菏澤市2023屆高三年級第一次模擬考試數學（理科）2023.3考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚。3.考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。4.本卷命題范圍：高考范圍。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的.1.已知集合，則A.B.C.D.2.已知復數滿足（為虛數單位），則為A.2B.C.D.13.已知是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列正確的是A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則4.若在區間上隨機取兩個數，則這兩個數之和小于3的概率是A.B.C.D.5.若雙曲線的離心率，則實數的取值范圍為A.B.C.D.6.等比數列中，是方程的兩個實數根，則的值為A.2B.或C.D.7.執行如圖所示的程序框圖，輸入，若要求輸出不超過500的最大奇數，則

內應填A.B.C.D.8.若的展開式中含有常數項，且的最小值為，則A.B.C.D.9.如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的外接球的表面積是A.B.C.D.10.已知，若將函數的圖象向右平移個單位長度后所得圖象關于軸對稱，則的最小值為A.B.C.D.11.已知橢圓的左、右焦點分別為，過作垂直于軸的直線交橢圓于，兩點，若的內切圓半徑為，則橢圓的離心率A.B.或C.D.12.已知是定義域為的單調函數，若對任意都有，且關于的方程在區間上有兩個不同實數根，則實數的取值范圍是A.B.C.D.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.記表示不超過的最大整數，例如，已知則__________.14.若實數滿足，則的最小值是__________.15.已知平面向量均為單位向量，若，則的取值范圍為__________.16.已知等差數列前項和為，且，若滿足不等式的正整數有且僅有3個，則實數的取值范圍為__________.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.第17題?第21題為必考題，每個題目考生都必須作答.第22題?第23題為選考題，考生根據要求作答.（一）必考題:共60分.17.（本小題滿分12分）在中，分別是角的對邊，且，.（1）求的值；（2）若，求的面積.18.（本小題滿分12分）如圖，在幾何體中，四邊形是邊長為2的菱形，平面，平面，，.（1）當長為多少時，平面平面？（2）在（1）的條件下，求二面角的余弦值.19.（本小題滿分12分）在一次詩詞知識競賽調查中，發現參賽選手分為兩個年齡（單位:歲）段：，，其中答對詩詞名句與否的人數如圖所示.（1）完成下面2×2列聯表；年齡段正確錯誤合計合計（2）是否有90%的把握認為答對詩詞名句與年齡有關，請說明你的理由；（3）現按年齡段分層抽樣選取6名選手，若從這6名選手中選取3名選手，求3名選手中年齡在歲范圍人數的分布列和數學期望.注:，其中0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.87920.（本小題滿分12分）已知拋物線的頂點為平面直角坐標系的坐標原點，焦點為圓的圓心.經過點的直線交拋物線于兩點，交圓于兩點，在第一象限，在第四象限.（1）求拋物線的方程；（2）是否存在直線使是與的等差中項？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由.21.（本小題滿分12分）已知函數.（1）若關于的方程在區間上有解，求實數的取值范圍；（2）若對恒成立，求實數的取值范圍.（二）選考題:共10分.請考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.22.（本小題滿分10分）選修4-4:坐標系與參數方程在平面直角坐標系中，曲線，（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的普通方程；（2）若分別為曲線上的動點，求的最大值.23.（本小題滿分10分）選修4-5:不等式選講已知函數.（1）求不等式的解集；（2）設，若對任意不等式成立，求實數的取值范圍.菏澤市2023屆高三年級第一次模擬考試·數學（理科）參考答案、提示及評分細則1.C因為集合，，所以，故選C.2.C由，得，∴，故選C.3.D若，則，D正確；分析知選項A，B，C均不正確，故選D.4.A如圖，在區間[0，2]上隨機取兩個數為x，y，則不等式組，表示的平面區域為邊長是2的正方形OACE區域．又，所以所求概率.故選A5.D由題意易得，則，即．故選D.6.B是方程的根，，即或..故選B.7.C輸入，則，不符合；，則，不符合；，則，符合.又，所以輸出m的值應為5，所以空白框內應填輸出．故選C8.C展開式的通項為，因為展開式中含有常數項，所以，即為整數，故n的最小值為5．所以.故選C9.D由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，其外接球相當于以俯視圖為底面側棱長為1的直三棱柱的外接球，再由正弦定理易得底面三角形的外接圓半徑，球心到底面的距離，故球半徑，故球的表面積，故選D.10.D由得，又，則，所以，所以．將向右平移個單位長度后得到，因為函數的圖象關于y軸對稱，所以，即.又，所以當時，取得最小值.故選D.11.B如圖，設內切圓圓心為C，半徑為r，則.即，∴，∴.整理得，解得或.故選B.12.A由題意知必存在唯一的正實數m滿足，，∴，∴，∴，解得m=3．故．又關于x的方程在區間（0，3]上有兩個不同實數根，即關于x的方程在區間（0，3]上有兩個不同實數根．由，得.當時，，單調遞減；與時，，單調遞增，∴在處取得最大值a.，．分別作出函數和函數的部分圖象：兩圖象只有一個交點（l，0），將的圖象向上平移，且經過點（3，1），由，得．綜上．故選A.13.∵，∴.又∵，∴，即.14.不等式可表示為如圖所示的平面區域.為該區域內的點與坐標原點連線的斜率，顯然，當x=3，y=1時，取得最小值.15.∵三個平面向量均為單位向量，，∴設，，，則，，∴.它表示單位圓上的點到定點P（2，3）的距離，其最大值是，最小值是.∴的取值范圍是.16.不妨設，由，得，則，所以，令，則），易得數列在時單調遞減；在n＞5時單調遞增.令，有，，.若滿足題意的正整數n只有3個，則n只能為4，5，6，故實數的取值范圍為.17.解：（1）∵，由正弦定理得.∴，∴.又，∴.∵，∴，∴，由3a=2b知，a＜b，∴A為銳角，∴.∴（2）∵b=6，，∴a=4.∴.18.證明：（1）連接BD交AC于點O，則AC⊥BD.取EF的中點G，連接OG，則OG∥DE.∵DE⊥平面ABCD，∴OG⊥平面ABCD.∴OG，AC，BD兩兩垂直.∴以AC，BD，OG所在直線分別作為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系（如圖），設，由題意，易求，∴，設平面AEF，平面CEF的法向量分別為，由，，得，∴解得.令，∴.同理可求.若平面AEF⊥平面CEF，則，∴，解得或（舍），即BF長為時，平面AEF⊥平面CEF.解:（2）當時，，∴，，∴EF⊥AF，EF⊥CF，∴EF⊥平面AFC，∴平面AFC的一個法向量為，設平面AEC的一個法向量為，則，∴，得，令，得，∴.從而.故所求的二面角E-AC-F的余弦值為.19.解：（1）2×2列聯表：年齡段正確錯誤合計[20，30）103040[30，40]107080合計20100120（2）.∵3＞2.706，∴有90%的把握認為答對詩詞名句與年齡有關.（3）按年齡段分層抽取6人中，在范圍[20，30）歲的人數是2（人），在[30，40]歲范圍的人數是4（人）.現從6名選手中選取3名選手，設3名選手中在范圍[20，30）歲的人數為，則的可能取值為0，1，2，，，∴的分布列為012P故的數學期望為.20.解：（1）∵圓F的方程為，∴圓心F的坐標為（2，0），半徑r=1.根據題意設拋物線E的方程為，∴，解得p=4.∴拋物線E的方程為.（2）∵是與的等差中項，∴.∴.討論：若垂直于x軸，則的方程為x=2，代入，解得.此時|AD|=8，不滿足題意；若不垂直于x軸，則設的斜率為k（k≠0），此時的方程為，由，得.設，則.∵拋物線E的準線方程為x=-2，∴∴，解得.當時，化為.∵，∴有兩個不相等實數根.∴滿足題意.∴存在滿足要求的直線或直線.21.解：（1）方程即為.令，則.令，則（舍），.當x∈[1，3]時，隨x變化情況如表:x13＋0－極大值∴當x∈[1，3]時，.∴m的取值范圍是.（2）據題意，得對恒成立.令，則.令，則當x＞0時，，∴函數在上遞增.∵，∴存在唯一的零點c∈（0，1），且當x∈（0，c）時，；當時，.∴當x∈（0，c）時，；當時，.∴在（0，c）上遞減，在上遞增，從而.由得，即，兩邊取對數得，∴.∴，即所求實數a的取值范圍是.22.解：（1）