第1章信號與系統

1.1信號1.2系統1.3信號與系統分析概述

1.1信號

1.1.1信號的分類信號的分類方法很多，可以從不同的角度對信號進行分類。在信號與系統分析中，我們常以信號所具有的時間函數特性來加以分類。這樣，信號可以分為確定信號與隨機信號(如圖1.1所示)、連續時間信號與離散時間信號、周期信號與非周期信號、能量信號與功率信號、實信號與復信號等。1.確定信號與隨機信號確定信號是指能夠以確定的時間函數表示的信號，在其定義域內任意時刻都有確定的函數值。例如電路中的正弦信號和各種形狀的周期信號等。圖1.1確定信號與隨機信號波形2.連續時間信號與離散時間信號連續時間信號是指在信號的定義域內，任意時刻都有確定的函數值的信號，通常用f(t)表示。連續時間信號最明顯的特點是自變量t在其定義域上除有限個間斷點外，其余是連續可變的。例如，正弦信號為連續時間信號。圖1.2連續時間信號波形與離散時間信號波形3.周期信號與非周期信號周期信號是每隔一個固定的時間間隔重復變化的信號。連續周期信號與離散周期信號的數學表示分別為f(t)=f(t+nT),n=±1,±2,±3,…,-∞<t<∞(1―1)f=f(k+nN),n=±1,±2,±3,…,-∞<k<∞,(k取整數)(1―2)4.能量信號與功率信號如果把信號f(t)看作是隨時間變化的電壓和電流，則當信號f(t)通過1Ω電阻時，信號在時間間隔-Ｔ≤t≤T內所消耗的能量稱為歸一化能量，即為而在上述時間間隔-Ｔ≤t≤T內的平均功率稱為歸一化功率，即為(1―3)(1―4)如圖１.３(a)所示的脈沖信號；持續時間無限而幅度有限的非周期信號為功率信號，如圖１.３(b)所示；持續時間無限，幅度也無限的非周期信號為非功率、非能量信號，如圖１.３(c)所示的單位斜坡信號t·u(t)。圖1.3三種非周期信號當然，上述定義式(1―3)、(1―4)是連續時間信號f(t)的歸一化能量Ｗ和歸一化功率Ｐ的定義，對于離散時間信號f［k］，其歸一化能量Ｗ與歸一化功率Ｐ的定義分別為(1―5)(1―6)5.實信號與復信號實信號——f(t)=f*(t)，它是一個實函數。f*(t)為f(t)的共軛函數。復信號——f(t)≠f*(t)，它是一個復函數，即f(t)=f1(t)+jf2(t)(1―7)式中f1(t)與f2(t)均為實函數。實際信號一般都是實信號，但是為了簡化運算，常常引用復信號并以其實部或虛部表示實際信號。例如，常用復指數信號ejωt=cosωt+jsinωt表示余弦、正弦信號；常用e(-σt+jωt)=e-σtcosωt+je-σtsinωt表示幅度衰減的余弦、正弦振蕩信號等等。1.1.2信號的基本運算與波形變換1.加法運算任一瞬間的和信號值y(t)或y［k］等于同一瞬間相加信號瞬時值的和。即y(t)=f1(t)+f2(t)(1―8)或y［k］=f1［k］+f2［k］(1―9)2.乘法運算任一瞬時的乘積信號值y(t)或y［k］等于同一瞬時相乘信號瞬時值的積。即y(t)=f1(t)·f2(t)(1―10)y［k］=f1［k］·f2［k］(1―11)3.數乘(標乘)信號f1(t)或f1［k］和一個常數a相乘的積。即y(t)=a·f1(t)(1―12)y［k］=a·f1［k］(1―13)4.微分信號的微分是指信號對時間的導數。可表示為(1―14)5.積分信號的積分是指信號在區間(-∞，t)上的積分。可表示為(1―15)圖１.５是信號積分的一個例子。圖1.4信號的微分圖1.5信號的積分6.反轉以變量－t代替f(t)中的獨立自變量t，可得反轉信號f(-t)。它是f(t)以縱軸(t=0)為轉軸作180°反轉而得到的信號波形，如圖１.６所示。圖1.7離散時間信號及反轉波形圖1.6連續時間信號及反轉波形7.平移以變量t-t0代替信號f(t)中的獨立變量t，得信號f(t-t0)，它是信號f(t)沿時間軸平移t0的波形。這里f(t)與f(t-t0)的波形形狀完全一樣,只是在位置上移動了t0(t0為一實常數)。t0>0，f(t)右移；t0<0，f(t)左移；平移距離為|t0|。圖１.８表示連續時間信號的平移。這類信號在雷達、聲納和地震信號處理中經常遇到。利用位移信號f(t-t0)和原信號f(t)在時間上的遲延，可以探測目標和震源的距離。

圖1.8連續時間信號的平移8.展縮(尺度變換)以變量at代替f(t)中的獨立變量t可得f(at)，它是f(t)沿時間軸展縮(尺度變換)而成的一個新的信號函數或波形。信號f(at)中，a為常數,|a|>1時表示f(t)沿時間軸壓縮成原來的1/|a|倍；|a|<1時表示f(t)沿時間軸擴展為原來的1/|a|倍。例如，圖１.９之(a)、(b)、(c)分別表示f(t)、f(2t)、f(t/2)的波形。圖1.9f(t)、f(2t)、f(t/2)的波形9.綜合變換以變量at+b代替f(t)中的獨立變量t，可得一新的信號函數f(at+b)。當a>０時，它是f(t)沿時間軸展縮、平移后的信號波形；當a<０時，它是f(t)沿時間軸展縮平移和反轉后的信號波形，下面舉例說明其變換過程。例１―１已知信號f(t)的波形如圖１.１０(a)所示，試畫出信號f(-2-t)的波形。解f(t)→f(-2-t)=f(-(t+2))可分解為

f(t)——f(-(t))——f(-(t+2))t→-tt→t+2反轉平移圖1.10信號的反轉、平移圖1.11信號的反轉、展縮與平移例１―３已知信號f(2t+2)的波形如圖１.１２(a)所示，試畫出信號f(4-2t)的波形。解f(2t+2)→f(4-2t)，則對應有t1=0,t2=4,m=2,n=2,a=-2,b=4利用上述關系式計算出t11與t22：t11=-1/2(2×0+2-4)=1t22=-1/2(2×4+2-4)=-3

圖1.12信號綜合變換通過以上分析，可以歸納出普通信號基本變換的一般步驟：(1)若信號f(t)→f(at+b)，則先反轉，后展縮，再平移；(２)若信號f(mt+n)→f(t)，則先平移，后展縮，再反轉；(３)若信號f(mt+n)→f(at+b)，則先實現f(mt+n)→f(t)，再進行f(t)→f(at+b)。例１―４試粗略地畫出下列信號的波形圖：(1)f1(t)=(2-3e-t)·u(t)；(2)f2(t)=(5e-t-5e-3t)·u(t)；(3)f3(t)=e-|t|(-∞<t<∞)；(4)f4(t)=cosπ(t-1)·u(t+1)；(5)f5(t)=sinπ/2(1-t)·u(t-1)；(6)f6(t)=e-tcos10πt(u(t-1)-u(t-2))；(7)f7(t)=1-|t|/2(u(t+2)-u(t-2))；(8)f8(t)=u(t2-1)。解描繪信號波形是本課程的一項基本訓練。在繪圖時應注意信號的基本特征、變化趨勢、起始和終點位置，并應標出信號的初值、終值以及一些關鍵的點及線，如極大值、極小值、漸近線等。圖1.13例1―4圖

1.2系統

為了說明系統的基本概念，我們分析如圖１.１4(a)所示的ＲＣ一階動態電路。圖中電容Ｃ具有初始電壓ＵO，開關Ｋ在ｔ＝０時刻閉合，且有ＵS>UO，使電容充電。圖1.14RC電路與電容電壓由一階動態電路知識可知，若以電容電壓ＵC(t)為變量，該電路的動態方程式為其全解為圖１.１5單輸入單輸出系統方框圖整個系統可用圖1.１5所示的方框圖表示。其中ψ表示系統的功能作用，它取決于系統的內部結構與元件參數。系統的輸出響應y(t)是系統的初始狀態y(0)與輸入激勵f(t)的函數，即y(t)=ψ［y(0),f(t)］,t≥0(1―16)當系統的輸入激勵有多個，系統的初始狀態也有多個時，系統響應y(t)是這多個輸入激勵與多個初始狀態的函數，即y(t)=ψ［x1(0),x2(0)，…,f1(t),f2(t),…］(1―17)1.2.1系統的分類

系統可按多種方法進行分類。不同類型的系統其系統分析的過程是一樣的，但系統的數學模型不同，因而其分析方法也就不同。1.連續時間系統與離散時間系統系統的輸入和輸出是連續時間變量t的函數，叫作連續時間系統。輸入用f(t)表示,輸出用y(t)表示。2.線性系統與非線性系統線性系統是指具有線性特性的系統，線性特性包括均勻性與疊加性。線性系統的數學模型是線性微分方程和線性差分方程。系統具有疊加性是指當若干個輸入激勵同時作用于系統時，系統的輸出響應是每個輸入激勵單獨作用時(此時其余輸入激勵為零)相應輸出響應的疊加，系統的均勻性和疊加性可表示如下：(1―18)疊加性：若f1(t)→y1(t),f2(t)→y2(t)則f1(t)+f2(t)→y1(t)+y2(t)(1―19)線性特性要求系統同時具有均勻性和疊加性。線性特性可表示為若f1(t)→y1(t),f2(t)→y2(t)則a·f1(t)+b·f2(t)→a·y1(t)+b·y2(t)(1―20)式中a、b為任意常數，上式如圖1.１6所示。圖1.１6系統的線性特性示意圖系統的零輸入響應yx(t)絕對不應與f(t)有關，而系統的零狀態響應yf(t)也不應與初始狀態有關。于是，當線性系統既存在外部輸入激勵同時又具有初始狀態時，系統的輸出響應必定是零輸入響應與零狀態響應的疊加，稱之為完全響應，以y(t)表示，即有y(t)=yx(t)+yf(t)(1―21)同理，對于具有線性特性的離散時間系統，應有以下表達式若f1［k］→y1［k］,f2［k］→y2［k］

則a·f1［k］+b·f2［k］→a·y1［k］+b·y2［k］(1―22)式中a、b為任意常數。同樣，系統的完全響應可表示為y［k］=yx［k］+yf［k］(1―23)例１―５判斷下列輸出響應所對應的系統是否為線性系統(其中y(0)為系統的初始狀態，f(t)為系統的輸入激勵，y(t)為系統的輸出響應)。(1)y(t)=5y(0)+4f(t)；(2)y(t)=2y(0)+6f2(t)；(3)y(t)=4y(0)f(t)+3f(t)；(4)y(t)=2t2y(0)+7(5)y(t)=4y(0)+4t(6)y(t)=6y2(0)+4f(t)(7)y(t)=4y(0)+3f(t)+2(8)y(t)=4y(0)+3y2(0)+6f(t)+t2例１―６某線性離散系統的初始狀態為

若初始狀態不變，激勵為-f［k］時，響應為例１―７已知某線性系統，當其初始狀態y(0)=2時，系統的零輸入響應yx(t)=6e-4t，t>0。而在初始狀態y(0)=8以及輸入激勵f(t)共同作用下產生的系統完全響應y(t)=3e-4t+5e-t，t>0。試求：(１)系統的零狀態響應yf(t)；(２)系統在初始狀態y(0)=1以及輸入激勵為3f(t)共同作用下系統的完全響應。解(1)由于y(0)=2時yx(t)=6e-4t(t>0)，故有y(0)=8時yx(t)=24e-4t(t>0)。因此yf(t)=y(t)-yx(t)=3e-4t+5e-t-24e-4t=5e-t-21e-4t(t>0)(2)同理，當y(0)=1,3f(t)作用下，有y(t)=1/2(6e-4t)+3(5e-t-21e-4t)=15e-t-60e-4t(t>0)3.非時變系統與時變系統一個系統，如果在零狀態條件下，其輸出的響應與輸入激勵的關系不隨輸入激勵作用于系統的時間起點而改變時，就稱為非時變系統。否則，就稱為時變系統。非時變系統的特性沿時間軸是均勻的，當輸入激勵延時一段時間作用于系統時，其零狀態響應也延時同樣的一段時間，且保持輸出的波形不變。這就是非時變特性，可表示為若f(t)→yf(t)則f(t-t0)→yf(t-t0)同理，對于非時變離散時間系統，可表示為若f［k］→yf［k］則f［k-n］→yf［k-n］式中，n為任意整數。圖1.１7非時變系統示意圖例１―８試判斷下列系統是否為非時變系統：(1)y(t)=sin(f(t))；(2)y(t)=cost·f(t)；(3)y(t)=4f2(t)+3f(t)；(4)y(t)=2t·f(t)。解判斷一個系統是否為非時變系統，只需判斷當輸入激勵f(t)變為f(t-t0)時，相應的輸出響應是否也由y(t)變為y(t-t0)。因為只涉及系統的零狀態響應，所以無需考慮系統的初始狀態。4.記憶系統與即時系統如果系統在任意時刻的響應僅決定于該時刻的激勵，而與它過去的歷史無關，則稱之為即時系統(或無記憶系統)。全部由無記憶元件(如電阻)組成的系統是即時系統。即時系統可用代數方程來描述。如果系統在任意時刻的響應不僅與該時刻的激勵有關，而且與它過去的歷史有關，則稱之為記憶系統(或動態系統)。含有動態元件(如電容、電感)的系統是記憶系統，記憶系統可用微分方程來描述。5.集總參數系統與分布參數系統集總參數系統僅由集總參數元件(如Ｒ、Ｌ、Ｃ等)所組成。對于集總參數系統，人們認為系統的電能僅儲存在電容中，磁能僅儲存在電感中，而電阻是消耗能量的元件，同時還認為，在這樣的系統中電磁能量的傳輸不需要時間，作用于系統任何處的激勵，能立即傳輸到系統各處。6.因果系統與非因果系統因果系統是指當且僅當輸入信號激勵系統時才產生輸出響應的系統。這就是說，因果系統的輸出響應不會出現在輸入信號激勵之前。反之，不具有因果特性的系統稱為非因果系統。一般地說，一個常系數線性微分方程式或差分方程式描述的系統，如果當t>0時輸入信號為零，而此時的零狀態響應也為零。1.2.2系統模擬與相似系統連續系統的模擬通常由三種功能部件組成：積分器、相加器和數乘器，它們的時域表示符號如圖1.18所示。圖1.18連續時間系統的模擬器件例１―９試用積分器、相加器和數乘器模擬二階線性微分方程y″(t)+a1y′(t)+a0y(t)=f(t)所描述的系統。解因為y″(t)=-a1y′(t)-a0y(t)+f(t)，所以，需一個相加器、兩個積分器和兩個數乘器組成該系統的模擬裝置，如圖1.１9所示。圖1.19例１―９的模擬圖例１―１０試模擬y″(t)+a1y′(t)+a0y(t)=b1f′(t)+b0f(t)所描述的系統。解因為本例激勵部分中比上例多了一項b1f′(t)。我們在上例的基礎上作出該系統的模擬圖。設新變量q(t)，它滿足方程q″(t)+