例說一元二次不等式與二元一次不等式組的解法一、知識講解知識點1：一元二次不等式與分式不等式1．一元二次不等式的解集端點→一元二次方程的解→二次函數的零點。2．解一元二次不等式的步驟：二次項系數化為正→因式分解（求根）→判斷符號（大于0，兩根之外，小于0，兩根之外）3．分式不等式：轉化成整式不等式求解知識點2：二元一次不等式解法1．可行域的判斷依據：的系數與不等號，同號，直線上方；異號，直線下方2．目標函數平移規律：的系數為正，往上平移變大；的系數為負，往上平移變小。3．特殊目標函數的求解：（1）：點與間距離的平方；（2）：點與間斜率的大小；（3）：反比例函數的比例系數。二、典例分析考點1：解含參一元二次不等式與分式不等式例題1：已知0<a<1，關于x的不等式(x－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))>0的解集為()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<a或x>\f(1,a))))) B．{x|x>a}C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a)或x>a)))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a)))))解析：根據不等式的性質可得，故而可得解集為。變式：解關于x的不等式x2－(2m＋1)x＋m2＋m解析：將不等式因式分解可得，解得解集為。例題2：若a<0，則不等式eq\f(x－4a,x＋5a)>0的解集是________．解析：將不等式化簡可得，解得解集為。考點2：不等式中的參數求解例題3：函數的定義域為R，則實數k的取值范圍為()A．(0,1)B．[1，＋∞) C．[0,1]D．(－∞，0]解析：函數的定義域為R，故而可得恒成立，故而或者，解得。變式：若不等式eq\f(x2－8x＋20,mx2－mx－1)＜0對一切x∈R恒成立，則實數m的取值范圍為________．解析：化簡可得恒成立，亦即恒成立。故而可得或者，解得。例題4：設不等式mx2－2x－m＋1＜0對于滿足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范圍解析：將不等式化簡可得對恒成立，故而將m當作自變量，這是一個一一次函數，故而可得。考點3：二元一次不等式組的基礎解法例題5：（2023年課標1卷13題）設x，y滿足約束條件，則的最小值為。解析：根據約束條件可畫出可行域如右圖所示，的系數為負，故而可得當初始函數平移經過點時函數取最小值，聯立，故而可得的最小值為-5。變式：（2023年課標3卷13題改）若，滿足約束條件，則的最大值為_____。解析：根據約束條件可畫出可行域如右圖所示，的系數為負，故而可得當初始函數平移經過點D時函數取最小值，聯立，故而可得的最大值為8。考點4：含參二元一次不等式組的解法解題思路：此類問題包含兩種形式，一種是約束條件中含有參數，一種是目標函數中含有參數。兩種問題都涉及到分類討論和函數的旋轉。（1）約束條件含參：影響斜率，對直線進行旋轉；影響截距，對直線進行平移。（2）目標函數含參：對參數進行正負的討論，注意與可行域中的約束條件進行對比討論。例題6：已知滿足約束條件，目標函數的最大值是2，則實數（）A． B．1 C． D．4解析：根據約束條件可以發現，可行域必然在直線的下方和直線的上方，直線是恒過點的一條直線，故而要使得存在可行域，直線必須順時針旋轉，目標函數的系數為負，故而向下平移的過程中不斷變大，因此可得目標函數在點B處取到最大值。聯立方程，問題得解。例題7：設實數，滿足約束條件若目標函數的最大值為6，則的值為（）A． B．4 C．8 D．16解析：根據約束條件可以畫出可行域如圖所示，目標函數的初始直線斜率為負，系數為正，故而可得無論直線如何旋轉，都將在點B處取最大值。聯立方程，代入可得，問題得解。考點5：二元一次不等式組的特殊求解例題8：若變量滿足條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．解析：根據約束條件可以畫出可行域如圖所示，目標函數表示為反比例函數的比例系數，根據反比例函數的性質可得，當反比例函數越往上平移，比例系數越大。故而可得當反比例函數與直線BC相切時，取最大值，此時聯立；當時，取最小值0。故而選D。例題9：已知點的坐標滿足條件記的最大值為，的最小值為，則__________．解析：根據約束條件可以畫出可行域如圖所示，目標函數表示為點和點之間的斜率，根據圖像可得，故而可得；目標函數表示點和點之間的距離平方，根據圖像可得，故而最小值為4，即，因此可得。例題10：過平面區域內一點作圓：的兩條切線，切點分別為，記，當最大時，點坐標為__________．解析：根據約束條件可以畫出可行域如圖所示，根據圖像可得，故而要使得角最大，即滿足最大即可。又，故而可得當取最小值時角最大。此時，根據直線的性質可得點。例題11：某工廠有兩種配件生產甲、乙兩種產品，每生產一件甲產品使用4個配件，耗時1，每生產一件乙產品使用4個配件，耗時2，該廠每天最多可從配件廠獲得24個配件和16個配件，每天生產總耗時不超過8，若生產一件甲產品獲利3萬元