自動控制系統的數學模型第二章自動控制系統的數學模型

通過前面的學習我們知道，自動控制理論是研究自動控制系統三方面性能的基本理論。

設控制系統控制系統輸入輸出加上輸入信號tr(t)0tc(t)0求出輸出響應根據輸出響應即可分析系統的性能。

怎樣根據輸入信號求系統的輸出響應？

如果知道控制系統的數學模型就可求出系統的輸出響應。

分析系統性能的第一步就是建立系統的數學模型，這是第二章的主要內容。數學模型：描述系統動態特性的數學表達式。數學模型反映了系統各變量之間的關系。常用的數學模型：(2)微分方程(3)傳遞函數(4)頻率特性(1)代數方程(5)動態結構圖

其中微分方程是最基本的，其它可以通過微分方程求得。建立微分方程的方法：(1)解析法(2)實驗法第一節控制系統的微分方程一、建立微分方程的一般步驟二、常見環節和系統的微分方程的建立三、線性微分方程式的求解上一目錄第二章自動控制系統的數學模型第一節控制系統的微分方程（1）

確定系統的輸入變量和輸出變量一、建立系統微分方程的一般步驟

系統通常由一些環節連接而成，將系統中的每個環節的微分方程求出來，便可求出整個系統的微分方程。列寫系統微分方程的一般步驟：

根據各環節所遵循的基本物理規律，分別列寫出相應的微分方程組。（2）

建立初始微分方程組

將與輸入量有關的項寫在方程式等號右邊，與輸出量有關的項寫在等號的左邊。（3）消除中間變量，將式子標準化

下面舉例說明常用環節和系統的微分方程的建立ucur二、常見環節和系統微分方程的建立1．RC電路+-ucur+-CiR輸入量：輸出量：第一節控制系統的微分方程(1)確定輸入量和輸出量(2)建立初始微分方程組(3)消除中間變量，使式子標準化ur=Ri+uci=Cducdt根據基爾霍夫定律得：

微分方程中只能留下輸入、輸出變量，及系統的一些常數。RCducdt+uc=urRC電路是一階常系數線性微分方程。2．機械位移系統系統組成：質量彈簧阻尼器輸入量彈簧系數km阻尼系數fF(t)輸出量y(t)(2)初始微分方程組F=ma根據牛頓第二定律第一節控制系統的微分方程系統工作過程：(1)確定輸入和輸出F(t)–FB(t)–FK(t)=ma中間變量關系式:FB(t)=fdy(t)dtFK(t)=ky(t)a=d2y(t)dt2md2y(t)dt2fdy(t)dt+ky(t)=F(t)+消除中間變量得:3．他激直流電動機Ud系統組成：直流電機負載輸入:電樞電壓勵磁電流If電磁轉矩Te負載轉矩TL摩擦轉矩Tf工作原理：

電樞電壓作用下產生電樞電流，從而產生電磁轉矩使電動機轉動.輸出:電動機速度n第一節控制系統的微分方程根據基爾霍夫定律有

電動機的電路等效圖:eb+-udLaidRadiddtud=Rdid+Ld+ebeb=CenCe—反電勢系數反電勢根據機械運動方程式dndtTe-TL–Tf=GD2375Te=CmidCm—轉矩系數GD2—飛輪慣量為了簡化方程，設TL=Tf=0id=GD2375Cmdndt.+n=+GD2Ra375CmCedndtGD2375d2ndt2CmCeRaLaRaudCe定義機電時間常數：GD2Ra375CmCeTm=電磁時間常數：LaRaTa=電動機的微分方程式為：+n=d2ndt2TmTa+TmdndtudCe第一節控制系統的微分方程4．液位系統第一章里已經介紹了工作原理：其中:qi0—流入箱體的流量qo0—流出箱體的流量qi0qo0h0—液面高度h0qi—流入箱體流量增量+qiqo—流出箱體流量增量+qoh—液面高度增量+hA—箱體面積根據物料平衡關系dtAd[h0+h(t)]=[qi0+qi(t)]-[qo0+qo(t)]平衡時：qi0=qo0故dtAdh(t)=qi(t)-qo(t)qo(t)的流量公式qo(t)=ah(t)得:dtAdh(t)=qi(t)+ah(t)第一節控制系統的微分方程

根據實例可知：系統微分方程由輸出量各階導數和輸入量各階導數以及系統的一些參數構成。第一節控制系統的微分方程系統微分方程的一般表達式為：dtm+bmr(t)=b0dm-1r(t)dtm-1+b1+···dmr(t)dr(t)dt+bm-1+anc(t)+···dnc(t)dtna0dn-1c(t)dtn-1+a1dc(t)dt+an-1

將已知輸入信號代入微分方程中，求解微分方程即可求得系統輸的出響應。微分方程r(t)c(t)三、線性微分方程式的求解第一節控制系統的微分方程

工程實踐中常采用拉氏變換法求解線性常微分方程。拉氏變換法求解微分方程的基本思路：線性微分方程時域t拉氏變換代數方程復數域s代數方程的解求解拉氏反變換微分方程的解第一節控制系統的微分方程1．拉氏變換的定義如果有一函數滿足下列條件：(1)t

<0時

f(t)=0(2)t≥0時

f(t)是分段連續的

0(3)∫

f(t)edt<∞-st∞f(t)的拉氏變換為：0F(s)=∫

f(t)edt-st∞記作

F(s)=L[f(t)]拉氏反變換為：f(t)=L-1

[F(s)]2．常用函數的拉氏變換第一節控制系統的微分方程(1)單位階躍函數I(t)f(t)t010F(s)=∫

I(t)edt-st∞=S1(2)單位脈沖函數δ(t)f(t)t00F(s)=∫δ(t)edt-st∞=1(3)單位斜坡函數tf(t)t00F(s)=∫

tedt-st∞=S21(4)正弦函數Sinωtt0f(t)=s2+ω2ω0F(s)=∫Sinωtedt-st∞(5)余弦函數Cosωt0F(s)=∫Cosωtedt-st∞=s2+ω2s(6)指數函數-atef(t)t010F(s)=∫eedt∞-at-st=1s+a(7)拋物函數t212t2e120F(s)=∫

∞-st

dtf(t)t0=S313．拉氏變換的定理(1)線性定理L[af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s)例求正弦函數f(t)=Sinωt的拉氏變換．解：2je-eSinωt=jωt-jωtL[Sinωt]=2j1s-jω[1-]s+jω1=s2+ω2ω(2)微分定理L[df(t)dt]=sF(s)-f(0)例求階躍函數f(t)=I(t)的拉氏變換．解：已知d[t]dt=I(t)L[t]=s21L[I(t)]=L(d[t]dt)=ss21-0=1s第一節控制系統的微分方程L[d2f(t)dt2]=s2F(s)-sf(0)-f'(0)(3)積分定理L[∫f(t)dt]=1sF(s)+f-1(0)s(4)延遲定理L[f(t-τ)]-τs=eF(s)例求f(t)=t-τ的拉氏變換．解：f(t)t0tτt-τ-τsF(s)=L[t]e=s2-τs1e(5)位移定理-atL[ef(t)]=F(s+a)解：例求f(t)=eSinωt的拉氏變換．-atF(s)=(s+a)2+ω2ω(6)初值定理Limf(t)=limsF(s)s→∞t→0(7)終值定理Limf(t)=limsF(s)t→∞s→0第一節控制系統的微分方程4．拉氏反變換象函數的一般表達式：F(s)=b0

sm+b1

sm-1

+···+bm-1s+bma0

sn+a1

sn-1

+···+an-1s+an分解為K(s

–z1)(s

–z2)···(s

–zm

)(s

–p1)(s

–p2)···(s

–pn

)=零點極點轉換為=s-p1A1+s-p2A2+···+s-pnAn則p1tf(t)=A1ep2t+A2epntAne+···+部分分式法求拉氏反變換,實際上是求待定系數A1,A2,…,An.極點的形式不同,待定系數的求解不同,下面舉例說明.待定系數第一節控制系統的微分方程(1)不相等實數極點Ai=F(s)(s-pi)

s=pi解：例求拉氏變換．s2+4s+3F(s)=s2+5s+5(s+1)(s+3)F(s)=1+s+2=1++s+1A1s+3A2A1=F(s)(s-p1)

s=p1(s+1)(s+3)=s2+5s+5s=-1=(s+1)(s+3)(s+2)(s+1)21=A2=F(s)(s-p2)

s=p2s=-3=(s+1)(s+3)(s+2)(s+3)21=21+f(t)=δ(t)+e-t21e-3t第一節控制系統的微分方程(2)復數極點A(s)(s

–p1)(s

–p2)···(s

–pn

)F(s)=p1,p2共軛復數極點分解為=(s-p1)(s-p2)A1s+A2+s-p3A3+···+s-pnAnF(s)(s-p1)(s-p2)

s=p1=A1s+A2s=p1根據求待定系數A1,A2.例求拉氏變換．s(s2+9)F(s)=s+1解：A1s+A2+s(s2+9)F(s)=A3=A1s+A2s=j3F(s)(s2+9)s=j3A2=1

19A1=-

19A3=

-s/9+1

+s(s2+9)=1/9

s/9

-s(s2+9)F(s)=1/9

1

+(s2+9)1391-f(t)=Sin3t91Cos3t+第一節控制系統的微分方程(3)重極點第一節控制系統的微分方程A(s)(s

–p1)r(s

–pr+1)···(s

–pn

)F(s)=有r個重極點分解為=(s-p1)rA1+s-pr+1Ar+1+···+s-pnAn+(s-p1)r-1A2+···+s-p1Ardr-1[F(s)(s-p1)r]Ar=

s=p11

((r-1)!dsr-1)下面舉例說明例求拉氏變換．第一節控制系統的微分方程(s+2)F(s)=s(s+1)2(s+3)解：F(s)=+s+1A1s+3A2(s+1)2+sA3+A4分解為按不相等實數極點確定A1,A3,A4得：-12A1=

23A3=

112A4=

d2-1[F(s)(s-p1)2]A2=

s=p11

((2-1)!ds2-1)d[=

s=-1ds](s+2)s(s+3)-34=

-34A2=

+-43+f(t)=e-t32e-3t2-te-t121將各待定系數代入上式得：5．用拉氏變換解微分方程

下面舉例說明求解線性微分方程的方法。第一節控制系統的微分方程例求拉氏反變換．r(t)=20I(t)+2c

(t)=r(t)+3d2c(t)dt2dc(t)dtc(0)=5c'(0)=15解：(1)將微分方程拉氏變換s2C(s)-sc(0)-c'(0)+3sC(s)-3c(0)+2C(s)=20s20s+5s+30=C(s)(s2+3s+2)

(2)解代數方程s(s2+3s+2)

C(s)=5s2+30s+20(3)求拉氏反變換s(s+1)(s+2)=5s2+30s+20s+C(s)=+s+1A1s+2A2A3s+=+s+110s+25-10-10ec(t)=10+5e-t-2t例已知系統的微分方程式，求系統的輸出響應。r(t)=δ(t)+2c

(t)=r(t)+2d2c(t)dt2dc(t)dt

c(0)=c'(0)=0解：將方程兩邊求拉氏變換得：s2C(s)+2sC(s)+2C(s)=R(s)R(s)=1C

(s)=s2+2s+21=(s+1)2+11求拉氏反變換得：c(t)=e–t

sint

輸出響應曲線c(t)r(t)r(t)t0c(t)第一節控制系統的微分方程第三節傳遞函數一、傳遞函數的定義及求取二、典型環節的傳遞函數及其動態響應

拉氏變換可以簡化線性微分方程的求解。還可將線性定常微分方程轉換為復數S域內的數學模型—傳遞函數。第二章自動控制系統的數學模型第三節傳遞函數輸出拉氏變換一、傳遞函數的定義及求取

設一控制系統輸入輸入拉氏變換輸出傳遞函數的定義：

零初始條件下，系統輸出量拉氏變換與系統輸入量拉氏變換之比。R(S)C(S)r(t)c(t)R(s)C(s)G(s)=表示為：將微分方程拉氏變換便可求得傳遞函數。系統G(S)例求圖示RLC電路的傳遞函數。+-uruc+-CLRi解：輸出量輸入量根據基爾霍夫定律：第三節傳遞函數i=CducdtLdidtur=Ri

++uc拉氏變換：RCsUc(s)+LCs2Uc(s)+Uc(s)=Ur(s)傳遞函數為:G

(s)=Uc(s)Ur(s)1LCs2+

RCs+

1=RCducdt+uc=ur+LCd2ucdt2dh(t)1=qi(t)dtAh(t)2A+ah0例求液位控制系統的傳遞函數.

將上式兩邊求拉氏變換：

設解：得asH(s)+H(s)Qi(s)=h02A1AH(s)A(s+=ah02A)1Q(s)s+1=ah02A/ah02=Abah02Aa=bh02傳遞函數為H(s)Abs+1b=Q(s)第三節傳遞函數零初始條件下拉氏變換得：(a0

sn+a1

sn-1

+···+an-1s+an)C(s)=(b0

sm+b1

sm-1

+···+bm-1s+bm)R(s)第三節傳遞函數系統微分方程的一般表達式為：dtm+bmr(t)=b0dm-1r(t)dtm-1+b1+···dmr(t)dr(t)dt+bm-1+anc(t)+···dnc(t)dtna0dn-1c(t)dtn-1+a1dc(t)dt+an-1系統傳遞函數的一般表達式為=b0sm+b1sm-1+···+bm-1s+bma0sn+a1sn-1+···+an-1s+anR(s)C(s)G(s)=

將傳遞函數中的分子與分母多項式分別用因式連乘的形式來表示，即n>=mG(s)=K0(s

–z1)(s

–z2)···(s

–zm)(s

–s1)(s

–s2)···(s

–sn)放大系數傳遞函數的極點傳遞函數的零點傳遞函數性質：（1）傳遞函數只適用于線性定常系統。（2）傳遞函數取決于系統的結構和參數，與外施信號的大小和形式無關。（3）傳遞函數為復變量S的有理分式。

（4）傳遞函數是在零初始條件下定義的，不能反映非零初始條件下系統的運動過程。第三節傳遞函數

不同的物理系統，其結構差別很大。但若從系統的數學模型來看，一般可將自動控制系統的數學模型看作由若干個典型環節所組成。研究和掌握這些典型環節的特性將有助于對系統性能的了解。二、典型環節的傳遞函數及其動態響應第三節傳遞函數c(t)=Kr(t)C(s)=KR(s)放大倍數取拉氏變換:得傳遞函數:1．比例環節微分方程:R(s)C(s)G(s)==K第三節傳遞函數

比例環節方框圖KR(S)C(S)K1S·C(s)=R(s)=1S單位階躍響應：拉氏反變換得:c(t)=K

單位階躍響應曲線r(t)t0c(t)1r(t)Kc(t)K=-R1R2

比例環節實例(a)uruc-∞++R1R2運算放大器第三節傳遞函數(b)線性電位器uc(t)+-R1R2+-ur(t)K=R2+R1R2傳動齒輪(c)r(t)c(t)iK=i單位階躍信號作用下的響應:KTs+11s·C(s)=Ks+1/TKs+=R(s)=1s2．慣性環節微分方程:+c(t)=Kr(t)dc(t)dtT時間常數比例系數拉氏變換：TsC(s)+C(s)=KR(s)慣性環節的傳遞函數:R(s)C(s)G(s)=KTs

+

1=第三節傳遞函數

慣性環節方框圖R(S)C(S)1+Ts1拉氏反變換得:c(t)=K(1–etT-)

單位階躍響應曲線設K=1r(t)t0c(t)1r(t)c(t)T0.632uruc-∞++R2R1C

慣性環節實例(a)運算放大器R2CS+1R2/R1G(s)=–(b)RL電路+-u(t)RLuL(t)1/R(L/R)S+1G(s)=–第三節傳遞函數R(s)C(s)G(s)==1TsTsC(s)=R(s)=r(t)dc(t)dtT微分方程：時間常數3．積分環節傳遞函數：拉氏變換：

積分環節方框圖R(S)C(S)Ts1第三節傳遞函數單位階躍響應：1TS1S·C(s)=R(s)=1S1TS2=1Tc(t)=t

單位階躍響應曲線r(t)t0c(t)1c(t)r(t)T拉氏反變換得:

積分環節實例(a)運算放大器uc-∞++RCur1RCSG(s)=–(b)直流伺服電機+-UdMθSKG(s)=第三節傳遞函數4．微分環節R(S)C(S)Ts理想微分環節微分方程：微分時間常數

微分環節方框圖單位階躍響應：c(t)=Tdr(t)dtR(s)C(s)G(s)==Ts第三節傳遞函數TS1S·C(s)=R(s)=1S拉氏反變換得:c(t)=Tδ(t)

單位階躍響應曲線r(t)t0c(t)c(t)r(t)運算放大器構成的微分環節-Δ∞++RucCurG(s)=RCs+-uc+-CRurRC電路構成的實用微分環節RCsRCS+1G(s)=TsTs+1=第三節傳遞函數

理想微分環節實際中是難以實現的，實際中常用含有慣性的實用微分環節。傳遞函數:單位階躍響應:?

1sTsTs+1G(s)==1s+1/T

c(t)=etT-單位階躍響應曲線r(t)r(t)t0c(t)c(t)1

由于微分環節的輸出只能反映輸入信號的變化率，不能反映輸入量本身的大小，故常采用比例微分環節。

采用運算放大器構成的比例微分環節：R1ucC1R2ur-Δ∞++傳遞函數：單位階躍響應：c(t)=KTδ(t)+KR(s)C(s)G(s)==K(Ts+1)第三節傳遞函數

單位階躍響應曲線1c(t)r(t)r(t)t0c(t)5.振蕩環節微分方程：+c

(t)=r(t)+2Td2c(t)dt2dc(t)dtT2ζ—時間常數—阻尼比ζT傳遞函數：1T2S2+2TS+1=R(s)C(s)G(s)=ζG(s)=T21T21T2S2+S+ζn2ωn2ωnζS2+2S+ω=T1ωn=—無阻尼自然振蕩頻率

振蕩環節方框圖S2+2ξωnS+ωn2ωn2R(S)C(S)單位階躍響應：c(t)=1-1-ζ2Sin(ωdt+β)e第三節傳遞函數

單位階躍響應曲線1c(t)r(t)r(t)t0c(t)1ms2+fs+k=F(s)Y(s)G(s)=常見振蕩環節的實例：(1)機械位移系統

(2)他激直流電動機

(3)RLC電路第三節傳遞函數1/CeTaTms2+Tms+1=U(s)N(s)G(s)=Ur(s)Uc(s)1LCs2+RCs+1=G(s)=R(s)C(s)G(s)==e-τsc(t)=r(t–τ)·1(t–τ)R(S)C(S)e-τs6．時滯環節延時時間數學模型：

時滯環節方框圖傳遞函數：時滯環節作近似處理得1+τs1第三節傳遞函數G(s)=1+τs+2!2s2+···

1τ1

階躍響應曲線1c(t)r(t)r(t)t0c(t)τ第五節反饋控制系統的傳遞函數一、系統的開環傳遞函數二、系統的閉環傳遞函數

研究控制系統的性能，主要的傳遞函數為：三、系統的誤差傳遞函數第二章自動控制系統的數學模型第五節反饋控制系統的傳遞函數_H(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)+D(s)一、系統的開環傳遞函數

閉環控制系統的典型結構：開環傳遞函數：系統反饋量與誤差信號的比值E(s)B(s)Gk(s)=E(s)B(s)=G1(s)G2(s)H

(s)=G(s)H(s)

二、系統的閉環傳遞函數1．給定信號R(s)作用R(s)E(s)_B(s)H(s)G1(s)G2(s)C(s)

系統的典型結構：

設

D

(s)=0典型結構圖可變換為：_B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)+D(s)第五節反饋控制系統的傳遞函數系統的閉環傳遞函數:R(s)C(s)Ф(s)==1+G(s)H(s)G(s)2．擾動信號D(s)作用設R

(s)=0R(s)E(s)_B(s)H(s)G1(s)G2(s)C(s)

系統的典型結構：+D(s)

動態結構圖轉換成:前向通道:G1(s)H(s)G2(s)D(s)C(s)反饋通道:閉環傳遞函數為：D(s)C(s)Фd(s)==1+G1(s)G2(s)H(s)G2(s)第五節反饋控制系統的傳遞函數_R(s)E(s)H(s)G2(s)G1(s)三、系統的誤差傳遞函數1．給定信號R(s)作用誤差輸出的動態結構圖:R(s)+D(s)

前向通道:

反饋通道:

設D(s)=0第五節反饋控制系統的傳遞函數E(s)C(s)_B(s)H(s)G1(s)G2(s)=1+G1(s)G2(s)H(s)1誤差傳遞函數為：R(s)E(s)Фer(s)=+D(s)G1(s)G2(s)-H(s)E(s)2．擾動信號D(s)作用R(s)R(s)作用下誤差輸出的動態結構圖:

前向通道:

反饋通道:R(s)=0第五節反饋控制系統的傳遞函數E(s)C(s)+D(s)B(s)_H(s)G1(s)G2(s)D(s)E(s)Фed(s)=誤差傳遞函數為：=1+G1(s)G2(s)H(s)-G2(s)H(s)例:R(s)C(s)R(s)+D(s)解:G1G2G3H1H2___C(s)E(s)D(s)=0結構圖變換為：

G1G2G3H1/G3G2H2___C(s)E(s)R(s)求第五節反饋控制系統的傳遞函數1+G3G2H2G1G2G3=1+G3G2H2+G1G2H1+G1G2G3G1G2G3R(s)C(s)=1+G3G2H2+G1G2H1G1G2G3H1/G31+G3G2H2G1G2G31+1+G3G2H2G1G2G3+D(s)C(s)R(s)G1G2G3H1H2---E(s)R(s)E(s)求第五節反饋控制系統的傳遞函數R(s)H1H2-G1G2-E(s)G3-結構圖變換為：

解:D(s)=0R(s)-G1G2-E(s)G3-H1H2/G1G1G2G31+G1G2H11+G1G2G31+G1G2H1H2/G1G1G2G31+G1G2H1=1+G1G2H1+G2G3H2G1G2G3E(s)R(s)=1+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G31+G1G2H1+G2G3H2R(s)+D(s)G1G2G3H1H2___C(s)D(s)C(s)第五節反饋控制系統的傳遞函數求解:R(s)=0結構圖變換為

D(s)+G1G2-C(s)-H1-1H2G31+G1G2H1G1G2-(1+H2/G1)D(s)+-C(s)-H1-1G3G2G1H2/G1C(s)D(s)=1+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3G3(1+G1G2H1)系統傳遞函數為：第五節反饋控制系統的傳遞函數R(s)+D(s)G1G2G3H1H2___C(s)E(s)求D(s)E(s)解:結構圖變換為

R(s)=0D(s)+G1G2-E(s)-H1H2-G3D(s)+-E(s)-H1H2/G1-G3G2G11+G1G2H1G1G2(1+H2/G1)E(s)D(s)=1+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3-G3(1+G1G2H1)系統傳遞函數為：第二章總結第二章自動控制系統的數學模型自動控制系統建立微分方程系統傳遞函數R(s)C(s)Ф(s)=初始微分方程組建立動態結構圖拉氏變換梅遜公式等效變換解析法拉氏變換分析系統性能時域法根軌跡法頻率法性能校正第二章自動控制系統的數學模型第七節用MATLAB處理系統數學模型一、拉氏變換和反變換二、多項式運算三、微分方程求解四、傳遞函數五、結構圖的串聯`并聯與反饋第七節用MATLAB處理系統數學模型一、拉氏變換和反變換求拉氏變換函數:laplace(ft,t,s)例求f(t)=t2+2t+2的拉氏變換解：鍵入symsst;ft=t^2+2*t+2;st=laplace(ft,t,s)運行結果st=2/s^3+2/s^2+2/s第七節用MATLAB處理系統數學模型求拉氏反變換函數:ilaplace(Fs,t,s)例求F(s)的拉氏反變換.(s2+4s+3)(s+2)F(s)=s+6解：鍵入symsst;Fs=(s+6)/(s^2+4*s+3)/(s+2);ft=ilaplace(Fs,s,t)運行結果ft=3/2*exp(-3*t)+5/2*exp(-t)-4*exp(-2*t)第七節用MATLAB處理系統數學模型二、多項式運算多項式求根函數:root(p)根建多項式函數:poly(r)例求p(s)=s3+3s2+4根,再由根建多項式.解：鍵入p=[1304];r=root(p)運行結果r=-3.35530.1777+1.0773i1.7777-1.0773ip=poly(r)p=1.00003.00000.000040000鍵入運行結果第七節用MATLAB處理系統數學模型多項式相乘函數:conv(p,q)求多項式值函數:polyval(n,s)例實現多項式相乘:p(s)=(3s2+2s+1)(s+4),

并求s=-5時的值.解：鍵入p=[321];q=[14];n=conv(p,q)運行結果n=31494鍵入vlaue=polyval(n,-5)vlaue=-66運行結果第三章時域分析法第三章時域分析法

建立了系統的數學模型以后，就可求得已知輸入信號作用下系統的輸出響應，據此，對系統的性能作出定性的分析和定量的計算。

對線性定常系統，常用的方法有時域法、根軌跡法和頻率法。本章討論的時域分析法。第一節系統性能指標

為了準確地描述系統的穩定性、準確性和快速性三方面的性能，定義若干個反映穩、準、快三方面性能的指標。一、典型的輸入信號二、控制系統的性能指標第三章時域分析法第一節控制系統的性能指標1．階躍信號數學表達式：拉氏變換：一、典型輸入信號

當R0=1

時，稱為單位階躍函數:1(t)r(t)t0R0階躍信號r(t)=0t<0R0t≥0R(s)=SR02．斜坡信號

數學表達式：拉氏變換：斜坡信號第一節控制系統的性能指標當υ0=1

時，稱為單位斜坡函數。r(t)t01r(t)=0t<0t≥0R(s)=s2υ0υ0tυ0拋物線信號3．拋物線信號

數學表達式：拉氏變換：第一節控制系統的性能指標當a0=1

時，稱為單位拋物線函數。r(t)t01R(s)=s3a0t2a012r(t)=0t<0t≥0a02εHε4.脈沖信號數學表達式：

脈沖信號r(t)t0r(t)t0

理想脈沖信號r(t)=0ε<t<0Hε0≤t≤ε單位理想脈沖函數：H=1ε→00t≠0∞t=0拉氏變換：R(s)=1理想脈沖函數特點：第一節控制系統的性能指標∫-∞+∞δ(t)dt=1(t)=limε(t)=ε→0δδ5．正弦信號數學表達式：拉氏變換：第一節控制系統的性能指標r(t)=0t<0Asinωtt≥0t0r(t)R(s)=As2+ω2ω二、控制系統的性能指標

系統的性能指標分為動態性能指標和穩態性能指標。動態指標又可分為跟隨性能指標和抗擾性能指標.第一節控制系統的性能指標1．跟隨性能指標

跟隨性能指標是根據典型的單位階躍響應定義的.典型二階系統的單位階躍響應曲線為:第一節控制系統的性能指標tc(t)01(1)上升時間tr

輸出響應從零開始第一次上升到穩態值所需的時間。上升時間：單位階躍響應曲線tr(2)峰值時間tptp峰值時間：系統輸出響應由零開始，第一次到達峰值所需時間。σ%(3)超調量σ%超調量：輸出響應超出穩態值的最大偏離量占穩態值的百分比。(4)調節時間ts

系統輸出響應達到并保持在穩態值的±5%（或±2%）誤差范圍內，所需時間。ts(5)穩態誤差ess系統期望值與實際輸出的最終穩態值之間的差值。essσ%=c(tp)-100%c()∞c()∞第一節控制系統的性能指標2．抗擾性能指標

如果控制系統在穩態運行中受到擾動作用,經歷一段動態過程后又能達到新的穩態。可用抗擾性能指標來描述系統的抗擾性能.

根據系統在負載擾動之后的典型過度過程定義抗擾性能指標:tνtc(t)0(1)動態降落

系統輸出量的最大降落值。C∞1△cmax(2)恢復時間

系統輸出量恢復到與穩