第三節機械能守恒定律一、重力勢能1．定義：物體的重力勢能等于它所受______與_____的乘積.2．公式：Ep＝_______.3．矢標性：重力勢能是____量，但有正、負，其意義是表示物體的重力勢能比它在__________上大還是小，這與功的正、負的物理意義不同．4．特點(1)系統性：重力勢能是______和_______共有的．(2)相對性：重力勢能的大小與_________的選取有關．重力勢能的變化是_______的，與參考平面的選取________．重力高度mgh標參考平面地球物體參考平面絕對無關5．重力做功與重力勢能變化的關系重力做正功時，重力勢能________；

重力做負功時，重力勢能_______；重力做多少正(負)功，重力勢能就_____________多少，即WG＝_____________.減小增大減小(增大)Ep1－Ep21．將質量為100kg的物體從地面提升到10m高處，在這個過程中，下列說法中正確的是(g取10m/s2)(

)ZxxkA．重力做正功，重力勢能增加1.0×104JB．重力做正功，重力勢能減少1.0×104JC．重力做負功，重力勢能增加1.0×104JD．重力做負功，重力勢能減少1.0×104J解析：重力方向向下而物體向上運動，則重力做負功，重力勢能增加mgh＝100×10×10J＝1.0×104J，C對．答案：C二、彈性勢能1．定義：物體由于發生______________而具有的能．2．大小：彈性勢能的大小與________及__________有關，彈簧的形變量越大，勁度系數______,彈簧的彈性勢能______.彈性形變形變量勁度系數越大越大3．彈力做功與彈性勢能變化的關系彈力做正功,彈性勢能______；彈力做負功,彈性勢能______.即彈簧恢復原長過程中彈力做______，彈性勢能______，形變量變大的過程中彈力做______，彈性勢能_______．減小增大正功減小負功增大ABC2．機械能守恒的條件只有______

(或______)做功或雖有其他外力做功但其他力做功的代數和________．重力彈力為零三、機械能守恒定律1．內容：在只有_______、______做功的情形下，物體的動能和勢能發生相互轉化，但機械能的總量保持_______．重力彈力不變一、機械能守恒條件的理解及守恒判斷方法1．對機械能守恒條件的理解機械能守恒的條件是：只有重力或彈力做功．可以從以下兩個方面理解：(1)只受重力作用，例如在不考慮空氣阻力的情況下的各種拋體運動，物體的機械能守恒．(2)受其他力，但其他力不做功，只有重力或彈力做功．例如物體沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的作用，但曲面的支持力不做功，物體的機械能守恒．(3)受其他力，但其他力所做的總功為零．2．判斷機械能是否守恒的幾種方法(1)利用機械能的定義判斷(直接判斷)：若物體在水平面勻速運動，其動能、勢能均不變，機械能不變．若一個物體沿斜面勻速下滑，其動能不變，重力勢能減少，其機械能減少．(2)用做功判斷：若物體或系統只有重力(或彈簧的彈力)做功,雖受其他力，但其他力不做功，機械能守恒．(3)用能量轉化來判斷：若物體系統中只有動能和勢能的相互轉化而無機械能與其他形式的能的轉化，則物體系統機械能守恒．(4)對一些繩子突然繃緊、物體間非彈性碰撞等，除非題目特別說明，否則機械能必定不守恒．題型探究題型1機械能守恒的判斷

如圖1所示,細繩跨過定滑輪懸掛兩物體M和m,且M>m,不計摩擦,系統由靜止開始運動過程中()A.M、m各自的機械能分別守恒

B.M減少的機械能等于m增加的機械能

C.M減少的重力勢能等于m增加的重力勢能

D.M和m組成的系統機械能守恒

圖1BD4．如圖所示，一輕彈簧固定于O點，另一端系一重物，將重物從與懸點O在同一水平面且彈簧保持原長的A點無初速地釋放，讓它自由擺下，不計空氣阻力，在重物由A點擺向最低點的過程中(

)A．重物的重力勢能減少B．重物的重力勢能增大C．重物的機械能不變 D．重物的機械能減少

5.一蹦極運動員身系彈性蹦極繩從水面上方的高臺下落，到最低點時距水面還有數米距離．假定空氣阻力可忽略，運動員可視為質點，下列說法正確的是A．運動員到達最低點前重力勢能始終減小B．蹦極繩張緊后的下落過程中，彈力做負功，彈性勢能增加ZxxkC．蹦極過程中，運動員、地球和蹦極繩所組成的系統機械能守恒D．蹦極過程中，重力勢能的改變與重力勢能零點的選取有關6.下列物體運動過程中滿足機械能守恒的是(

)A．跳傘運動員張開傘后，在空中勻速下降B．忽略空氣阻力，物體豎直上拋C．火箭升空D．拉著物體沿光滑斜面勻速上升解析：選B.跳傘運動員勻速下降，除重力做功外，還有阻力做功，A錯；物體豎直上拋時，只有重力做功，機械能守恒，B正確；火箭升空時，推力做正功，機械能增加，C不正確；拉著物體沿光滑斜面勻速上升時，機械能增加，D不正確．【典例透析1】如圖所示,固定的傾斜光滑桿上套有一個質量為m的圓環,圓環與一橡皮繩相連,橡皮繩的另一端固定在地面上的A點,橡皮繩豎直時處于原長h。讓圓環沿桿滑下,滑到桿的底端時速度為零。則在圓環下滑過程中(

)A.圓環機械能守恒B.橡皮繩的彈性勢能一直增大C.橡皮繩的彈性勢能增加了mghD.橡皮繩再次達到原長時圓環動能最大【解析】選C。開始時由于橡皮繩處于原長h,所以圓環開始時做勻加速運動。當橡皮繩再次被拉長至h時,此后將會對圓環產生一個阻礙圓環下滑的拉力,此時圓環克服拉力做功,機械能不守恒,故A錯誤。整個過程中橡皮繩的彈性勢能先不變后增大,故B錯誤。當拉力達到某一值時,才會使圓環的加速度為零,速度達到最大值,故D錯誤。圓環和橡皮繩組成的系統機械能守恒,整個過程中圓環的重力勢能減少量等于橡皮繩彈性勢能的增加量,故C正確。【變式訓練】

如圖所示,一輕彈簧左端固定,右端連接一物體A,物體處于光滑水平面上,彈簧處于原長,現用一向左的恒力F推物體,則在物體向左運動至彈簧最短的過程中(

)A.物體的加速度先減小后增大B.物體的動能先增大后減小C.彈簧的勢能先增大后減小D.物體和彈簧組成系統的機械能守恒【解析】選A、B。物體在恒力F作用下向左壓縮彈簧,彈簧彈力變大,物體所受合力逐漸減小,速度變大,當物體達到最大速度時,合力為零,動能最大,繼續向左壓縮彈簧,合力向右增大,速度減小,故物體的加速度先減小后增大,動能先增大后減小,A、B均正確;彈簧的彈性勢能一直增大,因恒力F做功,系統的機械能不守恒,故C、D均錯誤。二、機械能守恒定律的幾種表達形式1．守恒觀點：E1＝E2或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2,表示系統在初狀態機械能等于其末狀態的機械能．運用這種形式表達時，應選好零勢能面，且初、末狀態的高度已知，系統除地球外，只有一個物體時，用這種表達形式較方便．2．轉化觀點：ΔEp＝－ΔEk，表示系統(或物體)機械能守恒時，系統減少(或增加)的勢能等于增加(或減少)的總動能．應用時，關鍵在于分清重力勢能的增加量和減少量，可不選參考平面而直接計算初、末狀態的勢能差．這種表達方式一般用于始末狀態的高度未知，但高度變化已知的情況．3．轉移觀點：ΔEA增＝ΔEB減,表示若系統由A、B兩部分組成,則A部分物體機械能的增加量與B部分物體機械能的減少量相等.即時應用2 如圖所示，U型管內裝有同種液體，右管管口用蓋板A密閉，兩液面的高度差為h，U型管中液體總長度為4h，U型管中橫截面處處相同．現拿去蓋板A，液體開始流動(不計一切摩擦)，當兩液面高度相平時，右側液體下降的速度為(

)D考點1

“單個”物體的機械能守恒 (創新題)某水上游樂場舉辦了一場趣味水上比賽．如圖所示，質量為m＝50kg的參賽者(可視為質點)在河岸上的A點緊握一根長為L＝5.0m的不可伸長的輕繩，輕繩的另一端系在距水面高度為H＝10.0m的O點，此時輕繩與豎直方向的夾角為θ＝37°，C點是位于O點正下方水面上的一點，距離C點x＝4.8m處的D點固定著一只救生圈，O、A、C、D各點均在同一豎直面內．若參賽者抓緊繩端點，從臺階上的A點沿垂直于輕繩斜向下以一定的初速度躍出，當擺到O點正下方的B點時松開手，此后恰能落在救生圈內，則：(1)求參賽者經過B點時速度的大小v.(2)參賽者從臺階上的A點躍出時的動能Ek為多大？(3)沿豎直方向適當調節繩端O點的高度(仍在A點上方)，參賽者從A點拉直并抓緊輕繩，由靜止開始擺下，經O點正下方松開繩，此后也恰能落在救生圈內，試求參賽者松開繩時距水面的高度h.【典例】如圖所示,物塊A的質量為M,物塊B、C的質量都是m,并都可看作質點,且m<M<2m。三物塊用細線通過滑輪連接,物塊B與物塊C的距離和物塊C到地面的距離都是L。現將物塊A下方的細線剪斷,若物塊A距滑輪足夠遠且不計一切阻力。求:(1)物塊A上升時的最大速度;(2)若B不能著地,求滿足的條件。【解析】(1)A上升L時速度達到最大，設為v，由機械能守恒定律有2mgL-MgL=(M+2m)v2得(2)C著地后，若B恰能著地，即B物塊再下降L時速度為零。對A、B組成的系統由動能定理得-MgL+mgL=0-(M+m)v2解得M=m若使B不著地，應有M>m,即答案：(1)(2)【互動探究】上題中若沒有物塊C，物塊A離地面的高度為1.5L，如圖所示。求：(1)物塊A落地時的速度大小；(2)物塊A落地后，物塊B還能上升的最大高度。【解析】(1)A、B組成的系統機械能守恒，據轉化觀點，A、B重力勢能的減少量等于A、B動能的增加量，有(M-m)g×1.5L=(M+m)v2解得：(2)設B還能上升h，B的動能全部轉化為重力勢能，有解得：答案：(1)(2)【變式備選】如圖所示,將一質量為m=0.1kg的小球自水平平臺右端O點以初速度v0水平拋出,小球飛離平臺后由A點沿切線落入豎直光滑圓軌道ABC,并沿軌道恰好通過最高點C,圓軌道ABC的形狀為半徑R=2.5m的圓截去了左上角127°的圓弧,CB為其豎直直徑n53°=0.8,cos53°=0.6,重力加速度g取10m/s2)。求:(1)小球經過C點的速度大小；(2)小球運動到軌道最低點B時軌道對小球的支持力大小；(3)平臺末端O點到A點的豎直高度H.(1)小球經過C點的速度大小；(2)小球運動到軌道最低點B時軌道對小球的支持力大小；(3)平臺末端O點到A點的豎直高度H.【典例】如圖所示,在同一豎直平面內,一輕質彈簧一端固定,另一自由端恰好與水平線AB平齊,靜止放于傾角為53°的光滑斜面上。一長為L=9cm的輕質細繩一端固定在O點,另一端系一質量為m=1kg的小球,將細繩拉至水平,使小球在位置C由靜止釋放,小球到達最低點D時,細繩剛好被拉斷。之后小球在運動過程中恰好沿斜面方向將彈簧壓縮,最大壓縮量為x=5cm。(g=10m/s2,sin53°=0.8,cos53°=0.6)求:(1)細繩受到的拉力的最大值;(2)D點到水平線AB的高度h;(3)彈簧所獲得的最大彈性勢能Ep。零【解析】(1)小球由C到D，由機械能守恒定律得：解得v1=①在D點，由牛頓第二定律得②由①②解得T=30N由牛頓第三定律知細繩所能承受的最大拉力為30N。(2)由D到A，小球做平拋運動vy2=2gh③tan53°=④聯立解得h=16cm(3)小球從C點到將彈簧壓縮至最短的過程中，小球與彈簧系統的機械能守恒，即Ep=mg(L+h+xsin53°)，代入數據得：Ep=2.9J。答案：(1)30N(2)16cm(3)2.9J【答案】見解析【典例透析】如圖所示,傾角為θ的直角斜面體固定在水平地面上,一根輕質彈簧上端固定在斜面上,下端拴一質量為m的物塊,物塊放在光滑斜面上的P點并保持靜止,彈簧與斜面平行,此時彈簧具有的彈性勢能為Ep,已知彈簧的勁度系數為k,現將物塊緩慢沿斜面向上移動,到彈簧剛恢復至原長位置時,由靜止釋放物塊,求在以后的運動過程中物塊的最大速度。考查內容與彈簧有關的機械能守恒問題【備選例題】【規范解答】由題意可知，物塊將以P點為平衡位置往復運動，當物塊運動到位置P點時有最大速度，設為vm，從物塊在彈簧原長位置由靜止釋放至物塊剛好到達P點的過程中，由系統機械能守恒得：當物塊自由靜止在P點時，物塊受力平衡，則有：mgsinθ=kx0聯立解得：答案：機械能守恒中的輕桿模型1.模型構建輕桿兩端各固定一個物體，整個系統一起沿斜面運動或繞某點轉動，該系統即為機械能守恒中的輕桿模型。2.模型條件(1)忽略空氣阻力和各種摩擦。(2)平動時兩物體線速度相等，轉動時兩物體角速度相等。3.模型特點(1)桿對物體的作用力并不總是指向桿的方向，桿能對物體做功，單個物體機械能不守恒。(2)對于桿和球組成的系統，沒有外力對系統做功，因此系統的總機械能守恒。【典例】質量分別為m和2m的兩個小球P和Q,中間用輕質桿固定連接，桿長為L，在離P球處有一個光滑固定軸O，如圖所示。現在把桿置于水平位置后自由釋放，在Q球順時針擺動到最低位置時，求：(1)小球P的速度大小；(2)在此過程中小球P機械能的變化量。【深度剖析】(1)兩球和桿組成的系統機械能守恒，設小球Q擺到最低位置時P球的速度為v,由于P、Q兩球的角速度相等，Q球運動半徑是P球運動半徑的兩倍，故Q球的速度為2v。由機械能守恒定律得解得(2)小球P機械能增加量為ΔE，答案：(1)(2)增加mgL【名師指津】在利用輕桿模型求解問題時應注意以下兩點：(1)本類題目易誤認為兩球的線速度相等，還易誤認為單個小球的機械能守恒。(2)桿對球的作用力方向不再沿著桿，桿對小球P做正功從而使它的機械能增加，同時桿對小球Q做負功，使小球Q的機械能減少，系統的機械能守恒。【變式訓練】(2013·唐山模擬)如圖所示，傾角為θ的光滑斜面上放有兩個質量均為m的小球A和B，兩球之間用一根長為L的輕桿相連，下面的小球B離斜面底端的高度為h。兩球從靜止開始下滑，不計球與地面碰撞時的機械能損失，且地面光滑，求：(1)兩球在光滑水平面上運動時的速度大小；(2)整個運動過程中桿對A球所做的功。【解析】(1)因為沒有摩擦，且不計球與地面碰撞時的機械能損失，兩球在光滑地面上運動時的速度大小相等，設為v,根據機械能守恒定律有：解得：(2)因兩球在光滑水平面上運動時的速度v比B單獨從h處自由滑下的速度大，增加的機械能就是桿對B做正功的結果。B增加的機械能為因系統的機械能守恒，所以桿對B球做的功與桿對A球做的功的數值應該相等，桿對B球做正功，對A球做負功，所以桿對A球做的功答案：(1)(2)【雙基題組】1.汽車沿一段坡面向下行駛，通過剎車使速度逐漸減小，在剎車過程中()A.重力勢能增加B.動能增加C.重力做負功D.機械能不守恒【解析】選D。汽車沿坡面向下運動，重力做正功，重力勢能減小，故A、C錯；由于速度逐漸減小，由知，動能減小，B錯；由于動能、重力勢能都減小，故機械能是減小的，D正確。2.圖甲中彈丸以一定的初始速度在光滑碗內做復雜的曲線運動，圖乙中的運動員在蹦床上越跳越高。下列說法中正確的是()A.圖甲彈丸在上升的過程中，機械能逐漸增大B.圖甲彈丸在上升的過程中，機械能保持不變C.圖乙中的運動員多次跳躍后，機械能增大D.圖乙中的運動員多次跳躍后，機械能不變【解析】選B、C。圖甲中的彈丸運動時受重力和彈力作用，彈力不做功，故機械能守恒，A錯，B對。運動員在跳躍過程中，消耗體內化學能，在蹦床的作用下越跳越高，機械能增大，故C對，D錯。3.(2013·聊城模擬)在奧運比賽項目中，高臺跳水是我國運動員的強項。質量為m的跳水運動員進入水中后受到水的阻力而做減速運動，設水對運動員的阻力大小恒為f，那么在運動員減速下降h的過程中，下列說法正確的是(g為當地的重力加速度)()A.運動員的重力勢能減少了mghB.運動員的動能減少了fhC.運動員的機械能減少了(f-mg)hD.運動員的機械能減少了fh【解析】選A、D。運動員在減速下降h過程中，重力做功為mgh,故其重力勢能減少了mgh,A正確。由動能定理mgh-fh=ΔEk，動能減少量為fh-mgh,故B錯誤。此過程中阻力做功為-fh，機械能減少量為fh，故C錯誤，D正確。【高考題組】4.(2011·新課標全國卷)一蹦極運動員身系彈性蹦極繩從水面上方的高臺下落,到最低點時距水面還有數米距離。假定空氣阻力可忽略,運動員可視為質點,下列說法正確的是(

)A.運動員到達最低點前重力勢能始終減小B.蹦極繩張緊后的下落過程中,彈性力做負功,彈性勢能增加C.蹦極過程中,運動員、地球和蹦極繩所組成的系統機械能守恒D.蹦極過程中,重力勢能的改變與重力勢能零點的選取有關【解析】選A、B、C。運動員在下落過程中,重力做正功,重力勢能減小,故A正確。蹦極繩張緊后的下落過程中,彈性力向上,位移向下,彈性力做負功,彈性勢能增加,故B正確。選取運動員、地球和蹦極繩為一系統,在蹦極過程中,只有重力和系統內彈力做功,這個系統的機械能守恒,故C正確。重力勢能改變的表達式為ΔEp=mgΔh,由于Δh是絕對的,與重力勢能零點的選取無關,故D錯。5.(2010·安徽高考)伽利略曾設計如圖所示的一個實驗,將擺球拉至M點放開,擺球會達到同一水平高度上的N點,如果在E或F處釘上釘子,擺球將沿不同的圓弧達到同一高度的對應點;反過來,如果讓擺球從這些點下落,它同樣會達到原水平高度上的M點。這個實驗可以說明,物體由靜止開始沿不同傾角的光滑斜面(或弧線)下滑時,其末速度的大小(

)A.只與斜面的傾角有關B.只與斜面的長度有關C.只與下滑的高度有關D.只與物體的質量有關【解析】選C。小球在擺動過程中受重力和繩的拉力，繩的拉力不做功，故小球機械能守恒。同樣，在光滑斜面上有，即小球的末速度只與下滑的高度h有關，故只有C正確。6.(2012·北京高考)如圖所示,質量為m的小物塊在粗糙水平桌面上做直線運動,經距離l后以速度v飛離桌面,最終落在水平地面上。已知l=1.4m,v=3.0m/s,m=0.10kg,物塊與桌面間的動摩擦因數μ=0.25,桌面高h=0.45m。不計空氣阻力,重力加速度g取10m/s2。求:(1)小物塊落地點距飛出點的水平距離s;(2)小物塊落地時的動能Ek;(3)小物塊的初速度大小v0。【解析】(1)由平拋運動規律，有豎直方向h=gt2水平方向s=vt得水平距離s==0.90m(2)由機械能守恒定律得Ek=mv2+mgh=0.90J(3)由動能定理，有-μmg·l=mv2-mv02得初速度大小v0==4.0m/s答案：(1)0.90m(2)0.90J(3)4.0m/s跟蹤訓練1 用圖示裝置可以研究動能和重力勢能轉化中所遵循的規律．在擺錘從A位置由靜止開始向下擺動到D位置的過程中(

)①重力做正功，重力勢能增加②重力的瞬時功率一直增大③動能轉化為重力勢能④擺線對擺錘的拉力不做功⑤若忽略阻力，系統的總機械能為一恒量A．①③

B．②④C．②⑤D．④⑤解析：選D.擺錘向下運動，重力做正功，重力勢能減小，故①錯誤．由于開始靜止，所以開始重力功率為零，在D位置物體v的方向與重力垂直，PG＝Gvcosθ，可知PG＝0，而在從A位置擺動到D位置的過程中，重力功率不為零，所以所受重力瞬時功率先增大后減小，②錯誤．在向下運動的過程中，重力勢能減小，動能增加，故③錯誤．擺線拉力與v方向始終垂直，不做功，只有重力做功，故機械能守恒，故④⑤正確，選D.考點2多個物體組成的系統機械能守恒

有一個固定的光滑直桿，該直桿與水平面的夾角為53°，桿上套著一個質量為m＝2kg的滑塊(可視為質點)．【思路點撥】解此問題的關鍵有兩點：(1)根據系統的受力和做功情況判斷機械能是否守恒．(2)正確選取機械能守恒的表達式并注意“關聯”速度．【答案】(1)4m/s

(2)5m/s【總結提升】多物體機械能守恒問題的分析方法(1)對多個物體組成的系統要注意判斷物體運動過程中，系統的機械能是否守恒．(2)注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關系和位移關系.(3)列機械能守恒方程時，一般選用ΔEk＝－ΔEp的形式．答案：見解析思維建模機械能守恒中的輕彈簧模型如圖所示，質量為m1的物體A經一輕質彈簧與下方地面上的質量為m2的物體B相連，彈簧的勁度系數為k，A、B都處于靜止狀態①.一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤．開始時各段繩都處于伸直狀態，A上方的一段繩沿豎直方向．現在掛鉤上掛一質量為m3的物體C并從靜止狀態釋放，已知它恰好能使B離開地面但不繼續上升②.若將C換成另一個質量為(m1＋m3