎樣渡河？渡河時間多長？（3） 船在靜水中的速度為1.5m/s時，欲使船渡河距離最短，船應怎樣渡河？船的最小航程是多少？ , TOC\o"1-5"\h\z［思路分析］（1）當船頭垂直于河岸時，渡河時間最短： 1?=d/V2=100/4=25s V2「V d\o"CurrentDocument"合速度v=Jv：+v;=J32+42=5m/s /!V ］船的位移大小s=vtmin=125m（2）欲使船航行距距離最短，需船頭向上游轉過一定角度使合速度方向垂直于河岸，設船的開行速度V與岸成0角，則cosO=T=%=—，v,所以0=600，合速度v,所以0=600，合速度v=v,sin600=33m/s0vd=100拓s(3)船在靜水中速度小于水流的速度，船頭垂直于合速度v時，渡河位移最小，設船頭與河岸夾角為P，如圖所示： cosp=V2=^-=!所以p=600cosp=V2=^-=!所以p=600v3 2最小位移Smin=cosp100cos600=200ms=125m；100*3比9 $；［答案］(1)船頭垂直于河岸時，渡河時間最短：1訕=25、(2)船頭向上游轉過一定角度s=125m；100*3比9 $；⑶船頭垂直于合速度，船頭與河岸夾角600時航程最短，smin=200m。船渡河中極值問題，是運動合成與分解中典型問題，也是難點所在，準確理解并熟練掌握上述幾條規律是解決此類問題的突破口。請試著完成以下幾例類似題。【練習反饋】1、某河水流速度為5m/s，一小船對靜水的速度大小是4m/s，要渡過此河，船頭垂直河岸行駛，已知河寬為120m，試分析計算：小船能否渡河直達正對岸？船需多少時間才能到達對岸？此船登上對岸的地點離出發點的距離是多少？若船行至正中間時，河水流速增大到8m/s，則船渡河需要多少時間？登岸地點如何變化？此船過河的最短位移是多大？2、北風速度4m/s,大河中的水流正以3m/s的速度向東流動，船上的乘客看見輪船煙囪冒出的煙柱是豎直的，求輪船相對于水的航行速度多大？什么方向？3、有一船正在渡河，如圖所示，在離對岸30m時，其下游40m處有一危險水域，若水流速度5m/s，為了使船在危險水域之前靠岸，那么，小船從現在起相對于靜水的最小速度應是多大？4、玻璃生產線上，寬9m的成型玻璃板以2m/s的速度連續不斷地向前行進，在切割工序處，金剛鉆的走刀速度為10m/s，為了使割下的玻璃板都成規定尺寸的矩形，金剛鉆割刀的軌道應如何控制?切割一次的時間多長？【參考答案】1、①不能；^0s:③192m；330s,在正對岸下游195m處，登岸地點順流下移；^50m。解析：④由運動的獨立性可知，水流速度增大對于過河時間沒有影響，只是沿河方向位移增大。此時渡河的最短位移：LLv—-水cos0s= =v船=120x5/4=150m2、本題研究對象有北風、水流、乘客、煙；“煙柱是⑤如圖，以v水的矢尖為圓心、u船為半徑畫圓，當v與圓相切時，a角最大。根據cos&=v船/v水，船頭與河岸的夾角應為6=arccosv船/v水，船漂下最短距離：x此時渡河的最短位移：LLv—-水cos0s= =v船=120x5/4=150m2、本題研究對象有北風、水流、乘客、煙；“煙柱是由于河水流動，輪船應該有一個分速度：大小與v水相等，方向與v水由于河水流動，輪船應該有一個分速度：大小與v水相等，方向與v水相反，這樣輪船才會朝正南方向行駛，如圖所示：v3tanO=-^=—則0=370，v4風即船頭應該與上游河岸成530角航行。1且船=、|'"+v風=J42+32=5m/s答案：5m/s，船頭方向與上游河岸成530角航行。3、 設船到達危險水域前，恰好到達對岸，則其合速度方向如圖所示，設合速度方向與河岸的夾角為a，則tana=K=—，a=370。船的合速度方向與合位移方向相同，根據平行四邊404形定則知：當船對于靜水的速度v1垂直于合速度方向時，v1最小，v1的最小值為v1min=v2sina=3m/s，這時v1方向與河岸的夾角3=900-370=530，即從現在開始，船頭指向與上游成530角，以相對于靜水3m/s的速度航行，在到達雷區前恰好靠岸。答案：3m/s4、 解1：根據題意，金剛鉆相對玻璃板的速度v垂應垂直于玻璃板的運動速度v板，金剛鉆的運動可分為隨玻璃板的運動v板和垂直于玻璃板的運動v垂，如圖所示，由圖可知：v=她-了m/sKm/sv=她-了m/sKm/s，垂s-0.92s。答案：金剛鉆割刀軌道應與玻璃板前進方向成arccos0.2角，切割一次時間為0.92s。

解2：割刀實際的運動（相對于地面的運動）是隨玻璃板行進方向的分運動（速度的大小為七=2m/s）和垂直玻璃板行進方向的分運動（割刀相對玻璃板的運動與玻璃板行進方向垂直，設速度為u2）的合運動，割刀實際速度（相對于地面的速度）為v=10m/s，如圖所示。設v與v1的夾角為a，則cosa=v=0.2，所以a=78.5°.割刀的軌道控制的方向（軌道相對地面的方向）就是沿速度v的方向。切割一次所 山10xsin78.5°八八、用的時間為t= s=0.92s。答案：割刀軌道與玻璃行進方向的夾角為78.5°，切割一次用時0.92s。【方法提煉】在進行速度分解時，首先要分清合速度與分速度，合速度就是物體實際運動的速度，由物體的實際運動確定，分速度由合速度的效果利用平行四邊形定則確定。如圖所示，重物M沿豎直桿下滑，并通過繩帶動小車m沿斜面升高。問：當滑輪右側的繩與豎直方向成6角，且重物下滑的速率為v時，小車的速度為多少？尋找分運動效果。重物M的速度v的方向是合運動的速度方向，這個v產生兩個效果：一是使繩的這一端繞滑輪做順時針方向的圓周運動；二是使繩系著重物的一端沿繩拉力的方向以速率討運動，如圖所示，由圖可知，v，=v-cos6，即為小車的速度。繩拉物體或物體拉繩問題的主要思路：（1）物體的實際運動為合運動；（2）沿繩的運動為一個分運動；（3）垂直于繩的運動為另一個分運動。注意：沿同一繩（或桿）方向的分速度大小相等。在物理學上如果一個物體實際發生的運動產生的效果跟另外兩個運動共同產生的效果相同，我們就把這一物體實際發生的運動叫那幾個運動的合運動，那幾個運動就叫做這個實際運動的分運動。重要結論：（1） 各分運動之間是互不相干的，具有獨立性；（2） 合運動與分運動具有等時性；（3） 合運動一定是物體的實際運動。已知分運動求合運動叫運動的合成，已知合運動求分運動叫運動的分解。（通常根據或尋找分運動效果，根據運動的實際效果分解，或采取正交分解法進行分解。）運動的合成與分解，是指位移、速度、以及加速度的合成和分解，必須遵循平行四邊形定則。在進行速度分解時，首先要分清合速度與分速度合速度就是物體實際運動的速度，由物體的實際運動確定，分速度由合速度的效果利用平行四邊形定則確定。合運動一定是物體參與的實際運動。處理復雜的曲線運動的常用方法是把曲線運動按實際效果分解為兩個方向上的直線運動。

運動合成分解的四個性質:運動的獨立性一個物體同時參與幾個分運動，各分運動獨立進行，各自產生效果運動的等效性整體的合運動是各分運動決定的總效果，它替代所有的分運動運動的等時性合運動和分運動進行的時間相同運動的矢量性加速度、速度、位移都是矢量，合成和分解都遵循平行四邊形定則進行運動的合成時，一般采用兩個觀點:所有的分運動必須轉換成對于同一個物體的，也就是說，只有同一物體同時參與幾個分運動才能合成。