平面向量基本定理新知探究問題1

給定平面內非零向量e1，如何作出2e1，

？作出圖象如圖．

e12e1

新知探究問題2

平面內，與e1共線的任意向量都能用e1表示出來嗎？根據共線向量，都能表示出來．問題3

平面內還有很多與e1不共線的向量，很顯然，只用e1表示不了它們，那么最少可以幾個向量表示它們？最少用兩個不共線向量表示．新知探究問題4

如圖中的任意向量a如何用不共線的向量進行表示？e1e2a如圖，所以a＝λ1e1＋λ2e2．

OABNMC新知探究問題5

如果e1，e2是共線向量，那么向量a能否用e1，e2表示？為什么？不一定，當a與e1共線時可以表示，否則不能表示．新知探究問題6

你能敘述平面向量基本定理嗎？向量的基、正交基、標準正交基有區(qū)別嗎？平面向量基本定理：如果e1和e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于該平面內的任意一個向量a，存在唯一的一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．有，不共線的向量e1，e2叫向量的一組基，記為{e1，e2}．標準正交基，指的是基中的兩個向量是相互垂直的單位向量．而正交基，是基中的兩個向量互相垂直，新知探究問題7

若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么λ1，μ1，λ2，μ2有何關系？由已知得λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即（λ1－μ1）e1＝（μ2－λ2）e2．∵e1與e2不共線，∴λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0，∴λ1＝μ1，λ2＝μ2．新知探究由于e1，e2不共線，則e1，2e2不共線，所以①③中的向量組都可以作為基；因為e1與2e1共線，e2與2e2共線，所以②④中的向量組都不能作為基．問題8

設e1，e2是同一平面內兩個不共線的向量，以下各組向量中不能作為基的是____________．①e1，e2；②e1，2e1；③e1，2e2；④e2，2e2．②④初步應用

ABCDFEab

解：根據題意得所以

同理初步應用

解：根據題意，得

所以

同理初步應用例3

如圖，在△ABC中，點M是邊BC的中點，點N在邊AC上，且AN＝2NC．AM與BN相交于點P，則AP∶PM＝（）

因為A，P，M和B，P，N分別共線，

A．1∶4B．4∶1C．4∶5D．5∶4ABPNCM

初步應用例3

如圖，在△ABC中，點M是邊BC的中點，點N在邊AC上，且AN＝2NC．AM與BN相交于點P，則AP∶PM＝（）A．1∶4B．4∶1C．4∶5D．5∶4ABPNCM所以AP∶PM＝4∶1．所以

B由平面向量基本定理，

課堂練習練習：教科書第95頁練習1，2，3，4．歸納小結（1）這節(jié)課我們發(fā)現了什么新知識？我們是如何研究它的？（2）如何用基表示向量？平面向量基本定理好在哪里？問題9

本節(jié)課收獲了哪些知識，請你從以下幾方面總結：（1）我們發(fā)現了平面向量基本定理，利用向量的線性運算研究它；（2）用基表示向量的兩種方法：①運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行轉化，直至用基底表示為止．（3）困惑是：……（3）你有什么困惑嗎？②通過列向量方程或方程組的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．作業(yè)布置作業(yè)：教科書第100頁，A組1，2，3，4，5．1目標檢測D

A．a－

bB．

a－bC．b＋D．b－

a

故選D．

＝－a＋b＋

a＝b－

a，

a2目標檢測A

A．－a＋

bB．a－

bC．D．

又∵EF∥BC，解析：∵

，

∴

．

∴